黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一上（数学）
分值：150 时间：120分钟
一、单选题（每题5分，40分）
1．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则对任意非零实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，，则（ ）
A．或B．C．或D．
4．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．B．C．D．
6．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知为非零实数，且；则下列结论正确的是（ ）
A． B．C．D．
8．函数的一个单调递增区间是
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，18分）
9．满足，且的集合M可能是（ ）
A．B．C．D．
10．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．可取两个值，可取两个值，有4个式子
C．中有4个元素
D．的真子集有7个
11．若条件，且是q的必要条件，则q可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（每题5分，15分）
12．已知集合，若，求的取值范围
13．设集合，若，则实数的最小值是 .
14．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围 ．
四、解答题
15．写出下列全称（存在量词）命题的否定：
(1)，；
(2)，；
(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(4)所有的矩形都是正方形.
16．已知函数的解析式为
(1)求，的值；
(2)画出这个函数的图象，并写出的最大值；
(3)解不等式.
17．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
18．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.

（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
19．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
1．D
【解析】由图可得，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知：，
，
由选项可知：，
故选：D.
2．D
【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答.
【详解】函数，，
则，显然，且，AB错误；
，D正确，C错误.
故选：D
3．B
【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】因为，，，则，
所以，或，
若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故；
若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.
因此，.
故选：B.
4．D
【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果.
【详解】当时，的定义域为，不符合题意；
当时，依题意得在R上恒成立，则，
解得.
故选：D
5．C
【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；
{（x，y）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立；
由集合的性质知③④正确．
故选C．
6．A
【分析】化简不等式为，分类讨论，求得不等式的解集，结合不等式的解集中恰有两个整数，即可求解.
【详解】关于的不等式可化为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
因为不等式的解集中恰有两个整数，
所以，当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为；
当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：A
7．D
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.
【详解】A：，若有，故，A错误；
B：，若有，又，故，B错误；
C：若，则，C错误；
D：，故，D正确.
故选：D
8．C
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质，求得函数的单调递增区间.
【详解】由解得，也即函数的定义域为，注意到函数开口向下，对称轴为，所以函数在上递增，在上递减.而在上是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为.
故选C.
【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.
9．AC
【解析】由交集的结果知集合一定含有元素，一定不含有，由此可判断．
【详解】∵，∴集合一定含有元素，一定不含有，
∴或．
故选：AC．
【点睛】本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础．
10．BD
【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误.
【详解】，
故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.
当，时，，故A错误.
可取两个值，可取两个值，共有4个算式，
分别为：
，，
故B正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．
11．BD
【分析】先由题意求出，然后根据必要条件的定义逐个分析判断即可.
【详解】因为条件，所以，
对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误；
对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确；
对于C，因为不能推出x>1，所以不是的必要条件，所以C错误；
对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确．
故选：BD．
12．或
【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答.
【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则，
当时，由，得或，解得或，
所以的取值范围是或.
故答案为：或
13．1
【分析】根据集合的包含关系列出集合的区间端点满足的不等式,再求解求的最小值即可.
【详解】,∵,∴,∴.
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数取值范围的问题.属于基础题.
14．或
【分析】题意说明不等式有解，由判别式大于0可得参数范围．
【详解】由题意，解得或，
故答案为：或．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定.
【详解】（1），的否定为：，；
（2），的否定为：，；
（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数的否定为：所有实数的绝对值都是正数；
（4）所有的矩形都是正方形的否定为：存在一个矩形，它不是正方形．
16．(1)，；
(2)图象见解析，最大值为4
(3)或
【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；（2）根据图象最高点即可写出最大值；（3）对范围讨论，解出之后求并集即可.
【详解】（1）由已知得，，，
则
（2）
由图象可知，最大值为4.
（3）当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
综上所述，或
不等式的解集为或.
17．(1)
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）先由函数的奇偶性得到，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
【详解】（1）由题意可得，解得
所以，经检验满足奇函数.
（2）设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数在上是增函数．
（3），
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．
18．（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．
（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1）由题意得，
当时，，代入上式，得
所以
（2）
，
当且仅当，即时取“=”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为