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期中真题必刷常考60题（18个考点专练）（原卷版）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）
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这是一份期中真题必刷常考60题（18个考点专练）（原卷版）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版），共12页。试卷主要包含了已知点是的重心，，，那么 ，新定义，如图，已知两个不平行的向量、，如果，那么下列结论正确的是，已知，那么 ，如果，那么的值是 等内容，欢迎下载使用。
1．（2021秋•金山区校级期中）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为
A．B．C．D．
2．（2022秋•青浦区校级期中）已知点是的重心，，，那么 ．
3．（2022秋•嘉定区期中）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，中，、是中线，且，垂足为，像这样的三角形称为“中垂三角形”，如果，，那么此时的长为 ．
二．*平面向量（共4小题）
4．（2022秋•奉贤区期中）已知点是线段的中点，下列结论中，正确的是
A．B．C．D．
5．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在中，点是边上的点，且，如果，，那么 （用含、的式子表示）．
6．（2021秋•徐汇区期中）如图，已知在平行四边形中，、分别是边、的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
7．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
三．比例的性质（共4小题）
8．（2023秋•虹口区期中）如果，那么下列结论正确的是
A．B．C．，D．，
9．（2022秋•浦东新区校级期中）已知，那么 ．
10．（2023秋•松江区期中）如果，那么的值是 ．
11．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：．
（1）求代数式的值；
（2）如果，求、、的值．
四．比例线段（共4小题）
12．（2023秋•黄浦区期中）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
13．（2020秋•松江区期中）如果线段，，那么它们的比例中项是 ．
14．（2023秋•长宁区校级期中）已知线段、，如果，那么下列各式中一定正确的是
A．B．C．D．
15．（2023秋•静安区校级期中）某两地的实际距离为6千米，画在地图上的距离是20厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是
A．B．C．D．
五．黄金分割（共4小题）
16．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是
A．5B．C．D．
17．（2022秋•长宁区校级期中）已知线段，是线段的黄金分割点，那么 ．
18．（2023秋•长宁区校级期中）点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么下列式子成立的是
A．B．C．D．
19．（2023秋•闵行区校级月考）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
六．平行线分线段成比例（共3小题）
20．（2022秋•崇明区校级期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点、、都在横线上，且、两点间的距离为4，那么、两点间的距离为 ．
21．（2022秋•徐汇区校级期中）在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为
A．B．C．D．
22．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
七．相似图形（共3小题）
23．（2022秋•奉贤区校级期中）下列各组图形中一定是相似形的是
A．两个等腰梯形B．两个矩形
C．两个直角三角形D．两个等边三角形
24．（2022秋•奉贤区期中）下列说法正确的是
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
25．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么 度．
八．相似三角形的性质（共3小题）
26．（2022秋•虹口区期中）已知与相似，又，，那么不可能是
A．B．C．D．
27．（2022秋•普陀区期中）如图，在中，，，是边上一点，且，如果点在边上，且与相似，那么 ．
28．（2022秋•上海期中）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们对应高的比是 ．
九．相似三角形的判定（共3小题）
29．（2021秋•长宁区校级期中）如图，，请你再添加一个条件 ，使得．
30．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在中，是的平分线，与交于点，，下列结论中不正确的是
A．B．C．D．
31．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在中，平分，交于点，是上一点，连接，且．证明：．
一十．相似三角形的判定与性质（共4小题）
32．（2020秋•松江区期中）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点，把、、、的面积分别记作、、、，那么下列结论中，不正确 ．
A．B．C．D．
33．（2023秋•庐阳区校级期中）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
34．（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
35．（2022秋•杨浦区期中）如图，梯形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）求证：．
一十一．相似三角形的应用（共3小题）
36．（黄浦区期中）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为
A．20米B．30米C．40米D．50米
37．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，已知小鱼同学的身高是1.6米，她与树在同一时刻的影子长分别为米，米，那么树的高度 米．
38．（闵行区期中）如图，某测量人员的眼睛与标杆顶端、电视塔顶端在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离，标杆，且，，标杆、垂直于地面．求电视塔的高．
一十二．锐角三角函数的定义（共3小题）
39．（2021秋•徐汇区期中）在中，，，，则的正切值等于
A．B．C．D．
40．（2023秋•长宁区校级期中）在△中，，，，则的长为 ．
41．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
一十三．特殊角的三角函数值（共3小题）
42．（浦东新区期中）在中，已知，，，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．
43．（2020秋•徐汇区校级期中）在中，，如果，那么 ．
44．（2020秋•松江区期中）计算：．
一十四．解直角三角形（共4小题）
45．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
46．（2022秋•虹口区期中）已知中，，，，那么的长是 ．
47．（2022秋•上海期中）如图，在中，，，点在边上，，垂足为，点在延长线上，，，．
求：（1）的长；
（2）的值．
48．（2021秋•浦东新区期中）如图，在中，，延长斜边到点，使，联结，如果，求的值．
一十五．解直角三角形的应用（共3小题）
49．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，全长．现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果精确到（参考数据：，
50．（2021秋•长宁区校级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条上的点处安装一平面镜，与刻度尺边的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上形成一个光点．已知，，，，．
（1）的长为 ．
（2）将木条绕点按顺时针方向旋转一定角度得到（如图，点的对应点为，与的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上的光点为．若，则的长为 ．
51．（2020秋•虹口区校级期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，
（1）求的长；
（2）若米，求，两点的距离（精确到．
一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）
52．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点处送到离地面2米高的处，则物体从到所经过的路程为
A．6米B．米C．米D．米
53．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，沿倾斜角为的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离为，那么相邻两棵树的斜坡距离约为 ．（结果精确到
54．（长宁区校级期中）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．
（1）真空管上端到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
55．（2022秋•浦东新区校级期中）离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为 米（用含的三角函数表示）．
56．（2020秋•静安区期中）如图，在点处测得点处的仰角是 ．（用“，，或”表示）
57．（2022春•虹口区校级期中）永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；当他在地面处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米）
58．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：．
一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
59．（2023秋•闵行区校级期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，其中甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点、处，那么点位于点的
A．南偏西B．南偏西C．南偏西D．南偏西
60．（2021秋•青浦区校级期中）钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当保岛屿船航行至海面处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我处的海监船前往处护航．已知处位于处的北偏东的方向上，位于的北偏西的方向上．
求：、之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，．
1．（2021秋•金山区校级期中）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为
A．B．C．D．
2．（2022秋•青浦区校级期中）已知点是的重心，，，那么 ．
3．（2022秋•嘉定区期中）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，中，、是中线，且，垂足为，像这样的三角形称为“中垂三角形”，如果，，那么此时的长为 ．
二．*平面向量（共4小题）
4．（2022秋•奉贤区期中）已知点是线段的中点，下列结论中，正确的是
A．B．C．D．
5．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在中，点是边上的点，且，如果，，那么 （用含、的式子表示）．
6．（2021秋•徐汇区期中）如图，已知在平行四边形中，、分别是边、的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
7．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
三．比例的性质（共4小题）
8．（2023秋•虹口区期中）如果，那么下列结论正确的是
A．B．C．，D．，
9．（2022秋•浦东新区校级期中）已知，那么 ．
10．（2023秋•松江区期中）如果，那么的值是 ．
11．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：．
（1）求代数式的值；
（2）如果，求、、的值．
四．比例线段（共4小题）
12．（2023秋•黄浦区期中）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
13．（2020秋•松江区期中）如果线段，，那么它们的比例中项是 ．
14．（2023秋•长宁区校级期中）已知线段、，如果，那么下列各式中一定正确的是
A．B．C．D．
15．（2023秋•静安区校级期中）某两地的实际距离为6千米，画在地图上的距离是20厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是
A．B．C．D．
五．黄金分割（共4小题）
16．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是
A．5B．C．D．
17．（2022秋•长宁区校级期中）已知线段，是线段的黄金分割点，那么 ．
18．（2023秋•长宁区校级期中）点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么下列式子成立的是
A．B．C．D．
19．（2023秋•闵行区校级月考）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
六．平行线分线段成比例（共3小题）
20．（2022秋•崇明区校级期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点、、都在横线上，且、两点间的距离为4，那么、两点间的距离为 ．
21．（2022秋•徐汇区校级期中）在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为
A．B．C．D．
22．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
七．相似图形（共3小题）
23．（2022秋•奉贤区校级期中）下列各组图形中一定是相似形的是
A．两个等腰梯形B．两个矩形
C．两个直角三角形D．两个等边三角形
24．（2022秋•奉贤区期中）下列说法正确的是
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
25．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么 度．
八．相似三角形的性质（共3小题）
26．（2022秋•虹口区期中）已知与相似，又，，那么不可能是
A．B．C．D．
27．（2022秋•普陀区期中）如图，在中，，，是边上一点，且，如果点在边上，且与相似，那么 ．
28．（2022秋•上海期中）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们对应高的比是 ．
九．相似三角形的判定（共3小题）
29．（2021秋•长宁区校级期中）如图，，请你再添加一个条件 ，使得．
30．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在中，是的平分线，与交于点，，下列结论中不正确的是
A．B．C．D．
31．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在中，平分，交于点，是上一点，连接，且．证明：．
一十．相似三角形的判定与性质（共4小题）
32．（2020秋•松江区期中）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点，把、、、的面积分别记作、、、，那么下列结论中，不正确 ．
A．B．C．D．
33．（2023秋•庐阳区校级期中）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
34．（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
35．（2022秋•杨浦区期中）如图，梯形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）求证：．
一十一．相似三角形的应用（共3小题）
36．（黄浦区期中）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为
A．20米B．30米C．40米D．50米
37．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，已知小鱼同学的身高是1.6米，她与树在同一时刻的影子长分别为米，米，那么树的高度 米．
38．（闵行区期中）如图，某测量人员的眼睛与标杆顶端、电视塔顶端在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离，标杆，且，，标杆、垂直于地面．求电视塔的高．
一十二．锐角三角函数的定义（共3小题）
39．（2021秋•徐汇区期中）在中，，，，则的正切值等于
A．B．C．D．
40．（2023秋•长宁区校级期中）在△中，，，，则的长为 ．
41．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
一十三．特殊角的三角函数值（共3小题）
42．（浦东新区期中）在中，已知，，，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．
43．（2020秋•徐汇区校级期中）在中，，如果，那么 ．
44．（2020秋•松江区期中）计算：．
一十四．解直角三角形（共4小题）
45．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
46．（2022秋•虹口区期中）已知中，，，，那么的长是 ．
47．（2022秋•上海期中）如图，在中，，，点在边上，，垂足为，点在延长线上，，，．
求：（1）的长；
（2）的值．
48．（2021秋•浦东新区期中）如图，在中，，延长斜边到点，使，联结，如果，求的值．
一十五．解直角三角形的应用（共3小题）
49．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，全长．现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果精确到（参考数据：，
50．（2021秋•长宁区校级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条上的点处安装一平面镜，与刻度尺边的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上形成一个光点．已知，，，，．
（1）的长为 ．
（2）将木条绕点按顺时针方向旋转一定角度得到（如图，点的对应点为，与的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上的光点为．若，则的长为 ．
51．（2020秋•虹口区校级期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，
（1）求的长；
（2）若米，求，两点的距离（精确到．
一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）
52．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点处送到离地面2米高的处，则物体从到所经过的路程为
A．6米B．米C．米D．米
53．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，沿倾斜角为的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离为，那么相邻两棵树的斜坡距离约为 ．（结果精确到
54．（长宁区校级期中）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．
（1）真空管上端到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
55．（2022秋•浦东新区校级期中）离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为 米（用含的三角函数表示）．
56．（2020秋•静安区期中）如图，在点处测得点处的仰角是 ．（用“，，或”表示）
57．（2022春•虹口区校级期中）永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；当他在地面处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米）
58．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：．
一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
59．（2023秋•闵行区校级期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，其中甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点、处，那么点位于点的
A．南偏西B．南偏西C．南偏西D．南偏西
60．（2021秋•青浦区校级期中）钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当保岛屿船航行至海面处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我处的海监船前往处护航．已知处位于处的北偏东的方向上，位于的北偏西的方向上．
求：、之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，．
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