福建省福州市精师优质高中联盟2024-2025学年高二上学期入学质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省福州市精师优质高中联盟2024-2025学年高二上学期入学质量检测数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】依题意，，所以.
故选：B.
2. 若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（ ）．
A. 关于xOz平面对称B. 关于x轴对称
C. 关于y轴对称D. 关于坐标原点对称
【答案】D
【解析】点关于xOy的对称点为A，则A坐标；
点关于z轴的对称点为B，则B坐标；
则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称.
故选：D．
3. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
【答案】A
【解析】构成空间的一组基底，则不共线，
假设共面，则存在不全为零的实数，使，
即，
则，则，与不共线矛盾，故不共面；
，故共面；
，故共面；
，故共面.
故选：.
4. 如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点，
故，即四边形为平行四边形，所以，
则即为异面直线与 所成角或其补角；
直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接，
则平面，故平面平面，
故，是棱的中点，故，
则,而,
又，故在中，,
由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是，
故选：D.
5. 平行六面体中.则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
故
，
故.
故选：A.
6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，
，，
在上的投影向量可为,
故选：A.
7. 如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】如图，延长交于点，连接交于，
连接，则四边形所求截面．
取的中点，连接.
∵，
∴是△APC的中位线，
∴为的中点．
又分别为的中点，
∴，则，即，
∴为上靠近的三等分点，故．
故选：B.
8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，
因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，
从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，
取中点M，连接，因为，则，显然，
又平面，则平面，
而平面，平面，即有，
平面，则平面，平面与平面有公共点，
显然平面与平面为同一平面，有，而，，
在直角梯形中，过作于I，，
球O的半径，
过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，，
由已知得，即，
，，则点到直线距离有：,
球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离，
截得的最小截面圆半径为，而，则
，
所以截得的截面圆面积的最小值是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（ ）
A. 直线AB的一个方向向量为
B. 线段AB的长度为3
C. 平面α的法向量中
D. 向量与向量夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】因为平面经过三点，，，
则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确；
线段的长度为，故B错；
又向量是平面的法向量，，
则，解得，则，故C正确；
又,1,，
则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确．
故选：ACD．
10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角为
B. 平面
C. 三棱锥的体积不变
D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为，
故A错误；
对于B，由正方体的性质可知，，面，
平面，又因为面
，同理可得平面，又因为面
，
又因为面,
平面，故B正确；
对于C，因为面,面，所以面,
所以为定值，故C正确；
对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，
设，
，，，，，
则，
所以，
由正方体的性质知：平面的法向量为，
直线与平面所成角正弦值为，
因为，，
所以当时取得最大值，若时取得为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（ ）

A. 点的轨迹长为
B. 的最小值为
C.
D. 三棱锥体积的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上，
又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线，
如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径的半圆，
所以点的轨迹长为，故A错误；
对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为，
所以，故B正确；
对于C：因为平面，平面，
所以，故C正确；
对于D：因为平面，
所以点到平面平面的距离为，则，
由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为，
所以，故D错误；
故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】
．
13. 如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
由平面，设，
所以，
设，
所以，即，
解得，
所以，
则，
设直线的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为.
14. 在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】在正三棱锥中，由于正三棱锥的相对棱垂直，则，而，
平面，于是平面，又平面，
因此，有，记在底面内的投影为，
，，则，
由，得，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
取中点，连接，则经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，而，
则，
设直线与直线的所成角为，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.
（1）以为基底表示；
（2）若，且，，，求.
解：（1）由图可得，;
（2）由题意，，
则，
于是，由两边取平方，
，
故.
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）因为底面是平行四边形，，所以，．
又，，所以，，
又，平面，所以平面．
设，则，由，得，
解得（负值已舍去），则，．
因为，所以，故，
因为，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，
直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
由图可知，是平面的一个法向量．
设二面角的大小为，易知为锐角，则，
所以二面角的余弦值为．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．

（1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；
（2）求点到平面的距离；
（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）当为靠近点的四等分点时，四点共面，
理由如下：因为，所以，
所以∥，
因为四边形是菱形，所以∥，
所以∥，所以四点共面；

（2）取中点，连接，．
因为为等边三角形，，
所以，，．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，∥，所以．
因为，平面，平面，，
所以平面，又平面，所以．
所以，
所以，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得；

（3）由（2）知，，，两两垂直，
所以以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，A1,0,0，，
所以，，．
设，则，．
得，则．
又平面，则取平面的法向量．
设与平面所成的角为，则
，
化简整理得，解得．
则，．
设平面的法向量，
则,
令，
则取平面的法向量，
又平面的法向量．
故平面与平面夹角的余弦值为．

18. 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．
解：（1）设平面交上底面于，在圆弧上，
因为上下底面平行，故，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
由题意可知，又，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角，
所以由题意，
又由题意，，
所以，所以，即在圆弧的中点上，
所以由知点P在圆弧中点上，故,
所以，
因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离，
又圆柱结构性质可知,平面，平面，
所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为，
因为，
，
又，所以，即点P到平面距离为.
（3）过作垂直于底面，则由上知，
所以可建立如图所示的分别以为x、y、z轴的空间直角坐标系，
则，设，且，
所以，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，
所以即，取可求得，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，则，
所以即，取可求得，
设平面与平面的夹角为，则，且，
整理得，
所以即，
即，所以，
所以，所以.
19. 2024年8月7日，神舟十六号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.我校小林同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加新学期入学质量检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且. 已知圆柱，底面半径为.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
（3）求二面角的余弦值；
解：（1）如图1，分别是点M、N在线段AC上的投影，则为AO的中点，
为OC的三等分点，
所以，，
所以，所以，
又因为平面BDN，平面BDN，所以平面BDN；
（2）以O为原点，分别以所在方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，
设，
所以,, 若平面BDN，
则，即时，平面BDN；
（3）设内切圆半径为r，由题意可知是等腰直角三角形，
所以，
因为，，，，
所以，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令x=1，则，同理可得平面的法向量，
所以，
由图可知二面角为锐角，则其余弦值为.