广东省2025届高三上学期9月份联考 数学试题（含解析）

这是一份广东省2025届高三上学期9月份联考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题，；命题，是质数，则（ ）
A．均是真命题B．均是真命题
C．均是真命题D．均是真命题
2．已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．0C．1D．20
4．已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
6．在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（ ）
A．1B．C．2D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于函数和，则（ ）
A．与的零点相同B．与的最小值相同
C．与的最小正周期相同D．与的极值点相同
10．已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．某箱中有若干个编号依次为的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球，若第次取出球的编号为，则记为，则下列说法正确的是（ ）
A．若则
B．若则
C．若则事件和事件相互独立
D．若则事件和事件相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，若，则 .
13．已知二项式的展开式中的常数项为，则 .
14．已知椭圆与圆有四个不同的公共点，其中.若，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率；
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为，求的数学期望.
16．已知首项为1的等差数列的公差为2，又数列bn满足.
(1)求数列bn的前项和；
(2)在中，内角的对边分别为，且，，求面积的最大值.
17．如图，在正四棱台中，，，，棱上的点满足取得最小值.
(1)证明：平面；
(2)在空间取一点为，使得，设平面与平面的夹角为，求的值.
18．已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为
(1)求的标准方程；
(2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点.
①求直线斜率的取值范围；
②求的取值范围.
19．已知函数，.
(1)证明：当时，曲线关于点对称；
(2)若为曲线的公共点，且在处存在共同的切线，则称该切线为的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.
1．B
【分析】根据题意可知当时可判断命题为假命题，存在，是质数，即为真命题.
【详解】易知当时，可得，此时，即命题为假命题，所以命题为真命题；
当时，是质数，所以命题为真命题.
因此均是真命题.
故选：B.
2．C
【分析】利用对数函数图象过定点可知即为的焦点，即可得出其准线方程.
【详解】易知函数过轴上定点，即为的焦点，
故的准线方程为.
故选：C.
3．A
【分析】将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以.
故选:A.
4．D
【分析】根据球的性质结合圆锥的轴截面列式求半径，即可得体积.
【详解】设球的半径为，
结合圆锥的轴截面可得：，解得，
所以球的体积为.
故选：D.
5．B
【分析】利用时，得到，代入，求出答案.
【详解】由题意可得①，
所以时，②，
①-②得，所以，所以.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理求得，求得，然后再利用正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案.
【详解】因为，且，
所以，
由正弦定理，可得，即，
所以，
又因，所以，所以 外接圆的半径为.
故选：A.
7．D
【分析】将转化为，整体代入求解.
【详解】因为，，，
，故，且，故，
故.
故选：D.
8．B
【分析】对式子进行配方，进而可知表示的几何意义，进而可知时最小，对等式进行化简，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进而可知其零点，进而求解.
【详解】的几何意义是点与函数的图象上任意一点距离的平方，即，
要使得AB存在最小值，必须，即，
即在0,+∞上有解，
令，
当x∈0,+∞，恒成立，
所以hx在0,+∞上至多存在一个零点，
因为，
所以hx在0,+∞上存在一个零点3，
所以取得最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于能够发现的几何意义.
9．BC
【分析】A选项，令，求出两函数零点；B选项，；C选项，fx,gx的周期均为；D选项，对令，得，，对令，得，，故极值点不同.
【详解】A选项，令，解得，，
令，解得，，
显然，零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，fx,gx的周期均为，C选项正确；
D选项，对令，得，，
对令，得，，
显然，的极值点不同，D选项错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】由，得到，求得，可判定A不正确；结合基本不等式，可得判定B正确；由函数，利用导数求得的单调性与最小值，得到，进而得到，可得判定C正确；结合，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为，可得，又因为，所以，
可得，解得，所以A不正确；
对于B中，由，则，则，
当且仅当，即时，等号成立，因为所以，所以B正确，
对于C中，由函数，可得，
当时，f'x