江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期1月考试 数学试题

这是一份江苏省启东中学2023-2024学年高二上学期1月考试 数学试题，文件包含高二数学1月考试数学-教师用卷docx、高二数学1月考试数学-学生用卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y=14x2的焦点坐标是( )
A. (116,0)B. (1,0)C. (−116,0)D. (0,1)
2.已知A(−1,0)，B(1,0)，圆C:x2+(y−4)2=R2(R>0)，若圆C上存在点M，使∠AMB=90∘，则圆C的半径R的范围是( )
A. 3≤R≤5B. 3≤R≤4C. 4≤R≤5D. 2≤R≤4 2
3.已知函数f(x)=−x3+ax2−x−1在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,− 3]∪[ 3,+∞)B. [− 3, 3]
C. (−∞,− 3)∪( 3,+∞)D. (− 3, 3)
4.已知正项等比数列{an}中，a2=2，a4=8，数列{an+an+2}的前n项和为Sn，则S6S2=( )
A. 32B. 21C. 16D. 8
5.已知曲线f(x)=(x+a)ex在点(−1,f(−1))处的切线与直线2x+y−1=0垂直，则a的值为( )
A. 2eB. e2+1C. −e2D. e2
6.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|=2|OM|(O为坐标原点)，PF1⊥PF2，则双曲线 C的渐近线方程为( )
A. y=±3xB. y=± 5xC. y=±2xD. y=± 2x
7.定义在R上的函数f(x)，f′(x)为其导数，且3f(x)+f′(x)8e−3x的解集为( )
A. (−∞,2)B. (−∞,ln2)C. (ln2,+∞)D. (2,+∞)
8.函数f(x)=xlnx，g(x)=x2−2x+a，若对任意的x1∈[1e,1]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的范围是( )
A. [1−1e,+∞)B. (−∞,2−1e]C. [2−1e,+∞)D. (−∞,1−1e]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )
A. a1=22B. d=−2
C. 当n=10时，Sn取得最大值D. 当Sn>0时，n的最大值为20
10.对于定义在R上的可导函数f(x)，f′(x)为其导数，下列说法正确的是( )
A. 使得f′(x)=0的x一定是函数的极值点
B. “f(x)在R上单调递增”是“f′(x)>0在R上恒成立”的必要不充分条件
C. 函数f(x)在给定的区间[a,b]上必存在最值
D. 若f(x)在R上存在极值，则它在R一定不单调
11.下列四个命题中，正确命题有( )
A. 当a为任意实数时，直线(a−1)x−y+2a+1=0恒过定点P，则过点 P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=43y
B. 已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x−y=0，则双曲线的标准方程是x25−y220=1
C. 若M(−2,0)，N(2,0)，|PM|−|PN|=3，则动点P的轨迹是双曲线左边一支
D. 已知双曲线x24+y2m=1，其离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是(−12,0)
12.关于函数f(x)=2x+lnx，下列判断正确的是( )
A. x=2是f(x)的极大值点
B. 函数y=f(x)−x有且只有1个零点
C. 存在正实数k，使得f(x)>kx成立
D. 对任意两个正实数x1，x2，且x1>x2，若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>4.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1)，B(4,−3)为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围为__________.
14.函数f(x)=ex+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是__________.
15.函数f(x)=x3−kx在区间(−3,−1)上不单调，则实数 k的取值范围是__________.
16.已知数列{an}中，a1=12，其前 n项和Sn满足Sn2−anSn+an=0(n≥2)，则a2=__________;S2024=__________.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−13及x=1处取得极值.
(1)求a，b的值;
(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根，求c的取值范围.
18.(本小题12分)
在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1−2an−n+1.
(1)证明{an+1−an−n}为等比数列;
(2)求an.
19.(本小题12分)
设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为 32.
(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;
(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=aln(x−1)+14x2+1，g(x)=f(x)+1ex−(12x−1)2.
(1)当a=−1时，求函数f(x)的极值;
(2)若任意x1，x2∈(1,+∞)且x1≠x2，都有g(x2)−g(x1)x2−x1≥1成立，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
已知点M到点F(2,0)的距离比到点M到直线x+6=0的距离小4.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若曲线C上存在两点A，B关于直线l:y=14x−2对称，求直线AB的方程.
22.(本小题12分)
已知f(x)=12x2−2x−3lnx，g(x)=16x3+x2−alnx.
(1)若g(x)是单调函数，求实数a的取值范围
(2)若不等式f(x)+g′(x)1成立求a的最大整数解.