浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（解析版）

这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，，可得.
故选：A.
2. “是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”，
又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”，
所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】原不等式等价于，即.
故选：C.
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
5. 不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为不等式对于任意恒成立，
所以，即，解得.
故选：D.
6. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得到，所以，
由，得到，所以，
又，得到或，
由图可知阴影部分对应的集合是集合，又，
所以.
故选：D.
7. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A，由，可得，又，，
所以，即，所以选项A错误，
对于选项B，由，，可得，所以，
所以选项B错误，
对于选项C，取，，，，显然满足条件，但，
所以选项C错误，
对于选项D，因为，得到，又，得到，所以选项D正确.
故选：D.
8. 若，，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】，
当且仅当，时取到最小值.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】集合为点集且都在直线上，故选项A错误，选项B正确；
由，，选项C、D正确.
故选：BCD.
10. 已知关于的方程，则（ ）
A. 当时，方程只有一个实数根
B. 是方程有实数根的必要不充分条件
C. 该方程不可能有两个不等正根
D. 该方程不可能有两个不等负根
【答案】AC
【解析】对于A，时，方程只有一个实根，A正确；
对于B，方程有实数根，则，即，解得或，
因此是方程有实数根的充分不必要条件，B错误；
对于C，若方程二根为则，，不可能有两个不等正根，
C正确；
对于D，当时，方程有2个不等负根，D错误.
故选：AC.
11. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】原不等式等价于，
根据的正负讨论，当时，解集为，则成立；
当时解集中没有0，不合题意，
时，解集不可能为不合题意，故.
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，，，，若，则____________．
【答案】
【解析】，，，，，
，，，，.
13. 已知，，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为，所以
又，两式相加可得
14. 若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为______.
【答案】
【解析】方程有且仅有一解等价于有一个不等于3的实数解.
当时，解为，满足题意；
当，且只有一解时，
由，得到，解得，
又时，的解为，满足题意，
当时，且有两解时，由，解得，
综上，实数取值集合为.
四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由，得，所以.
（2）由，得，所以.
16. 解下列不等式（组）：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）由题意得：，解得，故不等式的解集为.
（2）由题意得：解得，故不等式组的解集为.
（3）由题意得：，得：，无解，故不等式的解集为.
17. 为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
（1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；
（2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.
解：（1）由题意得，且，
解得，故的取值范围为.
（2）设只玩的人数为，
由图得，解得，
则人.
故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.
18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.
（1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围；
（2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.
（i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
（ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.
解：（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，，
所以，又矩形面积，
解得，
故的取值范围为.
（2）（i）设地板面积为，解不等式组，解得，
故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或.
故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.
（ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），
由题意得：，，则.
因为，，所以.
又，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等面积，采光条件变好了.
19. 已知二次函数（，且）.
（1）若，求该二次函数的最大值；
（2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值；
（3）若，，，恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，，
当时，函数有最大值，最大值为2.
（2）设，，由题知，是方程的两个相异根，
则，得到，
由韦达定理知，，令，得到，
所以，又，
所以，解得，故的值为1或.
（3）因为，则，当且仅当时取等号，
由题有在恒成立，即恒成立，
又，则，即，解得，
故的取值范围为.
20. 设数集满足：①；②，且，有，则称数集具有性质.
（1）判断集合，是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：集合具有性质；
（3）求满足性质的所有三元素集.
解：（1）若，，则，故集合不具有性质；
集合中元素均为整数，满足①，且，，，满足②，故集合具有性质.
（2）证明：①，；
②且，，则集合具有性质.
（3），.
证明：对于三元素集，不妨设，
若，则，与三元素集矛盾，所以.
若，则，与三元素集矛盾，所以.
所以，只能取0，，1中的两个不同数.
不妨设，，，
对于，集合中元素均为整数，满足①，
，，，满足②，
故集合满足性质.
对于，若，
则当时，；当时，，即.
对于，若，
则当时，；当时，，即.
综上，满足性质的所有三元素集，.