辽宁省滨城高中联盟2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题
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这是一份辽宁省滨城高中联盟2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题,共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
考试时间:120分钟 满分150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量,则下列向量中与平行的是( )
A.B.C.D.
2.设,向量,,,且,,则( )
A.B.C.3D.4
3.已知平面,的法向量分别为,,则( )
A.B.
C.,相交但不垂直D.,的位置关系不确定
4.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥成为阳马,如图,四棱锥为阳马,平面ABCD,且,若,则( )
A.2B.C.D.1
5.已知,,,,则点D到平面ABC的距离为( )
A.B.C.D.
6.在正四棱锥中,,E为PC的中点,则异面直线AP与DE所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7.如图,设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角的平面角,则( )
A.,B.,C.,D.,
8.如图,已知等边三角形ABC的边长为4,M,N分别是AB,AC的中点,沿MN将折起,当直线AB与平面BCNM所成的角最大时,线段AB的长度为( )
A.B.C.D.
二.选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果,,.下列结论正确的有( )
A.B.
C.是平面ABCD的一个法向量 D.
10.已知向量,,则下列结论中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.不存在实数,使得D.若,则
11.如图,在棱长为4的正方体中,E,F,G分别为棱AD,AB,BC的中点,点P为线段上的动点,则( )
A.两条异面直线和所成的角为45°B.存在点P,使得平面BEP
C.对任意点P,平面平面BEPD.点到直线的距离为4
12.如图,在菱形ABCD中,,将沿BD折起,使顶点A至点M.在折起的过程中,下列结论中正确的是( )
A.B.存在一个位置,使为等边三角形
C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成角的最大值为60°
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,其中,16题第一空3分,第二空2分.
13.已知空间向量,,则向量在向量上投影向量的坐标是______.
14.自然界中,构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞,其形状一般是平行六面体,具体形状大小由它的三组棱长a,b,c及棱间交角,,(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞,其中,,,,,则该晶胞的对角线的长为______.
15.二面角的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并垂直于棱l,若,,,,则平面与平面的夹角为______.
16.已知三棱锥,PA,PB,PC的长分别为1,2,3,且PA,PB,PC两两夹角均为60°,G是三棱锥的重心,即,过点G作平面,与直线PA,PB,PC分别相交于D,E,F三点,且,,,则______,PG的长度为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.其中,17题10分,其他题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知空间直角坐标系中的三点,,.
(1)若,且,求向量的坐标;
(2)已知向量与互相垂直,求k的值;
(3)求点B到直线AC的距离.
18.如图,棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)OABC,M是棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且,.
(1)用向量,,表示;
(2)求.
19.如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.
(1)求证:平面BDE;
(2)若平面BCP与平面BDP的夹角为,求点F到平面BCD的距离.
20.如图所示,等腰梯形ABCD中,,,,E为CD中点,AE与BD交于点O,将沿AE折起,使得D到达点P的位置(平面ABCE).
(1)证明:平面POB;
(2)若,试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点),使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为,若存在,确定Q点位置;若不存在,说明理由.
21.如图,四棱锥中,底面四边形PCBM是直角梯形,,,,,,,,直线AM与PC所成的角为60°.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)点Q为线段MB上一点,若二面角的大小为30°,求QB的长.
22.如图,已知直三棱柱中,,,M,N分别是,BC的中点,点P在直线上,且.
(1)求证:无论取何值,总有;
(2)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大?求该角取最大值时的正弦值;
(3)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°?若存在,试确认点P的位置;若不存在,请说明理由.
滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高二10月份考试
数学试卷答案
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C
7.B 由最小角定理可知,又由题意可得是正三棱锥,则二面角与二面角的大小相等,由最大角定理可得,故选B.
8.B 因为等边三角形ABC是对称图形,分别取MN,BC的中点E,F,连接EF,则.
以E为坐标原点,分别以EM,EF所在直线为x轴、y轴,过点E作z轴垂直于底面MBCN,如图所示建立空间直角坐标系.
由题设知,记,则,,
平面MBCN的一个法向量.
设直线AB与平面MBCN所成的角为,则
令,则.
.
当且仅当时,取等号,此时,,.故.
二.选择题
9.ABC ∵,∴,即,A正确;
∵,∴,即,B正确;
∵,,且,平面ABCD,∴平面ABCD,∴是平面ABCD的一个法向量,C正确;
由是平面ABCD的法向量可得,D错误.
10.AC对于A中,由,可得,解得,故A正确;
对于B中,由,可得,解得,故B错误;
对于C中,若存在实数,使得,则,显然无解,即不存在实数,使得,故C正确;
对于D中,若,则,解得于是,故D错误.
11.BCD对于A,由正方体的性质可得,两条异面直线和所成角即为,故A错误;
对于B,当点P与点重合时,由题知,,,,∴,,四边形是平行四边形,∴,∵平面BEP,平面BEP,∴平面ABCD,故B正确;
对于C,连接CF,∵平面ABCD,平面ABCD,∴,
又,,,,∴,∴,
∵CE,相交,CF,平面,∴平面,由平面BEP,∴对任意点P,平面平面BEP,故C正确;
对于D,由正方体的性质得,,,
∴,∴,
∴点到直线的距离为,故D正确.
12.ABD对于A,与相交于点O,在翻折过程中,AO始终与BD垂直,因此.
又,由线面垂直的判定定理,可得平面CMO,因此,故A正确;
对于B,已知,若为等边三角形,则.
设菱形ABCD的边长为2,因为,则,即,
又,所以,即二面角的平面角的余弦值为时,为等边三角形,故B正确;
对于C,如图,设N为BC的中点,,当时,平面BCD,所以,
又,则平面DMN,则,故C错误;
对于D,当平面BCD,直线DM与平面BCD所成的角最大,为,易知,故D正确.
三、填空题
13. 14. 15.
16.4;
由,可得,因为G,D,E,F四点共面,所以根据共面定理的推论可得.由,得
,
所以.
四、解答题
17.(1),因为,所以,然后根据,可得,所以或;
(2),,得;
(3)设在上的投影向量的模长,则所求距离.
18.(1),∴
(2),
∴,
∴,∴
19.(1)证明:连接AC交于点G,连接GE,∵E是PC的中点,
∴,平面BDE,平面BDE,∴平面BDE.
(2)设,以D为原点,DA,DC,DP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,设平面BCP的法向量为,由得,同理,由,,由得,由平面BCP与平面BDP的夹角为,,解得,
∴,.设,,又,∴,,∴,
又平面ABCD,平面BCD的法向量,又,则点F到平面BCD的距离.
20.(1)证明:连接BE,在等腰梯形ABCD中,,,E为CD中点,
∴四边形ABED为菱形,∴,∴,,
即,,且,平面POB,平面POB,∴平面PBO.
(2)由(1)可知四边形ABCD为菱形,∴,在等腰梯形ABCD中,
∴正三角形,∴,同理.∵,∴,∴.
由(1)可知,,O为原点,,,分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为,,,,,
∴,,,设,
,
设平面AEQ的一个法向量为,则,即,取得,,得,所以,
设直线PC与平面AEQ所成角为,,则,
即,化简得,解得.即Q为线段PB中点.
21.(1)证明:∵,,,∴平面ABC.
又平面PAC,∴平面平面ABC.
(2)在平面ABC内,过C作x轴⊥CB,建立空间直角坐标系(如图).
由题意有,设,则,,,由直线AM与直线PC所成的角为60°,得,即,得,所以.
由直角梯形PCBM可知,则可设,
由题意得,,设平面ACQ的一个法向量为,则
,取,得.
平面ABC的法向量取,
则,解得(负值舍去),则.
22.(1)证法1:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则,,,,,,,
,因为,所以无论取何值,总有.
证法2:同上建系,,,因为,所以,
因为,所以,所以平面,因为平面,所以无论取何值,总有.
本题第一问号方法较多,其他方法请酌情给分,一问满分4分.
(2)是平面ABC的一个法向量,,
所以当时,取到最大值,此时角也最大.
(3)假设存在点P满足条件.易知.设是平面PMN的一个法向量,
则,所以,取,得,
,化简得,
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