广西南宁市2024-2025学年高三上学期10月普通高中毕业班摸底测试 数学试题（含解析）

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（全卷满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题，，，，则（ ）
A. p和q都是真命题
B. p和都是真命题
C. 和q都是真命题
D. 和都是真命题
3. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生成绩都在区间内，按分数分成5组：50,60，60,70，，80,90，90,100，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ）
A. 成绩在80,90上的人数最多
B. 成绩不低于70分学生所占比例为
C. 50名学生成绩的平均分小于中位数
D. 50名学生成绩的极差为50
5. 已知，，在x轴上方动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A，B，C不同的三点，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 与的图象有相同的对称轴
B. 与的值域相同
C. 与有相同的零点
D. 与的最小正周期相同
10. 已知F为抛物线的焦点，C的准线为l，直线与C交于A，B两点（A在第一象限内），与l交于点D，则（ ）
A.
B.
C. 以AF为直径的圆与y轴相切
D. l上存在点E，使得为等边三角形
11 设函数，则（ ）
A. 当时，是的极小值点
B. 恒有两个单调性相同的区间
C. 当有三个零点时，可取得的整数有2个
D. 点为曲线的对称中心
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，，，且，则______.
13. 已知，，则______.
14. 在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.
①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有______种不同涂法.
②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有______种不同涂法.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，且，求的面积.
16. 已知函数，曲线在处的切线为直线l.
（1）求直线l的方程；
（2）求函数在闭区间上的最值.
17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面.
（1）证明：⊥平面；
（2）若，四棱锥体积为2，求二面角的正弦值.
18. 我省某市为吸引游客，推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点.
（1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望；
（2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率.
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列bn：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）证明：数列bn是等比数列；
（3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明