上海第二初级中学2025届九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份上海第二初级中学2025届九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在▱ABCD中，∠C=130°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝4，则CD的长是（ ）
A．1B．4C．3D．2
4、（4分）已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定
5、（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距高是；③AF＝CF；④△ABF 的面积为其中一定成立的有( )个.
A．1B．2C．3D．4
6、（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7、（4分）如图，在菱形中，，．是边上的一点，，分别是，的中点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知关于x的方程的系数满足，且，则该方程的根是______．
10、（4分）在平面直角坐标系中，中，点，若随变化的一族平行直线与（包括边界）相交，则的取值范围是______.
11、（4分）如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是3，AB⊥OA，垂足为A，且AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，弧与数轴的交点为点C，则点C表示的数为_____．
12、（4分）七边形的内角和是__________．
13、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC=10，BD=24 ，则AD=____________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图,在中,点、是对角线上两点,且.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)若.,且,求的面积.
15、（8分）分解因式：
（1）4m2-9n2
（2）x2y-2xy2+y3
16、（8分）分解因式：
（1）；
（2）。
17、（10分）如图，正方形的对角线交于点，直角三角形绕点按逆时针旋转，
（1）若直角三角形绕点逆时针转动过程中分别交两边于两点
①求证：；
②连接，那么有什么样的关系？试说明理由
（2）若正方形的边长为2，则正方形与两个图形重叠部分的面积为多少？（不需写过程直接写出结果）
18、（10分）如图，点C在线段AB上，过点C作CD⊥AB，点E，F分别是AD，CD的中点，连结EF并延长EF至点G，使得FG=CB，连结CE，GB，过点B作BH∥CE交线段EG于点H．
（1）求证：四边形FCBG是矩形．
（1）己知AB=10，．
①当四边形ECBH是菱形时，求EG的长．
②连结CH，DH，记△DEH的面积为S1， △CBH的面积为S1．若EG=1FH，求S1+S1的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在己知的中，按以一下步骤作图:①分别以为圆心，大于的长为半径作弧，相交于两点;②作直线交于点，连接.若,,则的度数为___________.
20、（4分）将正比例函数的图象向右平移2个单位，则平移后所得到图象对应的函数解析式是__________．
21、（4分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是____________.
22、（4分）如图，在中，，，，则__________.
23、（4分）若，则xy的值等于_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在函数的图象上，点的坐标为.
(1)求的值.
(2)将点沿轴正方向平移得到点，当点在函数的图象上时，求的长.
25、（10分）已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．
（1）点D、E分别在线段BA、BC上；
①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，则∠APD的度数为 ；
②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数；
（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
26、（12分）解方程组：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
由平行四边形ABCD中，∠C=130°，可求得∠ABC的度数，又由BE平分∠ABC，即可求得∠CBE的度数，然后由平行线的性质，求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°，∠AEB=∠CBE，
∵∠C=130°，
∴∠ABC=180°-∠C=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC=25°，
∴∠AEB=∠CBE=25°．
故选D．
此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握平行四边形邻角互补的性质，难度一般．
2、D
【解析】
根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】
解：∵a＜b，
∴A.a−6＜b-6，故A错误；
B.3a＜3b,，故B错误;
C.-2a＞-2b，故C错误;
D. ，故D正确，
故选：D．
本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．
3、C
【解析】
试题分析：先由∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠B＝∠B证得△ABD∽△CBA，再根据相似三角形的性质求得BD的长，即可求得结果.
解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠B＝∠B
∴△ABD∽△CBA
∴
∵AB＝2，BC＝4
∴，解得
∴CD＝BC-BD＝3
故选C.
考点：相似三角形的判定和性质
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
4、C
【解析】
根据P1（-3，y1），P1（1，y1）是一次函数y=-x-1的图象上的两个点，由-3＜1，结合一次函数y=-x-1在定义域内是单调递减函数，判断出y1，y1的大小关系即可．
【详解】
∵P1（-3，y1），P1（1，y1）是一次函数y=-x-1的图象上的两个点，且-3＜1，
∴y1＞y1．
故选C．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握．
5、C
【解析】
根据菱形的性质，逐个证明即可.
【详解】
① 四边形ABCD为菱形
AB=BC
∠DAB＝60°


△ABF≌△CBF
因此 ①正确.
②过E作EM垂直于AB的延长线于点M
CE＝2
BE=4
∠DAB＝60°

因此点E到AB的距高为
故②正确.
③根据①证明可得△ABF≌△CBF
AF＝CF
故③正确.
④ 和 的高相等
所以
△ABF≌△CBF


故④错误.
故有3个正确，选C.
本题主要考查菱形的性质，关键在于证明三角形全等,是一道综合形比较强的题目.
6、D
【解析】
试题分析：丁的平均数最大，方差最小，成绩最稳当，所以选丁运动员参加比赛．故选D．
考点：方差；加权平均数．
7、C
【解析】
如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD=8，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】
如图连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=AD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴
故选:C.
考查菱形的性质以及三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
8、B
【解析】
根据函数的定义即可解答.
【详解】
对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，
∵选项A、C、D ，当x取值时，y有唯一的值对应；选项B，当x=2时，y=±1，y由两个值，
∴选项B中，y不是x的函数.
故选B．
本题考查了函数的定义，熟练运用函数的定义是解决问题的关键,
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、和1．
【解析】
把x=1，和x=-1代入方程正好得出等式4a-1b-c=0和c-a-b=0，即可得出方程的解是x=1，x=-1，即可得出答案．
【详解】
∵ax1-bx-c=0（a≠0），
把x=1代入得：4a-1b-c=0，
即方程的一个解是x=1，
把x=-1代入得：c-a-b=0，
即方程的一个解是x=-1，
故答案为：-1和1．
本题考查了一元二次方程的解的应用，主要是考查学生的理解能力．
10、
【解析】
根据题意，可知点B到直线的距离最短，点C到直线的距离最长，求出两个临界点b的值，即可得到取值范围.
【详解】
解：根据题意，点，
∵直线与（包括边界）相交，
∴点B到直线的距离了最短，点C到直线的距离最长，
当直线经过点B时，有
，
∴；
当直线经过点C时，有
，
∴；
∴的取值范围是：.
本题考查了一次函数的图像和性质，以及一次函数的平移问题，解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数的平移，正确选出临界点进行解题.
11、
【解析】
首先利用勾股定理计算出OB的长，然后再由题意可得BO=CO，进而可得CO的长．
【详解】
∵数轴上点A对应的数为3，
∴AO＝3，
∵AB⊥OA于A，且AB＝2，
∴BO＝＝＝，
∵以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C，
∴OC的长为，
故答案为：．
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO的长．
12、900°
【解析】
由n边形的内角和是：180°（n−2），将n=7代入即可求得答案．
【详解】
解：七边形的内角和是：180°×（7−2）=900°．
故答案为：900°．
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n−2）实际此题的关键．
13、13
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分先求出AO、OD的长，再根据AC⊥BD，在Rt△AOD中利用勾股定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=×10=5，OD=BD=×24=12，
又∵AC⊥BD，∴∠AOD=90°，
∴AD==13，
故答案为：13.
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见详解；（2）1
【解析】
（1）先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，即可得出结论．
（2）由AE=CF，OE=OF，EF=2AE=2，得出AE=CF=OE=OF=1，AC=4，CE=3，证出△BCE是等腰直角三角形，得出BE=CE=3，得出▱ABCD的面积=2△ABC的面积=2××AC×BE，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：∵AE=CF，OE=OF，EF=2AE=2，
∴AE=CF=OE=OF=1，
∴AC=4，CE=3，
∵∠ACB=45°，BE⊥AC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD的面积=2△ABC的面积=2××AC×BE=4×3=1．
本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
15、（1）（1m-3n）（1m+3n）（1）y（x-y）1．
【解析】
（1）利用平方差公式进行因式分解．
（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式解答．
【详解】
解：（1）原式=（1m-3n）（1m+3n）．
（1）原式=y（x1-1xy+y1）=y（x-y）1．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
16、（1）；（2）.
【解析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式即可．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法，正确运用公式是解本题的关键．
17、（1）①见解析；②垂直且相等，理由见解析；（2）面积为1。
【解析】
（1）①证出△DOM≌∠CON,证出；
②证明△MDC≌△BCN得CM=BN，证明△GCN∽△MDC得BN⊥CM;
（2）因为△DOM≌∠CON，所以正方形与两个图形重叠部分为△DOC的面积.
【详解】
（1）①∵正方形的对角线交于点
∴∠ADO=∠ACD OD=OC ∠DOC=90°
②∵∠DOC=90°
∴∠MOD+∠DON=90° ，∠NOD+∠CON=90°
∴∠DOM=∠CON
∵∠DOM=∠CON ∠ADO=∠ACD OD=OC
∴△DOM≌∠CON
∴
②
设BN交CM于点G
∵正方形ABCD
∴DC=BC∠ADC=∠DCB
∵△DOM≌∠CON
∴DM=CN
∴△MDC≌△BCN
∴CM=BN ∠CMD=∠BNC
∵∠CMD=∠BNC ∠MCD=∠MCD
∴△GCN∽△MDC
∴∠NGC=∠ADC
∴BN⊥CM
∴垂直且相等
（2）面积为1.
本题考查的是图形的旋转和全等，熟练掌握全等三角形和相似三角形是解题的关键.
18、（1）证明见解析 （1）① ②2或
【解析】
（1）由EF是中位线，得EF平行AB，即FG平行CB，已知FG=CB，由一组对边平行且相等得四边形FCBG是平行四边形，又因为CD垂直AB，则四边形FCBG是矩形.
（1）①因为EF平行AC，根据平行列比例式，设EF为3x, 由中位线性质，直角三角形的中线的性质，四边形ECBH是菱形等条件，通过线段的长度转化，最终把AC和BC用含x的关系式表示，由AB=8，列方程，求出x, 把EG也用含x的代数式表示，代入x值，即可求出EG的长.
②由EF是△ACD的中位线，得DF=CF，根据同底等高三角形面积相等，得△DEH和△CEH的面积相等，因为四边形CEHB是平行四边形，所以△CEH的面积和△BCH的面积相等，得到关系式：S1+S1=1S1，由EF+FH=FH+HG，得EF=HG，结合已知EG=1FH，得FH=1FG，设EF等于a, 把有关线段用含a的代数式表示，分两种情况，即点H在FG上和点H在EF上，根据AB=10列关系式，求出a的值，再把S1用含a的代数式表示，代入a值即可.
【详解】
（1）∵EF即是△ADC的中位线，
∴EF∥AC，即FG∥CB．
∵FG=CB，
∴四边形FCBG是平行四边形．
∵CD⊥AB，即∠FCB=90°，
∴四边形FCBG是矩形．
（1）解：①∵EF是△ADC的中位线，
∴EF=AC，DF=CD，
∴
∴可设EF=3x，则DF=CF=4x，AC=6x．
∵∠EFC=90°，
∴CE=5x．
∵四边形ECBH是菱形，
∴BC=EC=5x，
∴AB=AC+CB=6x+5x=10，
∴x=
∴EG=EF+FG=EF+BC=3x+5x=8x=；
②∵EH∥BC，BH∥CE，
∴四边形ECBH是平行四边形，
∴EH=BC，
又∵DF=CF，
∴S△DEH=S△CEH ，
∵四边形ECBH是平行四边形，
∴S△CEH=S△BCH
∴S1+S1=1S1 ．
∵EH=BC=FG，
∴EF=HG．
当点H在线段FG上时，如图，
设EF=HG=a，∵EG=1FH，
∴EG=1FH=4a，AC=1EF=1a，
∴BC=FG=3a．
∴AB=AC+BC=1a+3a=10，
∴a=1．
∵FC=AC=a，
∴S1+S1=1S1=1××3a×a=4a1=2．
当点H在线段EF上时，如图．
设EH=FG=a，则HF=1a．
同理可得AC=6a，BC=a，FC=4a，
∴AB=6a+a=10，
∴a=
∴S1+S1=1S1=1××a×4a=4a1= ．
综上所述，S1+S1的值是2或．
本题考查了四边形的综合，涉及的知识点有平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的性质，三角形中位线的性质，灵活利用（特殊）平行四边形的性质求线段长及三角形的面积是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、105°
【解析】
根据垂直平分线的性质，可知，BD=CD，进而，求得∠BCD的度数，由，，可知，∠ACD=80°，即可得到结果.
【详解】
根据尺规作图，可知，MN是线段BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
又∵，
∴∠A=∠ADC=50°，
∵∠B+∠BCD=∠ADC=50°，
∴∠BCD==25°，
∵∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-50°=80°，
∴=∠BCD+∠ACD=25°+80°=105°.
本题主要考查垂直平分线的性质定理以及等腰三角形的性质定理与三角形外角的性质，求出各个角的度数，是解题的关键.
20、
【解析】
根据“左加右减”的法则求解即可．
【详解】
解：将正比例函数的图象向右平移2个单位，
得=，
故答案为：．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．
21、且.
【解析】
分析：根据分式有意义和二次根式有意义的条件解题.
详解：因为在实数范围内有意义，所以x≥0且x－1≠0，则x≥0且x≠1.
故答案为x≥0且x≠1.
点睛：本题考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，代数式既有分式又有二次根式时，分式与二次根式都要有意义.
22、30.
【解析】
利用勾股逆定理推出∠C=90°，再利用三角形的面积公式，进行计算即可.
【详解】
解：∵，，
又∵
∴
∴∠C=90°
∴
故答案为：30
本题考查了勾股逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解题的关键.
23、1
【解析】
直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出x，y的值进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴x-1=0， y-1=0，
解得：x=1，y=1，
则xy=1．
此题主要考查了完全平方公式，偶次方的性质以及二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)k＝12；(2)DD′=.
【解析】
（1）首先延长AD交x轴于点F，由点D坐标可得出OD的长，由菱形的性质，即可得出点A坐标，进而得出k；
（2）由（1）可得知反比例函数解析式，由点D的坐标可知点D′的纵坐标，代入函数解析式即可得出点D′的横坐标，即可得解.
【详解】
(1) 延长AD交x轴于点F，如图所示，
∵点D的坐标为(4，1)，
∴OF＝4，DF＝1．
∴OD＝2．
∴AD＝2．
∴点A坐标为(4，8)．
∴k＝xy＝4×8＝12．
∴k＝12．
(2) 由平移得点D′的纵坐标为1．
由（1）可知函数解析式为，
∵点D′在的图象上，
∴1＝．
解得：x＝．
∴DD′＝﹣4＝．
此题主要考查菱形的性质和反比例函数的性质，熟练运用，即可解题.
25、（1）①60°；②45°；（2）见解析
【解析】
（1）连结AC，由条件可以得出△ABC为等边三角形，再由证△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AECF是平行四边形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出结论；
（3）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，推出CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．
【详解】
（1）①如图1，连结AC，
∵AD＝BE，BD＝CE，
∴AD+BD＝BE+CE，
∴AB＝BC．
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC．
在△CBD和△ACE中
，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴∠BCD＝∠CAE．
∵∠APD＝∠CAE+∠ACD，
∴∠APD＝∠BCD+∠ACD＝60°．
故答案为60°；
②如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠B．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠FAD＝90°，∠B＝90，
∴∠FAD+∠B＝180°，
∴AF∥BC．
∵DB＝CE，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC＝∠FCA．
∵∠APD＝∠ACP+∠EAC，
∴∠APD＝∠ACP+∠ACE＝45°；
（2）如图3，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC＝90°．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠APD＝45°，
∴∠FCD＝∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴CE＝BD．
此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
26、，．
【解析】
先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.
【详解】
解：
由①得：x=4+y③，
把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，
解得：y1=4，y2=-2，
代入③得：当y1=4时，x1=8，
当y2=-2时，x2=2，
所以原方程组的解为：，．
故答案为：，.
本题考查了解高次方程.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分