山东省青岛市崂山区启迪高级中学2024届高三上学期10月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市崂山区启迪高级中学2024届高三上学期10月月考 数学试题（含解析），共15页。
说明:
1.本试卷共4页，共22题，满分共150分，考试用时120分钟．考试结束后，只将答题纸交回．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量，，那么等于（ ）
A．B．C．1D．0
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）

A．2为的极大值点B．在区间上单调递增
C．为的极小值点D．在区间上单调递增
5．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
（参考数据）
A．5B．7C．9D．10
6．已知，，则 的终边在
A．第二、四象限B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上D．第二、四象限或x轴上
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题的四个选项中，有多项是符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．的最小正周期为
B．
C．的图象关于直线对称
D．将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．已知命题p：，，则命题p的否定为，
D．定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4
11．已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若与夹角为锐角，则
C．若，则在方向上投影向量为D．若
12．若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
三、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分.）
13．已知集合，集合，若，则实数 .
14．已知，，则的取值范围是 .
15．若，则 ．
16．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 .
四、解答题（本题包括6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知， ，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
18．已知函数的定义域为A，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围．
19．在ΔABC 中，内角的对边分别为 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求ΔABC的面积.
20．已知二次的数.
(1)若不等式的解集是，求实数的值：
(2)当时，求不等式的解集.
21．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．D
【分析】利用复数的除法求出复数，再求出对应点的坐标即可得解.
【详解】复数，
因此复数在复平面对应的点在第四象限.
故选：D
3．A
【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】，，
.
故选：A.
4．A
【分析】根据导函数图象分析的取值情况，即可得到函数的单调区间与极值点.
【详解】由导函数图象可得当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且在的左边，在的右边，
所以的极大值点为、，极小值点为.
故选：A
5．B
【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值.
【详解】当时，，
所以，由得，
，
所以的最小整数值为.
故选：B
6．D
【分析】先判断角所在的象限，再求出的终边所在的象限即可.
【详解】∵，|，
∴，
∴角的终边在第四象限或x轴非负半轴上，
即，
，
∴的终边在第二、四象限或x轴上.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数值的符号和角的终边所在的位置，属于基础题.
7．A
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可.
【详解】因为在R上单调递增，且，
所以；
因为在R上单调递减，且，
所以；
因为在上单调递增，且，
所以．
综上所述，，
故选：A．
8．C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.
【详解】∵满足对任意，都有成立，
∴在上是减函数，，解得，
∴a的取值范围是.
故选：C．
9．AC
【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得，
所以，可得，所以，
因为，所以，
即，可得，即，
因为，可得，所以，
所以A正确，B不正确；
由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确；
将的图象向右平移个单位长度，
可得，
此时函数的图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】由相同函数的定义判断A；由抽象函数的定义域判断B；由全称命题的否定是特称命题判断C；由函数周期的定义求的周期来判断D.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，
故，不是同一函数；所以选项A错误；
对于B，函数的定义域为，则中的范围为，
由抽象函数的定义域可得，
中的范围为，即，解得，
故函数的定义域为；所以选项B正确；
对于C，命题p：，，则命题p的否定为，，所以选项C正确；
对于D，由，
得，故，
因为为奇函数，故，
所以，从而，
故，则函数的周期为4，故选项D正确．
故选：BCD．
11．AC
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数判断A；根据向量夹角为锐角有，注意同向共线的情况判断B；由投影向量的定义求投影向量判断C；根据向量坐标求模判断D.
【详解】若，则，解得，A正确；
若与夹角为锐角，则，解得，
当，，此时，与夹角为，B错误；
若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，
所以在方向上投影向量为，C正确；
由题设，，D错误.
故选：AC
12．AD
【分析】求得最值判断选项A；求得最大值判断选项B；求得最小值判断选项C；求得最小值判断选项D.
【详解】选项A：由（当且仅当时等号成立），
得，故有最大值.判断错误；
选项B：
（当且仅当时等号成立），
则，则有最大值.判断正确；
选项C：（当且仅当时等号成立），
故有最小值4，判断正确；
选项D：（当且仅当时等号成立），
所以有最小值.判断错误.
故选：AD.
13．1
【分析】根据子集的定义求解.
【详解】因为，所以，
即，所以.
当时，，，满足，故.
故答案为：1.
14．
【分析】先将表示为，再结合不等式的性质即可求解.
【详解】设，
则，∴
即，
又∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查不等式的性质，考查运算能力，是基础题.
15．15##0.2
【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求值作答.
【详解】因为，所以.
故答案为：
16．
【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.
【详解】当时，不等式对一切实数都成立，
所以成立；
当时，由题意得解得：；
综上所述：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由，可求的值；
（2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值.
【详解】（1），
由，得，所以.
（2）因为，
，
所以，.
令向量与的夹角为θ，
则，
即向量与夹角的余弦值是.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出，再求出即可；
（2）分和两种情况，得到关于a的不等式，再求出的取值范围.
【详解】（1）要使函数有意义，则，
解得，，
当时，，
或，
则或．
（2），
①当时，，即，满足题意；
②当时，，解得，
综上，的取值范围为．
19．（1） （2）
【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．
（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积．
【详解】（1）由正弦定理得，
所以
即
即有，即
所以
（2）由（1）知，即，
又因为 ，所以由余弦定理得：
，即，解得,
所以，又因为，所以 ，
故ΔABC的面积为=.
【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．
20．(1)a的值为，b的值为2
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系求解即可.
（2）分别研究、、时一元二次不等式的解集即可.
【详解】（1）因为的解集为，
所以，解得，
故a的值为，b的值为2.
（2）当时，，（），
方程的根为或，（），
①当时，，不等式的解集为或，
②当时，，不等式的解集为，
③当时，，不等式的解集为或，
综述，①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为或.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，转化为角的三角函数，再由的取值范围，求出的范围.
【详解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，对进行分类讨论，判断的正负作答即可；
（2）把代入不等式，化简转化为，构造新函数，对新函数求导，并求出其最小值为，即可判断原不等式成立.
【详解】（1）函数的定义域是，可得.
当时，可知，所以在上单调递增；
当时，由得，
可得时，有，时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，要证成立，
只需证成立，
只需证即可.
因为，由（1）知，.
令，
则，
可得时，有；时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可知，则有，所以有，
所以当时，成立.
【点睛】方法点睛：不等式证明问题往往转化为函数恒成立问题解决.