北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期开学检测 数学试卷（含解析）

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式得,再根据几何运算求解即可.
【详解】解：解不等式得，故，
所以集合.
故选：C.
2. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.
【详解】解：因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】直接由二项展开式求含的项即可求解.
【详解】由题意知：含的项为，故的系数为.
故选：C.
4. 某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意能为型的病人输血的有型和型，根据互斥事件概率的加法公式即可求解.
【详解】该地区居民血型的分布为型型型型.，
能为型的病人输血的有型和型，
所以能为该病人输血的概率为，
故选：C.
5. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性即可.
【详解】对于A，当时，函数在上单调递减，故A错误；
对于B，函数在不单调，故B错误；
对于C，函数，则，
因为，
所以，
所以，
故函数在上单调递增，故C正确；
对于D，函数，在单调递减，在单调递增，故D错误.
故选：C.
6. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以.
故选：D.
7. 若，则的大小关系是（ ）
A. ＞＞B. ＞＞C. ＞＞D. ＞＞
【答案】B
【解析】
【分析】将分别根据自身的特点求出范围或值，再比较即可.
【详解】
，
故选：B．
8. 已知且，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式，可得的取值范围，再结合充分、必要条件的判定方法，可得问题答案.
【详解】由得：
若，则；若，则.
所以“”等价于“或” .
所以“且”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
9. 已知函数，则（ ）
A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴
B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心
C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴
D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.
【详解】由得，解得，所以的定义域是-1,1，
，
在-1,1上单调递增，在0,+∞上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在-1,1上是增函数，
，
所以是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.
故选：D
10. 已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.
【详解】当时，有，
由随增大而增大，且，故，
当时，有，即，
即，
整理得，即，
故，又，故，
综上所述，，
则，当且仅当、时等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.
【详解】要使函数解析式有意义，
则有，即，
解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
12. 已知函数，则的定义域是______；的最小值是______.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可.
【详解】第一个空：根据题意得到，x>0x-1>0，解得x>0x>1，即，则的定义域是.
第二个空：由于函数.
继续化简得到，由于，
则，当且仅当，即时取最值.
所以，则的最小值是2.
故答案为：；2.
13. 某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______；
【答案】0.7
【解析】
【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥
根据题意得：，，
由全概率公式，得：
.
故答案为：0.7.
14. 已知等比数列满足：，，，则公比______，的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由，可得，再代入，即可得第一空答案；求得，从而得，求出以的最小值，即可得第二空答案.
详解】由，可得，
又因为，所以，
又因为，
即，解得；
因为，，
所以，
所以，
因为当或时，取小值，
所以取最小值，
即的最小值为.
故答案为：2；
15. 函数的图象可能是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】求函数的导函数，分别在条件下判断函数的单调性，由此确定答案.
【详解】设，则，
当时，，f'x=ex>0，
函数在上单调递增，且，
又在上单调递增，所以函数先平缓后陡峭，其形状如①，
令，可得，
方程的判别式，
当时，所以方程有两个根，
设方程的两个根为，，
则，所以，，
当时，f'x<0，函数单调递减，
当时，f'x>0，函数单调递增，
当时，f'x<0，函数单调递减，
令可得，解得，，
当或时，，
当时，，其图象形如③；
当时，f'x≥0，，
函数在上单调递增，且函数值都为正，函数图象形如①，
当时，所以方程有两个根，
设方程的两个根为，，
则，所以，
当时，f'x>0，函数单调递增，
当时，f'x<0，函数单调递减，
当时，f'x>0，函数单调递增，
且fx=kx2+1ex>0，其图象形如②.
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数，.
（1）______，______；
（2）的极小值点为______，极小值为______；
（3）的极大值点为______，极大值为______；
（4）画出函数的图象草图：
（5）若方程恰好有2个解，则实数______；
（6）若在上单调，则实数a的取值范围是______；
（7）若函数存在极值，则极值点个数可能为______.（写出所有可能）
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4）图象见解析； （5）；
（6）；
（7），
【解析】
【小问1详解】
因为，，
所以，
，
【小问2详解】
又（1），令，可得，所以或，
当时，f'x<0，函数在上单调递减，
当时，f'x>0，函数在0,2上单调递增，
当时，f'x<0，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
所以函数的极小值点为，极小值为.
【小问3详解】
由（2）当时，函数取极大值，极大值为，
所以函数的极大值点为，极大值为.
【小问4详解】
由（2）函数的单调递减区间有，，
单调递增区间有0,2，，
由（3），
因为，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以函数的大致图象如下：
【小问5详解】
由（4）可得当且仅当时，方程恰好有2个解，
所以；
【小问6详解】
由（1），因为在上单调，
所以恒成立或恒成立，
所以或，又，
所以的取值范围是.
【小问7详解】
由（1），
当时，，函数在上单调递增，
所以函数没有极值点，不满足要求；
当时，方程有三个根，
设的根为，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
此时函数有个极值点，
当时，方程有两个根，其中较大根为
设的另一根为，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递减，
此时函数有个极值点，
当时，方程有一个根，
设的根为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
此时函数有个极值点，
所以若函数存在极值，则极值点的个数可能为，.
17. 科学家发现某种特别物质的温度（单位：摄氏度）随时间（时间：分钟）的变化规律满足关系式：（，）.
（1）若，求经过多少分钟，该物质的温度为摄氏度；
（2）如果该物质温度总不低于摄氏度，求的取值范围.
【答案】（1）经过分钟，该物质的温度为摄氏度；（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，令，结合解出的值；
（2）令，换元，于是得出，由参变量分离法得出，然后求出函数在上最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，当，令，
时，解得，因此，经过分钟时间，该物质的温度为摄氏度；
（2）由题意得对一切恒成立，
则由，得出，令，则，且，
构造函数，
所以当时，函数取得最大值，则.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查给定函数模型的应用，考查指数方程的求解以及指数不等式恒成立问题的求解，在含单一参数的不等式问题中，通常利用参变量分离法转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
18. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：

（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
（2）若从高一（2）班抽测的10人中随机抽取2人，从高一（4）班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这3人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的概率；
（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合题意，利用古典概型的概率公式，即可求得答案；
（2）确定相应的情况，分类计算，结合独立事件的乘法公司，即可求得答案；
（3）利用两点分布的方差计算公式，求出，，，，比较大小，即可得结论.
【小问1详解】
由题意知从高一年级的（1）班~（8）班了抽测共80人，
其中身体素质监测成绩达到优秀的共有，
故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为；
【小问2详解】
由题意可知高一（2）班抽测的10人中优秀的有6人，高一（4）班抽测的10人中优秀的有4人，
则表示抽测的3人中身体素质监测成绩达到优秀的有2人，
则；
【小问3详解】
由题意得，
由于服从两点分布，则，
，则，
，则，
，则，
故.
19. 已知函数.
（1）若曲线y=fx在点1,0处的切线为轴，求的值；
（2）讨论在区间1,+∞内的极值点个数；
（3）若，求证：存在两个零点，且满足.
【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可；
（2）针对导函数，分和两种情况讨论求解即可；
（3）通过导数求出函数的单调性，由函数及，，，，从而可证明函数存在两个零点，再根据零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
函数求导得，
因为函数在处切线为轴，
所以，即.
【小问2详解】
函数的导函数，
若，当时，恒成立，
函数在上单调递增，即函数无极值点.
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因此，为的极值点，且无极大值点.
所以当时，在内极值点个数为；
当时，在内极值点个数为.
【小问3详解】
当时，导函数，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，
又因为，
当时，，当时，，
所以函数存在两个零点.
设，又因为，所以，
又因为，
，
所以，
所以.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的极值点；
（3）当时，若函数无零点，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）的极小值点为，无极大值点.
（3）
【解析】
【分析】（1）运用导数几何意义得到切线斜率，再结合点斜式可解；
（2）先求导，借助导数的正负判断单调性，再得到极值点即可；
（3）讨论函数单调性，得到函数大致图像走向，再用零点的概念，比较最小值与0的大小即可.
【小问1详解】
当，，求导，则，且，
则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，即.
【小问2详解】
f'x=a2+ax-2x=a2x+ax-2x=ax+2ax-1xa>0x>0
当时，则ax+2>0，令则，令则
故在单调递减，单调递增，故当，取极小值.
的极小值点为，无极大值点.
【小问3详解】
当，令，则，令，则，则.
故在单调递增，在单调递减.
故当取得极小值也是最小值.
最小值为.
且,且.
若函数无零点，则fxmin=-4ln2+2lna2>0,解得，即或者.
由于，则.
所以a的取值范围为.
21. 首项为0无穷数列同时满足下面两个条件：
①；②
(1)请直接写出的所有可能值；
(2)记，若对任意成立，求的通项公式；
(3)对于给定的正整数，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）当为奇数时的最大值为; 当为偶数时，的最大值为.
【解析】
【分析】(1)由递推关系得到的所有可能值；
(2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；
(3) 由（2）的证明知，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.
【详解】（1）的值可以取 .
（2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，
即数列的偶数项是单调递增数列，
根据条件，，
所以当对成立 ，
下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”，
假设数列中存在同时为非负数，
因为，
若 则有，与条件矛盾，
若则有， 与条件矛盾 ，
所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，
此时对成立，
所以当时，，即，
所以 ，
，
所以，
即，其中 ，
即，其中，
又，，
所以是以，公差为的等差数列，
所以 .
（3） 记，
由（2）的证明知，不能都为非负数，
当，则，
根据，得到，所以，
当，则，
根据，得到，所以，
所以，总有成立 ，
当为奇数时，，故的奇偶性不同，则 ，
当为偶数时， ，
当为奇数时，，
考虑数列： ，，
可以验证，所给的数列满足条件，且,
所以的最大值为，
当为偶数时，，
考虑数列：，，-，， ,
可以验证，所给的数列满足条件，且，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题