重庆市2025届高三上学期9月第一次质量检测 数学试题（含解析）

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数学试题
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用木皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Hestn Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.

在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A．2.25minB．2.75minC．3.25minD．3.75min
7．已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．图象关于直线对称
C．最小正周期为D．最大值为
11．若函数有三个零点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，成等差数列，则
D．若，，成等比数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，，且，则 .
13．函数的值域为 .
14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若的面积为，周长为8，求.
16．广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里.自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”.经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升.据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类.为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量.
(1)求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大.为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数，，.
17．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
18．已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求周长的最小值.
19．已知为坐标原点，点，分别在曲线：（且）和曲线：（且）上，轴，直线与直线关于直线对称.
(1)若，求；
(2)证明：当时，的取值是唯一的.
1
2
3
4
5
0.171
0.152
0.192
0.189
0.196
12
10
16
14
18
1．D
【分析】由已知集合的交运算即可求它们的交集.
【详解】由题意，集合,
则，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】由得，进而根据充分不必要条件求解即可.
【详解】若则，
若，只有当x>0时才可推出，则，
故是的充要条件.
故选：C.
3．B
【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解.
【详解】设，，显然，
故与的图象关于直线对称.
故选：B.
4．C
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在上单调递减，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，；
当时，由，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
故选：C.
5．C
【分析】利用余弦的和差公式求出，然后可得，再由余弦二倍角公式可得.
【详解】，
，
，
.
故选：C.
6．C
【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得.
【详解】由图2知，解得，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选：C.
7．A
【分析】由复合函数和函数的奇偶性得到的单调性，再分的范围解不等式即可；
【详解】时，即，
在上单增，
又为奇函数，
为偶函数，
在0,+∞上单减，
，故，
所以或时gx<0，当或时gx>0，
当时，，；
当时，，若则gx<0，，
若则gx>0，，
若则，，不符合题意；
综上，，
故选：A.
8．B
【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，易知的零点也是的零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造出函数，利用导数研究其最小值即可.
【详解】当时，不等式显然成立，
当时，不等式恒成立，
设，，则，
令f′x<0得；令得，
所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
因为，时，时，
故在0,+∞上有两个零点，记为，
显然或时，时，
要使恒成立，则，也是的两个零点，
故，，又，所以，所以，所以，
令，则，令得,令得，
所以在0,3上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
故选：B.
9．ACD
【分析】由条件可得，即可判断A，由作差法即可判断B，由基本不等式即可判断C，由二次函数的值域即可判断D
【详解】显然，故，A正确；
因为，则，
即，故B错误；
，且，故由均值不等式知，C正确；
，D正确.
故选：ACD
10．BCD
【分析】利用轴对称的条件，验证成立与否判断A，验证成立与否判断B，利用周期定义验证C，利用导数研究函数的单调性与最值判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故В正确；
对于C，，故是的周期，
设正数为的周期，则恒成立，
，，，，
故为的最小正周期，故C正确；
对于D，根据BD选项可知的最大值即在上的最大值，
求，设，
则在上单减，在上单增，在上单减，，
，故的最大值为，故D正确.
故选：BCD
11．BC
【详解】A，由题意得，有三个零点，则至少有三个单调区间，
故有两个不等实根，，即，A错误；
B，又，则，
，同理，，，В正确；
C，
，，，
若，，成等差数列，则，，，即，C正确；
D，若，，成等比数列，则，
故，，，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于CD选项的判断，解答时要注意利用，推出，，，进而结合数列的性质求解.
12．1
【分析】根据对数、指数运算求得正确答案.
【详解】令，
则，，，
故.
故答案为：
13．
【分析】去绝对值符号，利用导数研究三次函数的单调性结合分段函数求值域即可.
【详解】易知在R上单调递增，且，
所以，
则当时，显然单调递增，故；
当时,，
可知在和上单调递减，在上单调递增，
且时，，，故；
综上，的值域为.
故答案为：
14．
【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数的单调性以及利用数形结合方法，说明零点的个数问题，即可得答案.
【详解】当时，，无零点；
当时，在上单增，至多一个零点，不合题意；
设，，
当时，与的图象大致如图1所示，

时，，二者无交点，
当时，在单调递增，，
则在上单增，，故至多一个零点，不合题意；
当时，与的图象大致如图2所示，此时显然有两个交点，
故有两个零点；综上，，
故答案为：
【点睛】方法点睛：结合题意采用分类讨论参数的取值范围，进而数形结合，确定函数零点个数，即可求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边可得，由余弦定理即可求出角；
（2）根据三角形面积公式可得，利用余弦定理结合完全平方公式可得，即可求.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：所以，
整理得，
所以，
因为，
所以.
（2）因为的面积为，
所以由（1）可知，，
解得，
所以
又因为，
所以，
解得.
16．(1)700
(2)0.94
(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样，理由见解析
【分析】（1）求出样本平均数，再乘以地块数可得出结果；
（2）根据题中所给数据，代入，可得出结果；
（3）由（2）知知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关，各地块间这种植物数量差异也很大，适合采用分层抽样.
【详解】（1）由已知得样本平均数，
从而广阳岛这种鸟数量的估计值为.
（2），
，
故样本的相关系数
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样.
理由如下：由（2）知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计.
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，且，对实数分情况讨论，得出单调性；
（2）将所求的转化为，结合函数的单调性求最值即可求解
【详解】（1）函数，定义域为，
求导，
①若，，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
②若，令，得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
③若，，在上单调递增.
④若，令，得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，故，
，解得，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，故
，即，，解得，；
综上所述，的取值范围是
18．(1)
(2)（i） （ii）
【分析】（1）利用直线求出椭圆中的值，再根据椭圆的标准方程列式求解即可；
（2）（i）设直线：，，与椭圆方程联立，利用和韦达定理可得①，再设的方程为，与椭圆方程联立，利用与椭圆相切，判别式为0，求出切线的方程，同理可得切线的方程，由在直线，上，联立，可得Mx1,y1，Nx2,y2在直线上，得②，再将①②联立即可求解；
（ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上，利用抛物线的性质求解即可.
【详解】（1）由题意得，直线的方程为，即，
当时，，故，
由解得或（舍去），
椭圆的方程.
（2）（i）设直线：，，Mx1,y1，Nx2,y2，
与联立，
所以，，
由可得
化简可得①
设的方程为，即，
与联立，
令，结合，
解得，所以切线方程为，
即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程，
同理可得方程为：，
由在直线，上，则，即Mx1,y1，Nx2,y2在直线上，
所以直线方程为：，即②
由①②可得，时也满足此方程，
所以的轨迹方程为.
（ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上，
过分别向直线作垂线，垂足分别为，，
由抛物线定义可得：，
当且仅当，，共线时取等，
所以周长的最小值为.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为Ax1,y1,Bx2,y2；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）利用得出，再根据对称性建立关于的方程解方程即可；
（2）利用反函数的对称性及条件先得出，令，消元化简得，构造函数并通过多次求导，分区间讨论其单调性，证明即可.
【详解】（1）当时，由轴可得：，故.
易知与互为反函数，其图象关于对称，
又直线与直线关于对称，
则关于对称的点既在上，也在直线上，
则，即，
解得：.
（2）同（1），由反函数的对称性及题意可得：
令，则，
令，
则，
当时，易知，
当时，令，则，
①若，即，则，从而在上单调递增，
，
令，则，故，
，
②若，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，则，则，
由可得在上单调递增，在上单调递减，
，，
，即，
综上，时，即，从而在上单调递增.
又，时，，
故存在唯一的，使得，即的取值是唯一的.
【点睛】思路点睛：对于第二问，由对称性得出的关系式，通过设元消元将问题转化，利用构造函数的方法、根据多次求导并分区间讨论证明即可.