广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2024−2025学年高三上学期开学联考 数学试题（含解析）

这是一份广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2024−2025学年高三上学期开学联考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
3．函数的部分图象如图所示，则可以为（ ）

A．B．
C．D．
4．展开式中的常数项为（ ）
A．B．0C．5D．10
5．若，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．16D．64
6．函数的部分图象如图所示，若直线与图象两个交点的横坐标分别为0和，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若，数列的前项和为，且，，则（ ）
A．76B．38C．19D．0
8．若A为函数图象上的一点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，其中为的共轭复数，则（ ）
A．的实部为2B．的虚部是
C．D．在复平面内，对应的点在第二象限
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴的左、右端点分别为，，虚轴的上、下端点分别为，，斜率为的直线经过且与的左支交于两个不同的点，A为上一点，且，则（ ）
A．B．四边形的周长小于24
C．D．的面积为
11．已知正三棱台上、下底面的边长及高分别为，，2，则正三棱台的（ ）
A．斜高为B．体积为
C．侧棱与底面所成的角为D．外接球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知质点，从点处分别以，的速度同时在圆上作逆时针运动，若经过，，第一次相遇，则 ．
13．已知，，若，则 ．
14．已知直线与抛物线交于，两点，为的焦点，若中点的纵坐标始终为1，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设公比不为1的等比数列的前项和为，且．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
16．在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：
(1)根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
17．如图，在三棱柱中，为底面的重心，点分别在棱上，且.

(1)求证：平面；
(2)若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面DOG的夹角的余弦值．
18．已知函数，，．
(1)当时，求在上的值域；
(2)当时，，，求的取值范围．
19．我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的的内接四边形叫做的内接矩形．如图，已知四边形是的一个边长为1的内接正方形，，分别与轴交于，，且，为的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)设是四边形内部的100个不同的点，线段，与轴分别交于，，记，其中，证明：，中至少有一个小于．
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用列举法表示出集合后，结合交集定义即可得解.
【详解】依题意，，，所以.
故选D.
2．【答案】A
【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解.
【详解】点在圆内，
所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】A
【分析】由排除D，由奇偶性排除B，由在时的单调性即可排除C，最后验证A符合题意即可.
【详解】对于D，函数中，，故排除D；
对于B，显然，都为奇函数，为偶函数，且也是奇函数，理由如下：
的定义域为全体实数，且，所以是奇函数，
所以，为偶函数，为奇函数，故排除B；
对于C，当时，（由复合函数单调性可判断），同时单调递增，且同时非负，
所以在时也单调递增，故排除C；
经检验A选项符合题意.
故选A.
【方法总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．【答案】B
【分析】直接由二项式定理进行求解即可.
【详解】展开式中的通项为，
所以展开式中的常数项为.
故选B.
5．【答案】C
【分析】直接运用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，当且仅当时，的最小值为16.
故选C.
6．【答案】C
【分析】由图象可得函数周期，即可得，由的值结合图象及的范围可得，即可得解.
【详解】由图象可得的周期为，所以，
因为，且，所以或，
因为在单调递增区间内，所以，即.
故选C.
7．【答案】A
【分析】由题意可知函数关于对称，然后再通过，求解数列an的通项，进而求解.
【详解】因为，
所以，
所以的图象关于点对称，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，，
所以，，
所以，即，
所以，，
即.
故选A.
8．【答案】B
【分析】求出函数的导函数，设，函数在点A处的切线的斜率为，要使取得最小值，从而得到，令，利用导数说明函数的单调性，观察得到，求出此时A点坐标，即可求出的最小值.
【详解】因为，所以在R上单调递增，且也单调递增，
若，则，显然不符合题意；
设，则函数在点A处的切线的斜率为，
所以取得最小值，
令，
则，
令，则且，
令，则，
显然在上单调递增，又，，
所以存在使得，即，
所以当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，
又
，
函数在上单调递减，
又，，当时，
所以，即恒成立，
即恒成立，所以在R上单调递增，又，所以，
此时，所以取得最小值为.
故选B.
【关键点拨】本题关键是转化为在点A处的切线与垂直，求出，其中说明函数的单调性是一个难点.
9．【答案】AC
【分析】首先由共轭复数的概念复数相等求得即可判断AB，结合模的计算公式以及复数的几何意义可依次判断CD.
【详解】设，因为，所以，
所以，即，
所以，，即，，
所以的实部为2，A正确；
的虚部是，B错误；
，C正确；
，所以在复平面内对应的点在第四象限，D错误.
故选AC.
10．【答案】ABD
【分析】对于A，求出实轴长度即可判断；对于B，由勾股定理即可判断；对于C，画出图形即可判断；对于D，结合双曲线定义、余弦定理得，进一步结合三角形面积公式即可求解.
【详解】对于A，的实半轴长，虚半轴长，半焦距，渐近线方程为，所以，A正确；
对于B，四边形的周长为，B正确；
对于C，作出与其渐近线，直接由图形得，，C错误；

对于D，不妨设A位于的左支，则，
所以①，
因为，所以，
所以②，
所以得，，
所以的面积为，D正确.
故选ABD.
11．【答案】AC
【分析】对于A，通过分析得出，，，结合勾股定理验算即可；对于B，直接由棱台体积公式验算即可；对于C，显然侧棱与底面所成的角为，结合解三角形知识验算即可；对于D，显然外接球的球心在直线上，设，列方程可求出以及外接球半径，进一步即可验算.
【详解】对于A，如图，
在正三棱台中，设，分别为上下底面的中心，，分别为，的中点，
因为上底面的边长，下底面的边长分别为，，
所以，，，，
又，所以，A正确；
对于B，体积为，B错误；
对于C，侧棱与底面所成的角为，在直角梯形中，由，，，
计算得，而，从而，C正确；
对于D，由已知得，外接球的球心在直线上，设，
由题得，，解得，
所以外接球的表面积为，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【分析】由题意比多走一圈，可列关于的方程，由此即可得解.
【详解】由已知得，经过，，第一次相遇，此时比多走一圈，所以，即.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】借助向量垂直可得其数量积为，利用向量数量积公式与模长公式计算后结合三角函数基本关系即可得解.
【详解】由，则有，即，
又，
则，
故.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】设，，直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据中点纵坐标，得到方程，求出，由焦半径公式得到，由根据的判别式得到，从而得到的取值范围.
【详解】不妨设，，直线的方程为，
与联立消去得，，
此时必须，所以，
因为中点的纵坐标为1，所以，所以，即，
所以，又为抛物线的焦点，
所以，
因为，所以，所以.
故答案为：.
【方法总结】圆锥曲线中最值与取值范围问题的常见解题策略：
(1)几何法：若题设条件和结论能明显体现几何特征和意义，则可考虑利用图形的几何性质求解；
(2)代数法：若题设条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与取值范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列方程即可求解；
（2）由题意得，结合等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设的公比为，
，，
，，
，；
（2），（或），
，
.
16．【答案】(1)72台
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出与后，借助回归直线过样本中心点即可得回归直线方程，再借助回归直线方程代入计算即可得解；
（2）得出的所有可能取值后，计算每种取值对应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得其期望.
【详解】（1），
，
又回归直线过样本中心点，
所以，得，
所以，
当时，，
所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台；
（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：
.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；
（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.
【详解】（1）如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接，
因为为底面的重心，所以，
又，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；

（2）取的中点为，连接．
因为底面，且三棱柱的各棱长均相等，
所以直线两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为6，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
【方法总结】求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，通过转化求出结果.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对求导，分析得出在上单调递增，由此即可得解；
（2）连续求导，分是否大于2进行讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，
所以，
因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，即在上单调递增，
所以，当时，，且注意到的图象是一条连续的曲线，
所以在上的值域为；
（2）当时，，，
即在区间上成立，则，
令，，
因为，所以，
所以，，
所以在时单调递增，可知，
当时，，即，
所以在上单调递增，即成立，
当时，，当时，，
所以使得，
当时，，
即，即在上单调递减，
所以，即，不成立，舍去，
综上，，即的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得，再求出，即可求出，从而求出；
（2）连接并延长与交于点，连接，根据椭圆的定义得到，从而得到，再由对称性得到，即可得证.
【详解】（1）依题意，焦距，所以，
连接，则，所以，
所以，所以，
所以的标准方程为，即；
（2）连接并延长与交于点，连接（为了便于理解，解析图中只做了两条，其它类似），
则，
所以，
根据对称性，
若，均不小于，则，与矛盾，
所以，中至少有一个小于.
月份
1
2
3
4
5
6
销量
12
21
33
41
52
63
0
1
2
3