威海市古寨中学2024-2025学年九上数学开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份威海市古寨中学2024-2025学年九上数学开学质量跟踪监视试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F，若DF=3，则AC的长为（ ）
A．B．3C．6D．9
2、（4分）下列方程中是一元二次方程的是( )
A．2x+1=0B．x2+y=1C．x2+2=0D．
3、（4分）如果，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2B．1C．-1D．±1
4、（4分）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于或等于60° B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60° D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
5、（4分）如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACBB．∠B＝∠ACDC．∠ACD＝∠BCDD．
6、（4分）当x=2时，函数y=-x2+1的值是( )
A．-2B．-1C．2D．3
7、（4分）已知反比例函数y=-，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（3，-2）B．图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随着x的增大而增大D．当x＜0时，y随着x的增大而减小
8、（4分）若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形的面积为（ ）
A．4cm2B．9cm2C．18cm2D．36cm2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系中，已知点，如果以为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点的坐标为___________.
10、（4分）已知关于x的一次函数y=(3a-7)x+a-2的图像与y轴的交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围为__________.
11、（4分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是_____．
13、（4分）小明根据去年4﹣10月本班同学去电影院看电影的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的中位数是______人．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如图所示．根据图象回答：
（1）设两家复印社每月复印任务为张，分别求出甲复印社的每月复印收费y甲（元）与乙复印社的每月复印收费y乙（元）与复印任务（张）之见的函数关系式．
（2）乙复印社的每月承包费是多少?
（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同?
（4）如果每月复印页数是1200页，那么应选择哪个复印社．
15、（8分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，AB⊥AC，BC＝4cm，∠B＝60°，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，连结PO并延长交折线DA﹣AB于点Q，设点P的运动时间为t(s)．
(1)当PQ与▱ABCD的边垂直时，求PQ的长；
(2)当t取何值时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是矩形，并说明理由；
(3)当t取何值时，CQ所在直线恰好将▱ABCD的面积分成1：3的两部分．
16、（8分）如图所示，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的周长．
17、（10分）在数学兴趣小组活动中，小明将边长为2的正方形与边长为的正方形按如图1方式放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．
（1）请你猜想与之间的数量与位置关系，并加以证明；
（2）在图2中，若将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，求出的长；
（3）在图3中，若将正方形绕点继续逆时针旋转，且线段与线段相交于点，写出与面积之和的最大值，并简要说明理由．
18、（10分）A、B两地的距离是80千米，一辆巴士从A地驶出3小时后，一辆轿车也从A地出发，它的速度是巴士的3倍，已知轿车比巴士早20分钟到达B地，试求两车的速度。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______
20、（4分）等腰三角形的顶角为，底边上的高为2，则它的周长为_____．
21、（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
22、（4分）关于x的方程有两个实数根，则符合条件的一组的实数值可以是b=______，c=______．
23、（4分）点 P（a，a－3）在第四象限，则a的取值范围是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（2011•南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中 的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
（1）小亮行走的总路程是___________m，他途中休息了_____________min；
（2）①当50＜x＜80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？
25、（10分）已知，求的值．
26、（12分）如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
首先根据条件D、E分别是AC、BC的中点可得DE∥AB，再求出∠2=∠1，根据角平分线的定义推知∠1=∠1，则∠1=∠2，所以由等角对等边可得到DA=DF=AC．即可得出结论．
【详解】
解：如图，∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2=∠1．
又∵AF平分∠CAB，∴∠1=∠1，∴∠1=∠2，∴AD=DF=1，∴AC=2AD=2．
故选C．
本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定．三角形中位线的定理是：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
2、C
【解析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为1．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
A、该方程是一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程是二元二次方程，故本选项错误．
C、该方程是一元二次方程，故本选项正确．
D、该方程分式方程，故本选项错误．
故选C．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．
3、B
【解析】
根据二次根式的性质，先求出x和y的值，然后代入计算即可.
【详解】
解：∵，
∴，，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的算术平方根为1；
故选：B.
本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，以及算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，正确求出x、y的值.
4、D
【解析】
熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】
根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，
即假设三角形中没有一个内角小于或等于60°．
故选：D.
此题主要考查了反证法的步骤，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
5、C
【解析】
根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】
（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选：C．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
6、B
【解析】
把x=2代入函数关系式进行计算即可得解．
【详解】
x=2时，y=−×22+1＝−1．
故选：B．
本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．
7、D
【解析】
利用反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断．
【详解】
解：A、当x=3时，y=-=-2，所以点（3，-2）在函数y=-的图象上，所以A选项的结论正确；
B、反比例函数y=-分布在第二、四象限，所以B选项的结论正确；
C、当x＞0时，y随着x的增大而增大，所以C选项的结论正确；
D、当x＜0时，y随着x的增大而增大，所以D选项的结论不正确．
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=-（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
8、C
【解析】
由菱形的性质和已知条件得出AB＝BC＝CD＝DA＝6cm，AC⊥BD，由含30°角的直角三角形的性质得出BO＝AB＝3cm，由勾股定理求出OA，可得BD，AC的长度，由菱形的面积公式可求解．
【详解】
如图所示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAO＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，OA＝AC，BO＝DO
∵菱形的周长为14cm
∴AB＝BC＝CD＝DA＝6cm
∴BO＝AB＝3cm
∴OA＝＝3（cm）
∴AC＝1OA＝6cm，BD＝1BO＝6cm
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝18cm1．
故选：C．
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
需要分类讨论：以AB为该平行四边形的边和对角线两种情况．
【详解】
解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB=OC，
∵点A（1，1），B（-1，1），O（0，0）
∴点C坐标（-2，0）或（2，0）
②当AB为该平行四边形的对角线时，C（0，2）．
故答案是：（-2，0）或（2，0）或（0，2）．
本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．解答本题关键要注意分两种情况进行求解．
10、2＜a＜．
【解析】
分析：根据已知函数的增减性判定3a-7＜1，由该函数图象与y轴交点的位置可得a-2＞1．
详解：∵关于x一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随着x的增大而减少，
∴，
解得2＜a＜．
故答案是：2＜a＜．
点睛：考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx-b（k≠1）：函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；
一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜1，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1．
11、x≠1
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】
∵分式在实数范围内有意义，
∴x−1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1.
此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义.
12、（2，5）．
【解析】
连接AB，BC，运用平行四边形性质，可知AD∥BC，所以点D的纵坐标是5，再跟BC间的距离即可推导出点D的纵坐标．
【详解】
解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；
又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）＝4，故可得点D横坐标为﹣2+4＝2，
即顶点D的坐标（2，5）．
故答案为（2，5）．
本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求不高.
13、1
【解析】
将这7个数按大小顺序排列，找到最中间的数即为中位数．
【详解】
解：这组数据从大到小为：27，1，1，1，42，42，46，
故这组数据的中位数1．
故答案为1．
此题考查了折线统计图及中位数的知识，关键是掌握寻找中位数的方法，一定不要忘记将所有数据从小到大依此排列再计算，难度一般．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）200；（3）800页；（4）应选择乙复印社.
【解析】
（1）根据甲乙复印社的收费方式，结合函数图象列出解析式即可；
（2）由函数图象可直接得出答案；
（3）当时，求出x即可；
（4）将x=1200分别代入两函数解析式进行计算，然后作出判断.
【详解】
解：（1）∵由甲复印社承接，按每100页40元计费；先按月付给乙复印社一定数额的承包费，则按每100页15元收费，
∴，；
（2）由函数图象可得：乙复印社的每月承包费是200元；
（3）当时，即，
解得：，
答：当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；
（4）当x=1200时，（元），
（元），
∵380＜480，
∴应选择乙复印社.
本题考查了一次函数的应用，比较简单，读懂题目信息并准确识图，理解两复印社的收费情况与复印页数的关系是解题的关键．
15、 (1)PQ＝cm或2cm；(2)t＝秒；(3)t为1秒或秒.
【解析】
(1)分当PQ⊥BC和当PQ⊥CD两种情况,利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论;
(2)当点P在BC边和当点P在CD上两种情况,利用矩形的性质即可得出结论;
(3)利用平行四边形的性质得出S△ABC＝S△ACD＝S▱ABCD,进而分当点Q在边AD上和点Q在边AB上利用三角形的中线的性质即可得出结论.
【详解】
解：(1)当PQ⊥BC时，如图1，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝4cm，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，AB＝2，AC＝2，
∵点O是AC的中点，
∴OC＝AC＝，
在Rt△OPC中，OP＝OC＝，
易知，△AOQ≌△COP，
∴OQ＝OP，
∴PQ＝2OP＝cm，
当PQ⊥CD时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴点P与点C重合，点Q和点A重合，
∴PQ＝AC＝2cm，
综上所述，当PQ与▱ABCD的边垂直时，PQ＝cm或2cm．
(2)当点P在BC边时，如图2，
∵四边形APCQ是矩形，
∴∠APC＝90°，
在Rt△ABP中，∠B＝60°，AB＝2cm，∴BP＝1cm，
∵动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，
∴t＝1÷2＝秒，
当点P在CD上时，∵四边形AQCP是矩形，
∴∠AQC＝90°，
∵∠BAC＝90°，由过点C垂直于AB的直线有且只有一条，得出此种情况不存在，
即：当t＝秒时，以点A，P，C，Q为顶点的四边形知矩形；
(3)∵AC是平行四边形ABCD的对角线，
∴S△ABC＝S△ACD＝S▱ABCD，
∵CQ所在直线恰好将▱ABCD的面积分成1：3的两部分，
∴当点Q在边AD上时，
∴点Q是AD的中点，
∴AQ＝AD，
易知，△AOQ≌△COP，
∴CP＝AQ＝AD＝BC＝2，
∴BP＝2，
∴t＝2÷2＝1秒，
当点Q在边AB上时，同理：点P是CD的中点，
∴t＝(4+1)÷2＝秒，
即：t为1秒或秒时，CQ将平行四边形ABCD的面积分成1：3两部分．
本题考查的是四边形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和三角形的性质是解题的关键.
16、（1）菱形（2）1
【解析】
（1）根据DE∥AC，CE∥BD．得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求得OC＝OD，即可判定四边形OCED是菱形；（2）利用勾股定理求得AC的长，从而得出该菱形的边长，即可得出答案．
【详解】
（1）四边形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝＝＝5，
∴CO＝OD＝，
∴四边形OCED的周长＝4×＝1．
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．根据连线的判定定理证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
17、（1），，其理由见解析；（2）；（3）6
【解析】
（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；
（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，连接交于，则=°=，在Rt△AMD中，求出AO的长，即为DO的长，根据勾股定理求出GO的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．
【详解】
（1）
证明：，，其理由是：
在正方形和正方形中，
有，，，
∴≌，∴，，
∵，∴
延长交于，则，
∴.
（2）
解：在正方形和正方形中，
有，，，
∴
∴≌，∴
连接交于，则，
∴，，
∴
∴
（3）
与面积之和的最大值为6，其理由是：
对于，长一定，当到的长度最大时，的面积最大，由（1）（2）)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：
对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6.
本题为几何变换综合题，（1）一般要问两条线段的关系，得分两个方面讨论，一个是长度关系，一个是位置关系（不是平行就是垂直），一般证明长度相等只需要证明三角形全等即可；（2）（1）中已经证明的结论一般为（2）作铺垫，所以只需要求出BE即可求出DG，这里因为出现直角三角形，所求线段的长度，用到了勾股定理；（3）这里主要用到直径所对的圆周角等于90°即可得到H同时在以BD和GH为直径的弦上，此时H在A处时，高最大，为圆的半径.
18、解：设巴士的速度是x千米/小时，轿车的速度是3x千米/小时，
x=16
经检验x=16是方程的解．
16×3=48
巴士的速度是16千米/小时，轿车的速度是48千米/小时．
【解析】设巴士的速度是x千米/小时，轿车的速度是3x千米/小时，根据A、B两地的距离是80千米，一辆巴士从A地驶出3小时后，一辆轿车也从A地出发，它的速度是巴士的3倍，已知轿车比巴士早20分钟到达B地，可列方程求解．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
如图,连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′,∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90∘,AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD−C′D=−1.
故答案为：−1.
点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
20、
【解析】
根据等腰三角形的性质可分别求得腰长和底边的长，从而不难求得三角形的周长.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为2，
∴腰长=4，底边的一半=2，
∴周长=4+4+2×2=8+4．
故答案为：8+4．
本题考查勾股定理及等腰三角形的性质的综合运用．
21、1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx1+5x+m1﹣1m=0有一个根为0，
∴m1﹣1m=0且m≠0，
解得，m=1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
22、2 1（答案不唯一，满足即可）
【解析】
若关于x的一元二次方程有两个实数根，所以△=b2-4ac≥0，建立关于b与c的不等式，求得它们的关系后，写出一组满足题意的b，c的值．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，
即b2-4×c=b2-c≥0，
∴b=2，c=1能满足方程．
故答案为2，1（答案不唯一，满足即可）．
本题考查根的判别式，掌握方程有两个实数根的情况是△≥0是解题的关键．
23、0＜a＜3
【解析】
根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.
【详解】
∵点P（a，a－3）在第四象限，
∴，解得0＜a＜3.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、解：（1）3600，20；
（2）①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，当x=50时，y=1950；当x=80时，y=3600
∴
解得：
∴函数关系式为：y=55x﹣1．
②缆车到山顶的线路长为3600÷2=11米，
缆车到达终点所需时间为11÷180=10分钟
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，
把x=60代入y=55x﹣1，得y=55×60﹣1=2500
∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米．
【解析】略
25、
【解析】
先计算出a+b，b-a以及ab的值，再把所求代数式变形为，然后代值计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴原式=．
本题二次根式的化简求值，通过先计算a+b，b-a以及ab的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便．
26、（1）证明见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，证明见解析
【解析】
（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED＝FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF＝HA＝BC＝DE，可得结论；
（2）AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC＝HB，证明对角线DF＝EG，可得结论．
【详解】
（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴ED∥BC，ED＝BC．
同理FG∥BC，FG＝BC，
∴ED∥FG，ED＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AE＝BE，FH＝BF，
∴EF＝HA，
∵BC＝HA，
∴EF＝BC＝DE，
∴▱DEFG是菱形；
（2）解：猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，
理由是：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CD＝AC，BE＝AB，
∴CD＝BE，
在△DCB和△EBC中，
∵
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴HC＝HB，
∵点G、F分别为HC、HB的中点，
∴HG＝HC，HF＝HB，
∴GH＝HF，
由（1）知：四边形DEFG是菱形，
∴DF＝2FH，EG＝2GH，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG为正方形．
故答案为（1）证明过程见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形.
本题考查了平行四边形、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分