广东省惠州市第一中学、深圳实验学校、东莞中学等三校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

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数学科试题
（满分 150 分。考试时间 120 分钟。）
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填
写在答题卡上。并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（）
A．B．C．D．
2．设复数（为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设a，，则“”是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的部分图象大致为（）

A. B. C. D.
5．已知对数函数（且）是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（）
A．B．C．D．
6．已知，则（）
A．B．C．D．
7．已知函数函数，则下列结论正确的是（）
A．若，则恰有2个零点
B．若恰有2个零点，则的取值范围是
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若，则恰有4个零点
8．已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（）
A．当时，函数的图象的一条对称轴为
B．已知，，且的最小值为，则
C．当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
10．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）
A．的图象关于点对称
B．是以8为周期的周期函数
C．
D．存在函数,使得对，都有
11．已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足为常数，则下列叙述中正确的为（）
A．当时，
B．当时，的解析式为
C．当时，在上恒成立
D．当时，函数的图象与直线在上的交点个数为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知函数，正数满足，则的最小值为．
13．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特定剂量范围内，（单位，h）内药物在血液中浓度由（单位，）降低到（单位，），则药物的半衰期．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为和，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为，设药物甲、乙的半衰期分别为，，则．
14．若a，b为正实数，且在上递增，则的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
(1)证明：函数的图象关于点对称；
(2)判断函数的单调性(不用证明)，若，求实数的取值范围．
16．(15分)
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)设的中点为，若，且，求的面积．
17．(15分)
已知函数且．
(1)求函数的定义域；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值．
18．(17分)
已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有三个不相等的零点，且在点处切线的斜率为，求的取值范围及的值.
19．(17分)
定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系.
(1)设函数，，
①证明和在上具有“伙伴”关系；
②若和在上的关于x轴的对称点M和N的横坐标为，判断并证明数列的增减性.
(2)若函数和在区间上具有“伙伴”关系，求m的取值范围.