贵州省贵阳“七校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

这是一份贵州省贵阳“七校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足a+i⋅z=i−z，若复数z为纯虚数，则实数a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.设集合A=x∣x2−3x+2≤0,B={x∣a0，则实数m的取值范围是( )
A. 1,+∞B. −∞,−2
C. −∞,−2∪1,+∞D. −2,1
6.如图甲，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将▵AED,▵BEF,▵DCF分别沿DE,EF,DF折起，使得A,B,C三点重合于点A′，如图乙，若三棱锥A′−EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为( )
A. 6πB. 6πC. 8πD. 8 6π
7.已知函数fx=x3+bx2+cx的图像如图所示，x1,x2是fx的极值点，则fx1−fx2x1−x2等于( )
A. −12B. −23C. −1D. −43
8.已知a>0,b>0，且a+2b=2，若3t2−t≤ba+2b恒成立，则实数t的取值范围是( )
A. −23,1B. −1,23C. −43,1D. −1,43
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0过点P,F为C的右焦点，PF⊥x轴，且PF=1，如图，过点P的两条动直线交椭圆于Ax1,y1,Bx2,y2．
(1)求实数a的值；
(2)设M是C的动点，过点M作直线x=2 2的垂线MN,N为垂足，求MFMN；
(3)记∠FBA=α,∠FAB=β，若直线AB的斜率为 22，求sinα−sinβ的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.AB
12.π3 或60°
13.−2
14.2 3
15.(1)证明：当n=1时，S1=a1=2a1−1，
解得a1=1．
因为Sn=2an−n①
所以Sn−1=2an−1−n−1,n≥2②
①−②得：
an=2an−2an−1−1，
整理得an=2an−1+1，
所以an+1=2an−1+2=2an−1+1，
即an+1an−1+1=2n≥2，
又a1+1=2，
所以数列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an+1=2×2n−1=2n，
所以an=2n−1，
所以Sn=2+22+⋯+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−n−2，
所以Tn=S1+S2+S3+…+Sn
=22+23+24+…+2n+1−3+4+5+…+n+2
=41−2n1−2−n3+n+22
=2n+2−n2+5n2−4．

16.解：(1)
证明：因为AB=AD,CB=CD,AC=AC，所以△ABC≌△ADC，
有∠BAC=∠DAC，又AB=AD,AO=AO，所以△ABO≌△ADO
所以BO=OD,∠AOB=∠AOD=90∘，所以AC⊥BD．
同理▵ABC≌▵APC，▵ABO≌▵APO，有PO⊥AC,
又因为PO∩BD=O,PO⊂平面PBD,BD⊂平面PBD，
所以AC⊥平面PBD．
(2)
由(1)可知OB⊥OC，因为AB= 5,BC=2 5,AC=5，
所以AB2+BC2=AC2，所以∠ABC=90∘，
从而由等面积法，可知BO=105=2=PO，
由勾股定理，可知AO= 5−4=1,
因为PB=2 2，所以PB2=PO2+BO2，所以PO⊥OB．
又因为PO⊥AC，OB∩AC=O，OB,AC⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
以O为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由(1)可知BO=OD=OP,所以OD=OP=2，所以P0,0,2，
因为B2,0,0,A0,−1,0,D−2,0,0,C0,4,0，
因为点Q为线段PC的中点，所以Q0,2,1，
所以BQ=−2,2,1,PA=0,−1,−2,PD=−2,0,−2，
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)，
则PA⋅n=−y−2z=0PD⋅n=−2x−2z=0，令z=−1，解得x=1,y=2，
所以平面PAD的法向量为n=1,2,−1，
设直线BQ与平面PAD所成角为θ，
则sinθ=csn,BQ=n⋅BQn⋅BQ=1 6×3= 618，
所以直线BQ与平面PAD所成角的正弦值为 618．

17.解：(1)
由题意得fx的定义域为0,+∞,f′x=a−1x=ax−1x，
当a≤0,x∈0,+∞时，f’(x)0时，令(2)f′x=0，得x=1a，
当x∈0,1a时，f′x0,fx单调递增．
综上，当a≤0时，fx在区间(0,+∞)内单调递减；
当a>0时，fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．
(2)
当a=1时，由fx≤2kex−xx，得x−lnx≤2kex−xx，
整理得2kex≥x2+x−xlnx，即2k≥x2+x−xlnxex．
令ℎx=x2+x−xlnxex,
则ℎ′x=2x+1−lnx−1ex−x2+x−xlnxexex2=x−lnx1−xex，
由(1)知，当a=1时，fx=x−lnx的最小值为f1=1>0，
即x−lnx>0恒成立，
所以当x∈(0,1)时，ℎ′x>0,ℎx单调递增；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′x2.1．
故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大．

19.解：(1)
由椭圆C:x2a2+y2a2−2=1a>0的方程，
得c2=a2−(a2−2)=2，故F 2,0，
因为点P在椭圆C上，PF⊥x轴，且PF=1，
所以P的坐标为 2,1，
代入椭圆方程得2a2+1a2−2=1，解得a2=4,a=2．
(2)
由(1)知椭圆C的方程为x24+y22=1，
设动点Mx0,y0，则x024+y022=1，所以y02=2−x022，
故MF= x0− 22+y02= x0− 22+2−x022= 12x02−4 2x0+8= 22x0−2 2，
又MN=x0−2 2，
所以MFMN= 22．
(3)
不妨设∠AFB=γ,▵ABF的外接圆半径为R，由∠FBA=α,∠FAB=β，
则在▵ABF中，由正弦定理AFsinα=BFsinβ=ABsinγ=2R，
所以AF=2Rsinα,BF=2Rsinβ,AB=2Rsinγ．
如图，过A,B分别作直线x=2 2的垂线，垂足分别为D，E，
过B作BG⊥AD于点G，
由(2)的结论可得AFAD= 22,BFBE= 22，
所以AF−BF= 22AD−BE，即2Rsinα−2Rsinβ= 22AG，
所以AG=2 2Rsinα−sinβ，
又kAB= 22，得tan∠BAG= 22，
则在Rt▵BAG中，cs∠BAG=AGAB= 63，即2 2Rsinα−sinβ2Rsinγ= 63，
所以sinα−sinβ= 33sinγ≤ 33，当且仅当γ=π2，即FA⊥FB时等号成立，
所以sinα−sinβ的最大值为 33．
学生数
平均分
方差
男生
6
80
7
女生
4
75
2