重庆市多校联考2025届高三上学期9月月考 数学试题(含解析)
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这是一份重庆市多校联考2025届高三上学期9月月考 数学试题(含解析),共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容,635等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,则( )
A.B.C.D.
2.若,则( )
A.B.
C.D.
3.2024年1月至5月重庆市八大类商品和服务价格增长速度依次为,,则该组数据的第75百分位数为( )
A.B.C.D.
4.甲同学每次投篮命中的概率为,在投篮6次的实验中,命中次数的均值为2.4,则的方差为( )
A.1.24B.1.44C.1.2D.0.96
5.已知函数,且的图象不经过第一象限,则函数的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
6.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在上,为的中点,且,则的离心率为( )
A.B.C.D.
7.已知正四面体的高等于球的直径,则正四面体的体积与球的体积之比为( )
A.B.C.D.
8.在中,,且边上的高为,则( )
A.的面积有最大值,且最大值为
B.的面积有最大值,且最大值为
C.的面积有最小值,且最小值为
D.的面积有最小值,且最小值为
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知点到抛物线准线的距离为4,则的值可能为( )
A.8B.C.24D.
10.将函数图象的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,则( )
A.为偶函数
B.的最小正周期为
C.与在上均单调递减
D.函数在上有5个零点
11.若函数,则( )
A.可能只有1个极值点
B.当有极值点时,
C.存在,使得点为曲线的对称中心
D.当不等式的解集为时,的极小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若向量,且,则 .
13.已知是等比数列,,则数列的前项和为 .
14.甲、乙玩一个游戏,游戏规则如下:一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球,甲先从盒子中不放回地随机取一个球,乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球,比较小球上的数字,数字更大者得1分,数字更小者得0分,以此规律,直至小球全部取完,总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在正方体中,点分别在上,且.
(1)若,证明:平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16.为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性,随机调查了某中学的100名学生,整理得到如下列联表:
(1)依据的独立性检验,能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联?
(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数,该校学生经过训练后,跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10,该校有1000名学生,预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数(结果精确到整数).
附:,其中.
若,则,.
17.已知函数,且曲线在点处的切线斜率为.
(1)比较和的大小;
(2)讨论的单调性;
(3)若有最小值,且最小值为,求的最大值.
18.已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)在直线上有一点,过点的直线与曲线相交于两点.设,证明:只与有关.
19.若数列满足,且,则称数列为“稳定数列”.
(1)若数列为“稳定数列”,求的取值范围;
(2)若数列的前项和,判断数列是否为“稳定数列”,并说明理由;
(3)若无穷数列为“稳定数列”,且的前项和为,证明:当时,.
男学生
女学生
合计
喜欢跳绳
35
35
70
不喜欢跳绳
10
20
30
合计
45
55
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1.A
【分析】解一元二次不等式求出集合,然后由并集运算可得.
【详解】解不等式得,即,
又,所以.
故选:A
2.C
【分析】利用复数乘法和除法法则计算出答案.
【详解】,
故.
故选:C
3.B
【分析】将数据从小到大排列,然后计算,由第6和第7个数据的平均数可得.
【详解】将数据由小到大排列:,
因为,所以该组数据的第75百分位数为.
故选:B
4.B
【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果.
【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布,即;
即可得均值为,解得;
所以的方差为.
故选:B
5.D
【分析】根据指数函数图象性质可得,再由对数函数图象性质可判断出结论.
【详解】当时,函数单调递增,图象经过第一象限,不合题意;
当时,函数单调递减,图象不经过第一象限,合题意;
显然此时,则函数为单调递增,又恒过点,
因此函数的图象不过第四象限.
故选:D
6.C
【分析】利用椭圆定义以及的位置关系及长度,构造方程即可解得离心率.
【详解】如下图所示:
根据题意可知,由椭圆定义可得,
又为的中点,可得,
因为,由勾股定理可得,即;
结合整理可得,即,
解得或(舍).
故选:C
7.A
【分析】利用正四面体的特征求其高及体积,进而求球的体积即可.
【详解】
如图,正四面体,设其棱长为2,
设的中心为,连接,延长交于,
则平面且,
故正四面体的高为且,
所以.
设球的半径为,则,
则球的体积为,
故体积比为
8.D
【分析】由两角和差的正弦展开可得,再由三角形面积公式可得,再通过余弦定理求得的范围,即可求解.
【详解】因为
所以
所以,又为三角形内角,
所以,所以
设角的对边分别为,边的高为,
由三角形面积公式可得:,又,
所以,又,
所以,当且仅当时取等号,
所以
所以
故选:D
9.AD
【分析】先由抛物线方程写出其准线方程,利用点到直线距离公式列出方程,解之即得.
【详解】因抛物线的准线为,
则点到直线的距离为:,解得,或.
故选:AD.
10.ACD
【分析】诱导公式结合余弦函数性质可判断A;根据周期变换求,由周期公式可判断B;整体代入法求单调区间即可判断C;直接解方程求零点可判断D.
【详解】对A,,显然为偶函数,A正确;
对B,由题知,,则最小正周期,B错误;
对C,由得,在上单调递减,
所以在上单调递减,
由得,在上单调递减,
所以在上单调递减,C正确;
对D,由得,
所以或,
即或,
因为,所以,
所以函数在上有5个零点,D正确.
故选:ACD
11.BCD
【分析】A项,根据判别式分类讨论可得;B项,有极值点转化为,结合A项可得;C项,取,验证可得;D项,由不等式解集结合图象可知,1和2是方程的两根且,解出系数,代入函数求解极值即可判断.
【详解】,
则,令,
.
A项,当时,,则在R上单调递增,不存在极值点;
当时,方程有两个不等的实数根,设为,,
当时,,在单调递增;
当时,,在单调递减;
当时,,在单调递增;
故在处取极大值,在处取极小值,即存在两个极值点;
综上所述,不可能只1个极值点,故A错误;
B项,当有极值点时,有解,则,
即.由A项知,当时,在R上单调递增,不存在极值点;
故,故B正确;
C项,当时,,
,所以,
则曲线关于对称,
即存在,使得点为曲线y=fx的对称中心,故C正确;
D项,不等式的解集为,
由A项可知仅当时,满足题意.
则且,且在处取极大值.
即,则有,
故,
,
又,
解得,
故,
则,
当时,,则在单调递增;
当时,,则在单调递减;
当时,,则在单调递增;
故在处有极大值,且极大值为;
在处有极小值,且极小值为;
故D正确.
故选:BCD.
【点睛】关键点点睛:本题解决关键在于D项中条件“不等式的解集为”的转化,一是解集区间的端点是方程的根,二是在处取极值,从而.
12.##
【分析】根据向量平行的坐标表示求解可得.
【详解】因为,所以,解得.
故答案为:
13.
【分析】根据等比数列定义可得数列的通项公式,再由等比数列前项和公式计算可得结果.
【详解】由是等比数列可得其公比,
因此数列的首项为,公比,所以,即;
所以数列的前项和为
.
故答案为:
14.##
【分析】将问题转化为在三个盒子中各放入2个编号不同的小球,甲从每个盒子中各取一个小球,求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率,然后可解.
【详解】将问题转化为:在三个盒子中各放入2个编号不同的小球,甲从每个盒子中各取一个小球,求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率.
甲从三个盒子中各取一球,共有种取法,三个都是编号较大小球只有一种取法,
所以,甲获得3分的概率为.
故答案为:
15.(1)证明过程见解析
(2)
【分析】(1)证明出四边形为平行四边形,故,得到线面平行;
(2)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出平面的法向量,利用法向量求解出面面角的余弦值.
【详解】(1)因为,,
所以四边形为平行四边形,故,,
又,,故,,
又,,
故,所以四边形为平行四边形,
故,
因为平面,平面,
所以平面;
(2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,
设正方体棱长为3,则,
可得,
设平面的法向量为m=x,y,z,则,
令得,,故,
且平面的法向量为,
设平面与平面夹角的大小为,
则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16.(1)不能
(2)人
【分析】(1)首先假设,再计算,并和参考数据比较,即可作出判断;
(2)转化为训练前的人数估计.由题意得的值,则即,利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据
【详解】(1):学生的性别和是否喜欢运动无关.
,
所以根据的独立性检验,不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
(2)训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数,
则,,,
即训练前学生每分钟的跳绳个数在,,,
,
由(人)
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
17.(1);
(2)答案见详解;
(3).
【分析】(1)根据导数意义列方程即可求解;
(2)求导,分和讨论导数符号即可得解;
(3)利用(2)中结论表示出最小值,然后利用导数求最值即可.
【详解】(1),由题知,
整理得.
(2)由(1)知,,
当时,恒成立,此时在上单调递增;
当时,令,解得,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(3)由(2)知,当时,无最小值,
当时,在处取得最小值,所以,
记,则,
当时,,当x>1时,,
所以在上单调递增,在单调递减,
所以当时,取得最大值,
即的最大值为.
18.(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)设点,依题可得,化简得;
(2)设,由题意求出,由消去整理得,应用韦达定理,结合图形将表示为,利用向量数量积的坐标式计算化简,并将以上各式代入整理,化成即得.
【详解】(1)设,依题意得,,两边取平方,,
整理得,,即曲线的方程为:.
(2)
如图设点,因点既在直线上,又在直线上,
故得:,解得,.
由消去可得,,
因,故点的直线与曲线相交于两点,设,
则,则,
由图知,
,
故只与有关.
19.(1)
(2)数列不是 “稳定数列”,理由见解析.
(3)证明见解析.
【分析】(1)将数据代入已知不等式,求解即可;
(2)先利用求出数列bn的通项公式,然后再判断是否满足“稳定数列”定义即可;
(3)先利用,建立不等式,两式相加化简,得,构成一个新的数列,有然后,讨论其相邻两项的正负,分别计算即可.
【详解】(1)由“稳定数列”的定义可知,,
解得,又因为,所以.
(2)数列bn不是 “稳定数列”,理由如下
令,得,
当时,,
检验,当时,,
故,所以,,
要使bn为“稳定数列”,则需,
即恒成立;
所以有,
显然不可能恒小于等于零,
故不能恒成立,
所以数列bn不是 “稳定数列”;
(3)由题可知,且,
则与两式相加
得
,
令,
则有,
分类讨论,
第一类, ,
,,
因为,所以有,
所以有,
得,
第二类,,
则有,
则有,, ,
得到,
因为,
所以,
因为,
所以,
所以当为偶数时,,得,
当为奇数时,,
又因为,
所以,
所以,
所以得.
【点睛】关键点点睛:该题为数列新概念题,第一问和第二问,按照其概念计算即可;第三问,需要建立新的递推公式,得到一个找到数列不同项之间的关系,然后建立不等式求解即可.
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