辽宁省县级重点高中2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省县级重点高中2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则中元素的个数为( )
A.4B.3C.6D.5
2．已知命题,,则是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
4．已知集合,且是M中的一个元素,则( )
A.B.或3C.3D.或
5．“,”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
6．函数的零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
7．函数在区间上单调递增,则实数b的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,分别是定义在R上的奇函数与偶函数,且,若对任意,都有,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的有( )
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
10．下列各对函数中,图像完全相同的是( )
A.与B.与
C.与D.与
11．如图,某小区拟建造一个矩形绿地,如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E,在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F,且E,B,F三点在同一直线上,那么该矩形绿地的周长可能为( )
A.米B.米C.米D.米
12．定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”,例如,,.以下描述正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.是定义在上的奇函数D.若,则
三、填空题
13．已知函数则_______.
14．已知,.当_______时,的值最小.
15．已知定义在R上的函数（为常数）,若,则_______.
16．函数集合,如果集合M有六个元素,那么m的取值范围是_______.
四、解答题
17．已知集合,.
（1）当时,求,;
（2）从①“”是“”的充分不必要条件;②;③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并进行解答.
问题:若_______,求实数的取值范围,
18．已知,求的最大值;
（2）已知,求的最大值.
19．已知函数.
（1）当时,函数在上单调,求的取值范围;
（2）若的解集为,求关于x的不等式的解集.
20．研究表明,过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题,减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召,2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年投入周定成本2500万元,每生产x（单位:百辆）新能源汽车需另投入成本（单位:万元）,且如果每辆车的售价为5万元,且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注:）
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式;
（2）当2023年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
21．设是定义在上的减函数,且满足,.
（1）求,,的值;
（2）若,求x的取值范围.
22．已知函数.
（1）当时,判断的单调性;
（2）若在区间上的最大值为.
（i）求实数a的值;
（ii）若函数,是否存在正实数b,对区间上任意三个实数r,s,t,都存在以,,为边长的三角形?若存在,求实数b的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：,,则,中元素的个数为4.故选A.
2．答案：B
解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题,命题,,所以命题p的否定形式是,.故选B.
3．答案：D
解析：要使原函数有意义,则解得,且.函数的定义域为.故选D.
4．答案：A
解析：集合,且.
①当时,,,此时集合,不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去.
②当时,或.若,则,此时集合,不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去;若,则.此时集合,符合题意,综上所述,.故选A.
5．答案：B
解析：“,”为假命题,则“,”为真命题,只需在上的最大值小于等于即可,而函数的最大值,故,解得.因为,但推不出,所以是“,”为真命题的一个充分不必要条件,故B正确,其他三个选项均不符合题意,故选B.
6．答案：C
解析：的图象是一条连续不断的曲线,则上递增,而,,,,,可得,满足零点存在性定理,故零点所在的区间是.故选C.
7．答案：B
解析：函数当时,函数,图象开口向下,关于对称,所以在上单调递减;当时,函数,图象开口向上,关于对称,所以在上单调递减,在上单调递增.若在区间上单调递增,则有解得.故选B.
8．答案：B
解析：因为函数是奇函数,是偶函数,所以,.
又①,则②.两式相加得.若对任意,都有,即成立.令,则函数在区间上单调递减,当时,,则函数在区间上单调递减,符合题意.当时,为二次函数,图象关于对称,因为函数在上递减,所以或解得或.综上,的取值范围是.故选B.
9．答案：BD
解析：对于A,如果,则,故A错误;
对于B,,,.故B正确;
对于C,当时,有,故C错误;
对于D,,当且仅当,即时,等号成立.故D正确,故选BD.
10．答案：AC
解析：对于A.两个函数是同一函数.故图象完全相同.A正确;对于B,,两个函数的定义域不同,不是同一函数,B错误;对于C,.两个函数是同一函数,故图象完全相同.C正确;对于D,的定义域为,的定义域为,二者定义域不同,不是同一函数,故D错误,
综上.故选AC.
11．答案：CD
解析：如图,设,,
由题意知,即.而,,,,
所以,化简得.
因此矩形绿地的周长,当且仅当时取等号.故矩形菜地的周长可能为米,米.故选CD.
12．答案：ABD
解析：由表示不小于x的最小整数,则有且,即,A项,,则,,即,则,故A正确,B项,令,则,解得,又为整数,则,或,当时,即,则;当时,即,则,故,则,故B正确.C项,,则,,则不是上的奇函数,故C错误;D项,,若,则,即,则,又,由不等式的性质,得,则,故D正确,故选ABD.
13．答案：5
解析：根据题意知,则,故答案为5.
14．答案：1
解析：因为,所以,当且仅当,即时,取等号,故答案为1.
15．答案：2023
解析：设,易证,且定义域为,是奇函数,
所以,,两式相加得,
所以.故答案为2023.
16．答案：
解析：由题意,令,设,
画出的图象如图,
则在上有两个相异零点,即有即解得,故答案为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,集合,
所以,
,
,
（2）若选择①“”是“”的充分不必要条件,则.
因为,所以,所以解得,
所以实数的取值范围是.
若选择②,,则.因为,所以,
所以解得,
所以实数m的取值范围是.
若选择③,则,
因为,所以,
所以解得,
所以实数m的取值范围是.
18．答案：（1）1
（2）
解析：（1）
因为,所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,
所以的最大值是1.
（2）法一:,
当且仅当时,等号成立,
即时,函数的最大值是.
法二:,
当时,函数取得最大值.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,的对称轴为直线,
由于函数在上单调,所以或.
解得或.
所以b的取值范围是.
（2）由于的解集为,
所以所以
所以不等式,即,
所以,,解得或,
所以不等式的解集为.
20．答案：（1）见解析
（2）当2023年的年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元
解析：（1）
当时,,
当时,.
故
（2）由（1）得
当时,,
;
当时,,
当且仅当,即时等号成立,故.
,故当2023年的年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,最大利润为1800万元
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）令,则,所以.
.
令,,则,
所以,
故.
（2）因为.所以.
由是定义在上的减函数,
得解得即.
故x的取值范围为.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题意得,
当时,可得到在和上单调递增.
（2）（i）若在区间上的最大值为.
①当时,函数在区间上单调递减,
,解得（舍去）;
②当时,函数在区间上单调递增,
,解得.
综上,.
（ii）由（i）知,,且在区间上单调递增.
,即,在区间上的值域为.
函数,当且仅当,即时取等号,
在上为减函数,
在上为增函数.
令,则,.
在区间上任意三个实数r,s,t都存在以,,为边长的三角形,等价于,.
①当时,在上单调递增,
,,由,得,
;
②当时,在上为减函数,在上为增函数,
,,由,得,
;
③当时,在上为减函数,在上为增函数,
,,由,得,
;
④当时,在上单调递减,
,,由,得,
.
综上,实数b的取值范围为.