云南省玉溪第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份云南省玉溪第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共21页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考籍号、考场号和座号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题，则命题p的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．在复平面内，复数对应的点在第一象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则=（ ）
A．B．C．D．
4．若，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B．C．D．
5．抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（ ）
A．E与G相互独立B．E与H相互独立
C．F与G相互独立D．G与H相互独立
6．已知数列{an}的通项公式为前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设函数在上可导，其导函数f′x且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值B．函数有极大值
C．函数有极小值f1D．函数有极小值
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点Px,y，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0
C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为
D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒
11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为
B．若，则直线的倾斜角为
C．
D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分.
12．设随机变量X服从正态分布，若，则 ．
13．如图，在中，已知，边上的两条中线相交于点P，则的余弦值为 ．
14．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有 颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为 颗.（结果用表示）
四、解答题：本题共5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在正四棱柱 中，，点E，F，G，H分别在棱上，.
(1)证明：；
(2)点P为线段的中点，求平面PEG与平面夹角的余弦值．
16．如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
17．已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；
(2)若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程．
18．已知函数
(1)证明：在区间存在唯一极大值点；
(2)求的零点个数．
19．“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
①若，，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）
1．D
【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系即可得出结果.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为．
故选：D.
2．C
【分析】根据复数的几何意义可设，且，由乘方运算可得，即可得出结论.
【详解】依题意设，且，由复数z对应的点在第一象限可得；
所以，
易知复数对应的点坐标为，又，
所以复数对应的点在第三象限.
故选：C
3．A
【分析】根据两角差的正弦公式化简，再由同角三角函数的基本关系得解.
【详解】因为，
所以，
故选：A
4．B
【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案.
【详解】因为，
则，
由，得，，
作函数的图象，同时作出，
如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立.
故选：B.
5．A
【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义判断个选项的正误.
【详解】解：由题意得：
，，，
对于选项A：，，，所以和互相独立，故A正确；
对于选项B：，，，所以和不互相独立，故B错误；
对于选项C：，，，所以和不互相独立，故C错误；
对于选项D：，，，所以和不互相独立，故D错误；
故选：A
6．B
【分析】利用作差法判断数列的单调性，继而判断出数列的项的正负情况，即可确定答案.
【详解】由题意可知，
可得
，
令，则，
故当时，；
令，即，则或，
即当或时，；
令，则，
令，则，
令，则或，
则当时，，当时，；
当时，；当时，；
故，，
故当时，Sn取得最小值，
故选：B
7．A
【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解.
【详解】连接交于点O，
由题意，得，，
，
如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，设，
所以，

设平面的一个法向量为，则，
所以，取，
则，
设顶点B到平面距离为d，
则，
当时，
当时，，
所以当即时点B到平面距离最大为.
故选：A.
8．A
【分析】分析出函数的对称性和周期性，再根据求出值，最后利用对称性和周期性计算的值即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
则，故，
又，所以，即，
所以，则的周期为，
当时，，又，
则，即，即，解得，
则当时，，
由，得，又，
则.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过函数的对称性和奇偶性解得，再通过其对称性和周期性求出的值.
9．AD
【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负，即可确定函数的极值.
【详解】由图可知，，，且，则，在区间单调递增，
当，，且，则，在区间单调递减，
当，，且，则，在区间单调递减，
当，，且，则，在区间单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为.
故选：AD
10．ABD
【分析】根据题意，确定函数解析式，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，
所以，因此A正确；
B：因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，因为，所以，
即，
所以，因此B正确；
C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误；
D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，
盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确.
故选：ABD
11．AC
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数关系得出和，A选项可直接由焦半径公式列方程得出的值，即可做出判断；选项BCD均可转化为坐标的计算，代入根与系数关系，即可做出判断．
【详解】设，直线的方程为，
由，得，
则，
所以，，
对于A：若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，
即，则，解得，
所以抛物线的方程为，故A正确；
对于B：，
即，代入，
可得，解得，
所以直线的斜率，即直线的倾斜角为或，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：若点到抛物线准线的距离为2，则，
所以抛物线方程为，，
连接，过点作轴于点，
则，
，
所以，
因为，所以，
所以，
综上，最小值为，故D错误．
故选：AC．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．##
【分析】由概率的性质结合对称性求解.
【详解】因为，所以，即.
则.
故答案为：
13．##
【分析】根据题意利用余弦定理可得，即为直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可得出结果.
【详解】在中，由余弦定理可得，即；
因此满足，可得是以的直角三角形；
以为坐标原点，分别为轴，轴，如下图所示;
,
易知即为向量的夹角，
所以.
故答案为：
14． 66
【分析】分析数据规律可得，再利用累加法即可求解.
【详解】设第件首饰上的珠宝颗数为，则，，，，
因为，，，，
所以猜想，
所以推断，
即.
由，
则，…, ,
以上各式相加得,
所以.
故答案为：66；.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用作辅助线，结合平行四边形的性质证明线线平行，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PEG与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）取中点Q，BF中点M，连接EM，MQ，QH，则，
由正四棱柱得，，且，
又点H，Q为中点，所以，即四边形DHQC为平行四边形，
同理可得，四边形AEMB为平行四边形，所以且，
则，所以四边形EMQH为平行四边形，所以，
因为，所以四边形MQGF为平行四边形，所以，
所以．
（2）以D为坐标原点DA，DC，为x，y，z轴建系如图，
易得，
则，
设平面PEG与平面法向量分别为
由，即，令，则，
由，即，令，则
设平面PEG与平面的夹角为，则，
故平面PEG与平面夹角的余弦值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.
【详解】（1）设，
在中由余弦定理得，即①，
又在中由余弦定理得，即②，
因为，则，
联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理知，，
所以，
又，故，
在直角三角形中，由勾股定理知，，
此时．

17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解.
（2）联立直线l与椭圆C的方程，结合（1）的信息及已知求出点，即可求得椭圆C的方程.
【详解】（1）依题意，因为，所以
设，则，
两式相减可得，
得，即，
因为M为线段 AB的中点，
则，
直线OM的斜率，直线l的斜率，
于是得是定值，
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
（2）设点P的坐标为，
由，消去x并整理得：，
则，
又四边形OAPB为平行四边形，即线段AB与线段OP互相平分，
则，即点，
而点P在椭圆C上，于是得，解得，
所以椭圆C的方程为：.
18．(1)证明见解析
(2)有且仅有两个零点
【分析】（1）求出导函数的导数，可知导函数单调递减，再由零点存定理知导数在区间上有唯一零点，即可得出原函数有唯一极值点；
（2）分区间讨论，可确定函数在上存在两个零点，再讨论函数在时，时的单调性，利用最值确定函数无零点.
【详解】（1）设，
当时，，
所以在上单调递减.
又因为，
所以在上有唯一的零点，
即函数在上存在唯一零点，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以在上存在唯一的极大值点.
（2）①由（1）知：在上存在唯一的极大值点，
所以，
又因为，
所以在上恰有一个零点，
又因为，
所以在上也恰有一个零点.
②当时，则，
设，
所以在上单调递减，所以，
所以当时，恒成立，
所以在上没有零点.
③当时，，
设，
所以在上单调递减，
所以，
所以当时，恒成立，
所以在上没有零点.
综上，有且仅有两个零点.
【点睛】关键点点睛：在分析函数零点时，首先要分区间讨论，结合（1）可确定函数在上零点个数，其次分析当时，利用放缩法可知，构造函数，利用导数确定最大值小于0，即可判断函数无零点，最后讨论当时，放缩即可利用类似方法确定函数无零点.
19．(1)
(2)①；②P的最大值为，此时t的值为.
【分析】（1）由分类加法原理和分步乘法原理求解；
（2）①由题意可知，要摘到最适合他的灯谜，有两种情况，最适合他的灯谜是第3条和最适合他的灯谜是最后1条，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可.
【详解】（1）8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，由抽取规则可知，
该顾客取到写有卡片的概率为.
（2）①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有种情况.
要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况：
最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置，有种情况，
最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯谜是第1条或第2条，其他的灯谜随意在哪个位置，有种情况
故所求概率为.
②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件表示最适合的灯谜在灯谜中排在第条，
因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，所以，
以给定所在位置的序号作为条件，
当时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到，此时
当时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前条灯谜中的最适合的一条在前k条灯谜中时，
此时，
由全概率公式知，
令函数，，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
所以当时，取得最大值，最大值为，此时
即P的最大值为，此时t的值为.
【点睛】方法点睛：
全概率公式是将复杂事件的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.