江浙皖高中（县中）2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份江浙皖高中（县中）2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合,,则集合中的元素个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2．若复数z满足,则z的虚部是( )
A.B.2C.D.2i
3．某校一个数学兴趣小组四位学生参加一次竞赛中,最高分为280分,最低分为220分,且四位学生得分的中位数与平均数相同,则4位学生的平均成绩为( )
A.240B.250C.260D.270
4．设,且,则( )
A.B.C.D.
5．如图,在正四棱柱中,已知,,则四面体的体积是( )
A.12B.15C.18D.21
6．,分别是椭圆的左,右焦点,过作直线交椭圆于A,B两点.若,则的面积为( )
A.B.C.D.
7．已知向量,,满足,则的最小值是( )
A.0B.2C.D.5
8．已知函数的定义域为R,且对任意,满足,,且,则( )
A.651B.676C.1226D.1275
二、多项选择题
9．若随机变量,从X的取值中随机抽取个数据,记这K个数据的平均值为Y,则随机变量.随机变量服从正态分布,则,,.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米,标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠,将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为Y,则( )
A.随机变量Y的标准差为B.随机变量
C.D.
10．已知函数,则( )
A.在上单调递增
B.是的极值点
C.在上有3个零点
D.是周期函数
11．在平面直角坐标系xOy中,,,为抛物线上的三点,F为拋物线的焦点,且,则( )
A.
B.
C.存在三点A,B,C,使,,分别为一个三角形的三条边长
D.
三、填空题
12．在展开式中的系数为,则a的值为________.
13．2024年巴黎奥运会女子乒乓球决赛,中国选手陈梦与孙颖莎奉献了一场精彩绝伦的巅峰对决,她们技艺精湛,顽强拼搏,展现国球风采,为观众带来了视觉盛宴.现甲､乙两名乒乓球选手进行一场七局四胜的比赛,即谁先赢4局的比赛,谁就获胜,比赛结束.已知每一局比赛甲胜的概率为,乙胜的概率为,且第一局乙获胜,则甲最终以4比2获胜的概率为________.
14．设是与的差的绝对值最小的整数,则________.
四、解答题
15．已知锐角的三个内角A,B,C所对边为a,b,c,若.
（1）求B的值;
（2）若的外接圆半径,求的面积的取值范围.
16．如图,在正三棱柱中,,,D是中点,E在棱上,且.
（1）求证:平面平面;
（2）求平面与平面ABC的夹角的余弦值.
17．已知点A,B是抛物线上不同的两点,F为抛物线C的焦点.
（1）若直线AB过点,且向量与向量共线,求直线AB的方程;
（2）若,且抛物线在点A,B处的两条切线相交于点P,求P的轨迹方程.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若是的两个零点,
①求a的取值范围;
②求证:（为函数的导函数）.
19．设数列的各项均为正数,对于给定的正整数,对任意都成立,则称数列是“数列”.
（1）已知数列是“数列”,且,,求和;
（2）设甲:是正项等比数列,乙:是“数列”,证明:甲是乙的充分不必要条件;
（3）若既是“数列”,又是“数列”,证明:是等比数列.
参考答案
1．答案：C
解析：由题设得:,所以,
故选:C.
2．答案：A
解析：由,化简得,
得,故z的虚部是.
故选:A.
3．答案：B
解析：设另两位学生的成绩为x,y,则,得,
所以4位学生的平均成绩为
故选:B.
4．答案：C
解析：由题设可知,,,
所以.
故选:C.
5．答案：A
解析：
.
故选:A.
6．答案：B
解析：易知,设直线AB方程为:,
代入整理得:,
所以,,
所以,
因为,代入并解得,
故直线的倾斜角为或,
所以.
故选:B.
7．答案：D
解析：不妨设,,,则,
则,且,
则,
当,时,.
故选:D.
8．答案：A
解析：由
,
所以,
即,
所以.
故选:A.
9．答案：BC
解析：由题设可知:,,,则随机变量,
所以随机变量Y的标准差为,故A错误,B正确;
因为
,故C正确;
因为,故D错误.
故选:BC.
10．答案：AC
解析：对于A,因为,,所以在上单调递增,答案A正确;
对于B,当时,,所以不是的极值点,答案B错误;
对于C,当时,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减.
又因为,,,,所以在上有3个零点,答案C正确;
对于D,当,时,,所以不是周期函数,答案D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：由题设可知,
,
所以,且,故A正确;
,所以,,同理可得,,,故B正确;
不妨设,,,则,,,代入,
得,所以,故C不正确;
由
,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：因为展开式的通项为,,1,2,3,4,5,
令,解得,
因为的系数为,解得.
故答案为:.
13．答案：
解析：甲最终以4比2获胜,即甲在第2,3,4,5局比赛中胜3局,且第6局获胜,
事件甲最终以4比2获胜的概率为:,
故答案为:.
14．答案：390
解析：,则,,,
故有个n,使,
所以.
故答案为:390.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由余弦定理得:
整理得:,
又,所以.
（2）
因为是锐角三角形,所以,
所以,,即,
所以.
所以三角形面积的范围是.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设的中点为F,过F作分别交AC,于G,,连接EF、,
则G,分别为AC,的中点,
所以,
由,,得,即,又因为,
所以四边形是平行四边形,
所以,
因为是的中点,为正三角形,所以,
由正三棱柱的性质得,底面,且底面,
所以,,,平面,
所以平面.
又因为,所以平面,
平面,所以平面平面.
（2）以BC中点O为原点,OA,OC,(为中点)分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,
易得平面ABC的一个法向量,
设向量为平面一个法向量,
,,
则由,,得,,
令,得,
设平面与平面ABC的夹角为,
则.
所以平面与平面ABC的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）抛物线C的焦点.
由题意可知,直线AB的斜率存在并设为k,故直线AB方程为:,
代入整理得:
.
设,,则,
,
,
因为向量与向量共线,
所以,解得,
故所求直线AB的方程为:.
（2）不妨设,,
当时,,,
从而点A处的切线斜率为,同理,,
因为,所以,即
又点A处的切线方程为,点B处的切线方程为,
设交点P的坐标为,则,
从而和方程的两个解
所以,即,
所以点P的轨迹方程为.
18．答案：（1）答案见解析
（2）①;
②证明见解析
解析：（1）的定义域为,.
①当时,,,则,
所以在上单调递减;
②当时,
当时,,在上单调递增,
当时,,则在上单调递减.
所以,在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）①因为,是的两个零点,
由（1）可知,且,,
由在上单调递增,在上单调递减,
则,解得.
而当时,,,
由且,则在与各有一个零点.
又由单调性可知,至多两个零点.
故当时,有两个零点.
综上可知,a的取值范围是.
②因为,是的两个零点,
所以,解得,
所以,
令,即,代入上式得:
.
令,.
,令,
则,.
所以在上单调递减,且,
由,所以,即;
所以在上单调递减,且,
由,所以,又,,
所以.
由,且,
可知.
又因为,则在上是减函数,
所以,.
故得证.
19．答案：（1）,
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）因为是“数列”,所以,解得,
又,所以.
（2）首先证明甲是乙的充分条件,
设等比数列的公比为,则,
所以时,,所以当时,
,
所以是“数列”,即甲是乙的充分条件.
下证甲是乙的不必要条件,
设数列是“数列”,,
定义数列满足:,
则数列是“数列”,但不是等比数列.
综上,甲是乙的充分不必要条件.
（3）因为是“数列”,所以时,,
即①
因为是“数列”,所以时,,
即,②
由①得,当时,,
将上述两式代入②得,,
整理得,因为的各项均为正数,
所以,
所以数列从第3项开始为等比数列,
设公比为,则,
在①中令得,故;即,
令得,即,即,
所以,所以为常数,
所以是等比数列.