湖南师大附中2025届高三上学期月考（二）数学试卷

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命题人､审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（ ）
A.1 B. C. D.
2.已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.3 D.1
3.已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数对任意的，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.11
7.设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知定义域为的函数满足：，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.是偶函数
C.若，则
D.若，则
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是（ ）
A.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
B.若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16
C.数据的第70百分位数是23
D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10.已知函数，则（ ）
A.的值域为
B.图象的对称中心为
C.当时，在区间内单调递减
D.当时，有两个极值点
11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A.函数是圆的一个太极函数
B.对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C.对于圆的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D.若函数是圆的太极函数，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.
13.已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为__________.
14.设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的最小值.
16.（本小题满分15分）
已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点.
（1）求的方程；
（2）过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值.
17.（本小题满分15分）
如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质.
（1）若，
（i）判断数列是否具有性质，并说明理由；
（ii）记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（2）已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质.
19.（本小题满分17分）
已知函数且.
（1）令是的导函数，判断的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】因为，所以其虚部为.故选C.
2.B 【解析】设，因为，故，所以点在以为圆心，3为半径的圆上，又，故的最大值为4.故选B.
3.D 【解析】因为角的终边在直线上，所以.
所以.故选D.
4.D 【解析】在上单调递增，
当时，单调递增，当时，单调递增，
，解得，故选D.
5.A 【解析】设底面圆半径为，由，易得，取的中点，连接，
则，又平面，
所以平面，所以，
所以圆柱表面积为.
故选A.
6.B 【解析】（方法一）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为，
设直线的方程为：，不妨设，
联立方程，则，
故，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选B.
（方法二）可证得公式，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.故选B.
7.C 【解析】，都有，所以是的一条对称轴，所以，又，所以.所以.在平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示，可知的图象与直线的交点个数为3.故选C.
8.C 【解析】A选项，，不正确；B选项，根据
得到，故为奇函数；C选项，，结合，得，又，故，所以，故，正确；D选项，，结合，得，又，故，所以，故，错误.故选C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABD 【解析】对于A，样本的方差这个样本有20个数据，平均数是这组样本数据的总和为A正确；
对于B，已知样本数据的标准差为，
则，数据的方差为，
所以其标准差为，故B正确；
对于C，数据共10个数，
从小到大排列为，
由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故C错误；
对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，
设此时这9个数的平均数为，方差为，
则，故D正确.故选ABD.
10.BD 【解析】A选项：当至少一个不为0，则函数为三次函数或者一次函数，值域均为；当均为0时，值域为，故A错误；
B选项：函数满足，可知为奇函数，其图象关于中心对称，所以的图象为的图象向上移动两个单位后得到的，即关于中心对称，故B正确；
C选项：，当时，取，当时，在区间上单调递增，C选项错误；
D选项：，当时，有两个不相等的实数根，所以函数有两个极值点.故D正确.故选BD.
11.AD 【解析】对于A，圆，圆心为，
的图象也过，且是其对称中心，
所以的图象能将圆一分为二，所以A正确，
根据题意圆，如图为圆的太极函数，且是偶函数，所以BC错误，
对于D，根据题意可得，
因为，所以为奇函数，
由，得或，
所以的图象与圆的交点为，且过圆心，
由得，
令，则，
，得或，
当时，，
当时，若，则方程无解，
若，则，
若，即时，方程无解，
所以时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，
若，即时，函数与圆有4个交点，
若，即时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，
所以，所以D正确.
故选AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1 【解析】，
曲线在点处的切线方程为，即，
当时，将切线方程代入，
整理得，由，得.
故答案为：1.
13. 【解析】的面积为，又由于的内切圆的半径为，
则的面积也可表示为，所以，即，整理得：，两边同除以，得，所以或，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为.
14. 【解析】因为，则
，
当且仅当时等号成立，故，
于是恒成立转化为恒成立.
因为是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则构成的所有基本事件总数有24个，
注意到：，
设事件恒成立”，则事件包含事件：
，
，
，
共15个，因此恒成立的概率为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）由正弦定理得：，
，
，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，所以.
，
，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
16.【解析】（1）因为，又由题意得，，则有，
又点在双曲线上，故，解得，
故的方程为.
（2）根据题意，直线的斜率都存在且不为0，
设直线，其中，
因为均与的右支有两个交点，所以，所以，
将的方程与联立，可得.
设，则，
所以
，
同理，
所以.
令，所以，
则，当，即时，等号成立.
故四边形面积的最小值为6.
17.【解析】（1）证明：延长三条侧棱交于一点，如图所示，
由于，所以，
所以，所以，同理.
因为，所以平面，即平面.
（2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，则，
，所以，
.设，则
，设平面和平面的法向量分别为
，所以
取，
则.
整理得，即，所以或（舍），故存在点（点为中点时），满足题意.
18.【解析】（1）（i）假设存在，使得，则，所以数列不具有性质.
，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质.
（ii）数列具有性质.
，
，
两式作差得，
即，
所以数列满足条件①.
为单调递增数列，满足条件②.
综上，数列具有性质.
（2）因为，
若为奇数的概率为为偶数的概率为，
①
②，
，即.
所以当时，，故随着的增大而增大，且.故数列具有性质.
19.【解析】（1），定义域为，
所以，
所以.
所以在及上单调递增.
（2）法一：由题知即，即或，所以.
下证当时，对任意的恒成立.
令，则，所以在递增，又，所以当时，递减，当时，递增，所以，故，
要证，只需证，即证，
令，则.
若，则，所以.
若，则对称轴，所以在递增，故，
综上所述，的取值范围为.
法二：由题知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
由（1）知在递增，又.
①若，则在递增，所以，符合.
若，则，又.
令，则，当时递减，当时递增，又，所以当时，递减，当时递增，所以，
则，所以，使得，即.且当时，递减，当时，递增，所以.
②若，同法一可证，符合题意.
③若，因为，所以不符合题意.
综上所述，的取值范围为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
D
A
B
C
C
ABD
BD
AD