2022-2023学年广东省茂名市电白区林头中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省茂名市电白区林头中学八年级（下）期中数学试卷，共14页。

1．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣bD．若a＞b，ac2＞bc2
3．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．D．x4+6x+8＝x（x+6）+8
4．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．全等三角形对应边上的中线相等
C．相等的角是对顶角
D．若|x|＝|y|，则x＝y
5．（3分）若不等式组的解集为﹣1＜x≤3，则在数轴上表示出解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB垂直平分线上一点，∠ADC＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
7．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．30B．40C．50D．60
8．（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（ ）
A．37°B．38°C．39°D．40°
9．（3分）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m﹣5）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜5B．3＜m＜5C．m＜3D．m＜﹣3
10．（3分）过△ABC的顶点A分别作对边BC边上的高AD和中线AE，D为垂足，E为BC的中点，规定λA＝，特别地，当点D与E重合时，规定λA＝0．对λB、λC作类似的规定．若△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则λA+λB+λC＝（ ）
A．B．2C．D．3
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为 ．
12．（3分）将点A（﹣2，﹣1）向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，CD＝2，则AD＝ ．
14．（3分）若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，若P是y轴负半轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，则符合条件的P有 个．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
17．（8分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，可以得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后的△A2B2C2．
20．（9分）已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象（如图1）．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与一次函数y＝kx+b相交于点P（如图2），则不等式mx＞kx+b的解集为 ：不等式组的解集为 ．
21．（9分）某抖音直播店铺销售甲、乙两种商品．该店铺第一次用43000元购进甲、乙两种商品，其中购进乙商品的件数比甲商品件数的一半还多200件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（1）该店铺购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）在第一次购进的两种商品销售完之后，该店铺第二次购进甲、乙两种商品，进价与第一次相同．其中甲商品的件数不变、乙商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打a折销售．假设在第二次购进的两种商品都销售完之后，所获得的总利润比第一次获得的总利润多出的部分在1400元到5600元之间（包括1400元和5600元），求a的取值范围；
（3）直播结束前，主播提出向粉丝赠送10件甲、乙两种商品，在至少赠送4件甲商品的情况下，怎么赠送两种商品，该店铺赠送商品的成本最高？
22．（12分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．
（1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．
①求线段BC的长；
②求线段OA的长．
（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
23．（12分）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ；
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2． 解：A、当a＞b＞0时，＜，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、当a＞0，b＜0，a＜|b|时，a2＜b2，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，原说法正确，故此选项符合题意；
D、当c＝0时，虽然a＞b，但是ac2＝bc2，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
3． 解：根据因式分解的定义可知，A选项，不符合因式分解的定义，不符合题意；
B选项，是应用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
C选项，a的值不确定，且右侧含有分式，不符合题意；
D选项，不符合因式分解的定义，不符合题意．
故选：B．
4． 解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，正确，是真命题，符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；
D、若|x|＝|y|，则x＝±y，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
5． 解：不等式组的解集﹣1＜x≤3在数轴上的表示为：
故选：B．
6． 解：∵D是AB垂直平分线上一点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠ADC＝80°，
∴∠B＝∠BAD＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°．
故选：C．
7． 解：
过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴DE＝5，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝＝12，
∵AB＝8，
∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED
＝+﹣
＝+﹣
＝50，
故选：C．
8． 解：∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，
∴∠A′＝∠A＝26°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，
∴∠B′＝∠CBB′，
∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝26°+44°＝70°，
∴∠B′＝70°，
∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴α＝40°，
故选：D．
9． 解：∵点M（m﹣3，m﹣5）在第四象限，
∴，
解不等式①，得：m＞3，
解不等式②，得：m＜5，
∴3＜m＜5，
故选：B．
10． 解：在图中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
E是BC的中点，BC边上的高与AC重合，
则λA＝＝1；
同理λB＝＝1，
当F是AB的中点时，BC＝AB＝BF，∠B＝60°，
则△BCF是等边三角形，
则DF＝BF＝AF，则λC＝，
∴λA+λB+λC＝1+1+＝，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：“x的3倍与5的差不小于﹣4”，用不等式表示为3x﹣5≥﹣4．
故答案为：3x﹣5≥﹣4．
12． 解：将点A（﹣2，﹣1）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
13． 解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DBA＝∠A，
∴BD＝AD．
在Rt△BCD中，∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2DC＝2×2＝4，
∴AD＝BD＝4．
故答案为：4．
14． 解：若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围是a≥4，
故答案为：a≥4．
15． 解：当AB＝AP时，点P有1个，如图所示：
当AB＝BP时，点P有1个，如图所示：
当AP＝BP时，点P有1个，如图所示：
综上分析可知，符合条件的P有3个点．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
17． 解：解不等式3（x+2）＞x﹣2，得：x＞﹣4，
解不等式x﹣≤，得：x≤，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18． 证明：延长BE和AC后相交于点M，
如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
又∵AD是∠A的平分线，
∠MAE＝∠BAE，
又∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°，
在△AME和△BAE中
∴△AME≌△BAE（ASA）
∴BE＝ME，
∴BM＝2BE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝90°，
又∵∠BDE+∠DBE＝90°，
∠ADC＝∠BDE，
∴∠DAC＝∠MBC，
在△ACD和△BCM中，
∴△ACD≌△BCM（ASA）
∴AD＝BM
∴AD＝2BE．
19． 解：（1）如图所示△A1B1C1，即为所求：A1（0，﹣5），B1（2，2），C1（0，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2．即为所求．
20． 解：（1）分别将（0，4），（2，0）代入y＝kx+b得：
，
解得；
故答案为：﹣2，4；
（2）由函数图象可得：当x＞1时，函数y＝mx在y＝kx+b上方，
∴mx＞kx+b的解集为x＞1，
由函数图象，当0＜x＜2时，函数y＝mx和y＝kx+b都在x轴上方，
则不等式组的解集为0＜x＜2；
故答案为：x＞1，0＜x＜2．
21． 解：（1）设该店铺购进x件甲商品，y件乙商品，
根据题意得：，
解得：．
答：该店铺购进1000件甲商品，700件乙商品；
（2）根据题意得：，
解得：8.5≤a≤9，
∴a的取值范围为8.5≤a≤9；
（3）设赠送m件甲商品，该店铺赠送商品的成本为w元，则赠送（10﹣m）件乙商品，
根据题意得：w＝22m+30（10﹣m），
∴w＝﹣8m+300，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥4，
∴当m＝4时，w取得最大值，此时10﹣m＝10﹣4＝6，
∴当赠送4件甲商品，6件乙商品时，该店铺赠送商品的成本最高．
22． 解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm；
②∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝20cm，
∴OA＝OB＝OC＝6cm；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°．
23． 解：（1）由题意可得，
（﹣4）*3
＝（﹣4）﹣2×3
＝（﹣4）﹣6
＝﹣10，
故答案为：﹣10；
（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），
∴3x﹣4≥x+6，
解得x≥5，
故答案为：x≥5；
（3）∵（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，
∴当3x﹣7≥3﹣2x时，可得x≥2，
则（3x﹣7）+2（3﹣2x）＜﹣6，
解得x＞5；
当3x﹣7＜3﹣2x时，可得x＜2，
则（3x﹣7）﹣2（3﹣2x）＜﹣6，
解得x＜1；
由上可得，x的取值范围是x＞5或x＜1．
甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40