九年级上学期期中数学试题（人教版） (11)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (11)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列现象不是旋转的是（ ）
A. 传送带传送货物；B. 飞速转动的电风扇；
C. 钟摆的摆动；D. 自行车车轮的运动
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的定义依次分析每个选项即可．
【详解】解：A选项中的现象属于平移，故A正确；
B、C、D选项中的现象都属于旋转；故都不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的定义，解题关键是牢记旋转指的是在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．
2. 方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．根据一元二次方程解的定义列式求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∴．
故选D．
3. 下列抛物线中，过原点的抛物线是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出时的值，即可判断是否过原点．
【详解】解：A、中，当时，，不过原点；
B、中，当时，，不过原点；
C、中，当时，，过原点；
D、中，当时，，不过原点；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．
4. 在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )
A. 88米B. 68米C. 48米D. 28米
【答案】A
【解析】
【详解】当t=4时，路程(米).
故本题应选A.
5. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A. y＝(x－1)2＋2B. y＝(x＋1)2＋2C. y＝(x－1)2－2D. y＝(x＋1)2－2
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【详解】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，
故选：A．
【点睛】考点：二次函数图象与几何变换．
6. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，利用求出，再用即可得出结果．
【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
7. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质直接判断即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴在上y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据解析式找到相应的性质判断．
8. 在平面直角坐标系中，已知，现将A点绕原点O逆时针旋转得到，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质进行判断作答即可．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，

∵将A点绕原点O逆时针旋转得到，
∴由旋转的性质可得，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，绕原点旋转90度的点的坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．将原来的道路等价为十字形道路，或是等价为草坪外围的形道路，即可得出草坪的长为 ，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程．
【详解】解：如下图，
则草坪的长为 ，宽为 ，
根据题意得 ．
故答案为：A．
10. 二次函数的图象如图所示，则下
列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（ ）
A. ②④⑤B. ①②④C. ①③④D. ①③④⑤
【答案】C
【解析】
【详解】①由图象可知：a0，c>0，abc0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+cm(am+b)，故此选项错误．故①③④正确．故选C.
点睛：本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 抛物线的对称轴是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数性质．把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．
【详解】解：．
∴抛物线的对称轴是．
故答案为：．
12. 设m、n是一元二次方程的两个根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴．
故答案为：．
13. 已知是关于的方程的一个根，则__________．
【答案】15
【解析】
【分析】求代数式的值，用整体代入即可．
【详解】∵m是一元二次方程x2 −2x−5=0的一个根，
∴m2-2m-5=0
∴m2-2m=5
∴3m2−6m=15
故答案为：15．
【点睛】本题考查了整体代入的方法，做题的关键是求出m2-2m=5，计算即可．
14. 美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】由每轮传染中平均一个人感染人，可得出第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染，结合经过两轮传染后共有100个人感染，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：每轮传染中平均一个人感染人，
第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染．
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝_____．
【答案】100°或120°
【解析】
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
【详解】如图：
①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100°或120°．
故答案为100°或120°．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形30度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
三、解答题（一）
16. 用配方法解方程：
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
配方得，即，
∴，
∴，．
17. 用适当的方法解方程：
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，方程左边提取，即可解答，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
，
即，
所以或
解得或
所以原方程的解为或．
18. 如图，在边长为1的小正方形格中，顶点均在格点上，
（1）将向左平移3个单位长度得到，请画出；
（2）以原点O为旋转中心，画出把顺时针旋转的图形
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系内点关于对称轴对称或原点对称，平移、旋转变换，本题的关键是找到平移后和旋转后的对应点．
（1）根据平移的性质得到对应点，然后连线即可；
（2）根据旋转的性质得到对应点，然后连线即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
．
四、解答题（二）
19. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）结合图象填空：
①关于x的一元二次方程的解是 ；
②不等式的解集为 ．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
（1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得a的值；
（2）根据抛物线的对称性求得点，的对称点，然后根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：由图象可知抛物线顶点，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴关于直线对称点是，
∴关于x的一元二次方程的解是；
故答案为：；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴的对称点是，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
20. 如图，已知正方形的边长是5，点E在上，将经顺时针旋转后与重合．
（1）指出旋转的中心和旋转角度；
（2）如果连接，判断的形状并说明理由；
（3）向右平移后到的位置，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是；
（2）是等腰直角三角形，详见解析
（3），，详见解析
【解析】
【分析】（1）本题考查旋转的性质及正方形的性质，根据与相交于点A即可得到旋转中心，根据正方形得到，结合旋转得到，即可得到，即可得到答案；
（2）本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据旋转得到，结合（1）即可得到答案；
（3）本题考查平移的性质及直角三角形两锐角互余，根据平移得到相等，根据直角三角形两锐角互余得到位置关系即可得到答案；
小问1详解】
解：由题意可得，
∵与相交于点A，
∴点A是旋转中心，
∵四边形是正方形，
∴，
∵经顺时针旋转后与重合，
∴，
∴，
∴旋转的中心是点A，旋转的角度是；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形，理由如下，
，
∵经顺时针旋转后与重合，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：∵向右平移后到，
∴，，
∵，
∴，
∵经顺时针旋转后与重合，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，．
21. 已知关于的方程．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）的周长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可；
（2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴，，（）
∵斜边长，
∴，
∴，即，
整理得（负值舍去），
∴，
∴的周长为；
∴的周长为．
五、解答题（三）
22. 商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？
（3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？
【答案】（1）每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元
（2）每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元
（3）当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用销售问题的数量关系是解答的关键．
（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；
（2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可；
（3）设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，根据“总利润=单件利润×销售量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况．
【小问1详解】
解：当每件商品售价为140元时，比每件商品售价130元高出10元，
即（元），
则每天可销售商品60件，即（件），
商场可获日盈利为（元）．
答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元；
【小问2详解】
解：设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，
则每件商品比130元高出元，每件可盈利元，
每日销售商品为（件），
依题意得方程，
整理，得，
解得：．
答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元；
【小问3详解】
解：设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，
则商场的日盈利
，
∴当时，w取得最大值，最大值为1600，
答：当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元．
23. 已知二次函数.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；（2）C点坐标为：（0，3），D（2，－1）；（3）P（，0）．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可．
（2）把m=2，代入求出二次函数解析式，利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
（3）根据两点之间线段最短的性质，当P、C、D共线时PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入得：，解得：m=±1．
∴二次函数的解析式为：或．
（2）∵m=2，
∴二次函数为：．
∴抛物线的顶点为：D（2，－1）．
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3）．
（3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短．
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴△COP∽△CED．
∴，即，
解得：
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．