湖南省2025届高三上学期10月阶段检测联合考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省2025届高三上学期10月阶段检测联合考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,.若,则( )
A.B.0C.1D.2
2．已知角的终边过点,则( )
A.B.C.D.
3．如图,圆O的半径为1,劣弧的长为,则阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
4．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．记某飞行器的最大速度,若k不变,且,则与的关系为( )
A.
B.
C.若,则;若,则
D.若,则;若,则
6．已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
A.B.C.D.
8．已知关于x的方程在内有2个不同的解,,则( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数（,）的部分图象如图所示,则( )
A.
B.是奇函数
C.的最小正周期为
D.使取得最小值的x的集合为
10．已知,,下列结论正确的是( )
A.B.的最小值是
C.的最小值是8D.的最小值是
11．已知函数,.若表示m,n中的最大者,设函数,则下列结论正确的是( )
A.若没有零点,则a的取值范围为
B.若只有1个零点,则a的取值集合为
C.若有2个零点,则a的取值范围为
D.,
三、填空题
12．已知函数则________.
13．将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若的图象关于点对称,则的最小值为________.
14．已知函数,若存在,使得,且的最小值为1,则________.
四、解答题
15．在锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.,.
（1）求A;
（2）若,求的周长.
16．某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况,对学生进行简单随机抽样,获得的数据如下表:
单位:人
假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立,
（1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率;
（2）从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人喜欢篮球的概率;
（3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为,假设该校高一年级有500名男生和400名女生,除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为,试比较与的大小（结论不要求证明）
17．如图,在四棱台中,底面ABCD是菱形,平面ABCD,,.
（1）求四棱台的体积;
（2）求二面角的正弦值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为,,A为椭圆E上的动点,的面积的最大值为,且点A到点的最短距离是2.
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）过点作斜率为的直线l,交椭圆E于M,N两点,交抛物线于P,Q两点,且,求直线l的方程.
19．已知函数.设曲线与x轴负半轴相交于点,曲线在点P处的切线为l,
（1）证明:曲线上的点都不在直线l的下方.
（2）若关于的方程（为负实数）有两个不相等的实根,,证明:①;②.
参考答案
1．答案：A
解析：因为.又因为,所以,即得.
故选:A.
2．答案：C
解析：由题意,.
故选:C
3．答案：B
解析：因为劣弧的长为,所以.
则,,
所以阴影部分的面积为.
故选:B
4．答案：D
解析：的定义域为且,且,所以为偶函数,排除A;
当时,,,,
当时,,,,排除BC.
故选:D.
5．答案：D
解析：因为,所以.
若,则,,所以是减函数,
因为,所以.
同理,若,则是增函数,因为,所以.
故选:D.
6．答案：A
解析：因为在R上单调递增,所以当,单调递增,所以,
当时,,单调递增,且当,,
所以a的范围是.
故选:A
7．答案：B
解析：对于A,由为奇函数,得,则,,A错误;
对于D,由,得,则,D错误;
对于B,由,得,则,
,又,因此,B正确;
对于C,由,得,则,C错误.
故选:B
8．答案：D
解析：因为,取为锐角且,,
所以,由题意可得.
因为,,,不妨设,
由,有,,即,
所以,
.
故选:D.
9．答案：CD
解析：由图可得,的最小正周期为,所以,C正确.
,由图可得,结合,解得错误.
所以,由可得:
所以取得最小值的x的集合为,D正确.
既不是奇函数也不是偶函数,B错误.
故选:CD
10．答案：ACD
解析：,由,解得,A正确;
,
当且仅当时,等号成立,而此时不存在a,b,B错误;
由,得,所以,
当且仅当,即,时,等号成立,C正确.
由,得,
则,
当且仅当,即,时,等号成立,D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABC
解析：图象的对称轴方程为,开口向上,
当,即时,对任意,都有,所以没有零点.
令,,解得.
当时,,所以,没有零点.
当时,.
当时,,所以;当时,,所以有1个零点.
当时,.
当时,;当时,;
当时,,所以在上有1个零点,则在上有1个零点.所以有2个零点.
设在上的零点为,则当时,,所以当时,,D错误.
综上,当时,没有零点;当时,有1个零点;当时,有2个零点,ABC正确
故选:ABC
12．答案：3
解析：因为,所以.
故答案为:3
13．答案：
解析：由题意可得,
由的图象关于点对称,可得,,
即,.因为,取,,所以的最小值为.
故答案为:
14．答案：2
解析：当时,单调递增,当时,单调递增,
又可得,且
因为存在,,使得,所以,即.
不妨设,则,
即,所以.
设函数,则.
所以在上单调递减,,解得.
故答案为:2
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由,,所以.
由正弦定理,所以.
因为A为锐角,所以.
（2）由正弦定理得.
在锐角中,,即,
解得或.
当时,,B为钝角,不符合题意.
当时,经验证,符合题意.
故的周长为.
16．答案：（1）男生喜欢篮球的概率约为,女生喜欢篮球的概率约为.
（2）
（3）
解析：（1）该校男生喜欢篮球的概率约为,
该校女生喜欢篮球的概率约为.
（2）3人中恰有2人喜欢篮球分两种情况,①仅有2名男生喜欢篮球,②仅有1名男生喜欢篮球,1名女生喜欢篮球,
所以3人中恰有2人喜欢篮球的概率约为
（3）.理由如下:
,设该校总人数为a,则该校喜欢羽毛球的人数约为,
由表可知,男生喜欢羽毛球的概率为,女生喜欢羽毛球的概率为,
所以一年级喜欢羽毛球的人数约为,
故除一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为
.
故
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）延长,,,交于点E,连接AC.
因为,,所以,所以,分别为EA,EB的中点.同理,,分别为EC,ED的中点.
所以,,.
因为平面ABCD,所以,
所以,所以是等边三角形,所以.
,,
四棱台的体积为.
（2）取BC的中点F,连接AF.
以A为坐标原点,分别以直线AF,AD,为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,.
,,,
设平面的法向量为,
则取,则.
设平面的法向量为,
则取,则.
设二面角的大小为,
,
故二面角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得解得,,
则椭圆E的标准方程为.
（2）由（1）可知,设直线l的方程为,
联立整理得,
则,从而,
故.
联立整理得,
则,,
故.
因为,所以,
整理得,即,解得.
因为,所以,所以,
则直线l的方程为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）①证明见解析;
②证明见解析
解析：（1）由题意可得.
.
切线l的方程为.
令函数.
,.
令函数,所以是减函数.
所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以.
故曲线上的点都不在直线l的下方.
（2）①由（1）得.
令函数,则,所以是增函数.
,
所以存在,使得,即.
所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
.
因为,所以,
所以.
故.
②因为,
所以.
切线l的方程为.
曲线在点处的切线为.
设直线与图象的交点的横坐标分别为,,
则,.
.
由①可得是增函数,,
所以.
因为,所以
所以,
即.
球类
男生
女生
喜欢
不喜欢
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不喜欢
篮球
400
100
200
100
羽毛球
350
150
250
50