湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,,则点A到直线BC的距离为( )
A.B.C.D.
2．若直线与曲线有两个交点,则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．已知,,直线,,且,则的最小值为( )
A.2B.4C.8D.9
4．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．某射击运动员连续射击5次,命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为( )
A.7.6B.7.8C.8D.8.2
6．已知圆,从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN,N为垂足,则线段MN的中点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则( )
A.B.C.D.
8．已知点P在以,为左、右焦点的椭圆上,椭圆内存在一点Q在的延长线上,且满足,若,则该椭圆离心率取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若有空间非零向量,,,则存在唯一的实数,使得
B.A,B,C三点不共线,空间中任意点O,若,则P,A,B,C四点共面
C.,,若,则
D.若是空间的一个基底,则O,A,B,C四点共面,但不共线
10．已知实数x,y满足曲线C的方程,则下列选项正确的是( )
A.的最大值是
B.的最大值是
C.的最小值是
D.过点作曲线C的切线,则切线方程为
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有( )
A.B.
C.的面积为2D.的内切圆半径为
三、填空题
12．已知空间向量,,则在上的投影向量的坐标是________.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、,M为椭圆C上任意一点,P为曲线上任意一点,则的最小值为________.
14．已知P为直线上一动点,过点P作圆的两条切线,切点分别为B,C,则点到直线BC的距离的最大值为________.
四、解答题
15．设直线与直线交于P点.
（1）当直线m过P点,且与直线垂直时,求直线m的方程;
（2）当直线m过P点,且坐标原点O到直线m的距离为1时,求直线m的方程.
16．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组,第二组,…,第八组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.
（1）求第七组的频率;
（2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数;
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x,y,事件,求.
17．如图,三棱柱的底面为等边三角形,,点D,E分别为AC,的中点,,.
（1）求点到平面BDE的距离;
（2）求二面角的余弦值.
18．在校运动会上,有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,甲、丙首先比赛,乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求丙连胜四场的概率;
（2）求需要进行第五场比赛的概率;
（3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由.
19．设,分别是椭圆的左､右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆D于A,B两点,到直线的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.
（1）求椭圆D的方程;
（2）已知点,设E是椭圆D上的一点,过E,M两点的直线l交y轴于点C,若,求的取值范围;
（3）作直线与椭圆D交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为,若点是线段PQ垂直平分线上一点,且满足,求实数t的值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,,,所以,
所以在上投影的长度为,
所以点A到直线BC的距离为.
故选:C
2．答案：D
解析：如图所示:
直线过定点,曲线与x轴负半轴交于点,
设直线AC与曲线（半圆）相切于点C,
若直线与曲线有两个交点,
则,
而,
若与半圆（圆心,半径）相切,
则圆心到直线的距离满足,解得,即,
综上所述,实数k的取值范围为.
故选:D.
3．答案：C
解析：因为,所以,即,
因为,,所以,当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为8.
故选:C.
4．答案：B
解析：根据题意,圆的标准方程为,其圆心为,半径,
若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,
则圆心到直线l的距离,
设直线的斜率为k,则,直线l的方程为,
则有,
解得:,即k的取值范围是.
故选B.
5．答案：B
解析：依题意这组数据一共有5个数,中位数为8,则从小到大排列8的前面有2个数,后面也有2个数,
又唯一的众数为9,则有两个9,其余数字均只出现一次,则最大数字为9,
又极差为3,所以最小数字为6,
所以这组数据为6、7、8、9、9,
所以平均数为.
故选:B
6．答案：A
解析：设线段MN的中点,,
所以,解得,
又点M在圆上,
则,即.
故选:A
7．答案：C
解析：设直线与x轴交于点，直线方程与椭圆方程联立得，，解得.
设，到直线AB的距离分别为，，由题意得，，所以.由三角形相似可得，，解得或.因为，所以，故选C.
8．答案：B
解析：因为,,
不妨设,则,故,
设,则,,
因为点Q在线段的延长线上,且点Q在椭圆内,
所以且,所以,
又,
所以,
则离心率满足,
因为,由对勾函数的性质可得,
所以,所以,
所以
故选:B.
9．答案：ABC
解析：对于A:若有空间非零向量,,,则存在唯一的实数,使得,A正确;
对于B:,
即,故则P,A,B,C四点共面,B正确;
对于C:因为,则存在实数,使,即,解得,C正确;
对于D:若是空间的一个基底,则O,A,B,C四点不共面,D错误.
故选:ABC.
10．答案：BD
解析：由圆可化为,可得圆心,半径为,
对于A中,由表示圆C上的点到定点的距离的平方,
所以它的最大值为,所以A错误;
对于B中,表示圆上的点与点的斜率k,设,即,
由圆心到直线的距离,解得,
所以的最大值为,所以B正确;
对于C中,由表示圆上任意一点到直线的距离的倍,
圆心到直线的距离,所以其最小值为,所以C错误;
对于D中,因为点满足圆C的方程,即点在圆C上,
则点C与圆心连线的斜率为,
根据圆的性质,可得过点作圆C的切线的斜率为,
所以切线方程为,即,所以D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：法1：由题意得，，则，.由对称性可设（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以.由椭圆的定义得，在中，由余弦定理，得，即，解得，故A正确；
，故B错误；
的面积为，故C正确；
设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，即，解得，故D正确.故选ACD.
法2：设，，.易知，，由极化恒等式，得，故B错误；由中线长定理得，由椭圆定义得，所以，所以，所以，故A正确；
由，得，所以，故C正确；
设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，即，解得，故D正确.故选ACD.
12．答案：
解析：,,
,
故在上的投影向量的坐标.
故答案为:
13．答案：
解析：椭圆中,右焦点,圆的圆心,半径,
显然椭圆C与圆E相离,由点P在圆E上,得,
于是,
当且仅当M,P分别是线段与椭圆C、圆E的交点时取等号,
所以的最小值为.
故答案为:
14．答案：
解析：设,
过点P引圆的两条切线,切点分别为B,C,
则切点在以OP为直径的圆上,
圆心,半径,则圆的方程是,
整理为:,
又点B,C在圆上,
两圆方程相减得到,
即直线BC的方程是,因为,
代入得,则直线BC恒过定点,
所以点到直线BC的距离,
所以点到直线BC的距离的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由,解得,即点.
由直线可知:.
,直线m的斜率,又直线m过点,
故直线m的方程为:,即.
（2）因为直线m过点,
①当直线m的斜率存在时,可设直线m的方程为,即.
由坐标原点O到直线m的距离,解得,
因此直线m的方程为:,即.
②当直线m的斜率不存在时,直线m的方程为,验证可知符合题意.
综上所述,所求直线m的方程为或.
16．答案：（1）0.06;
（2）平均数为174.1,中位数为174.5;
（3）.
解析：（1）第六组的频率为,
第七组的频率为.
（2）由直方图得,身高在第一组的频率为,
身高在第二组的频率为,
身高在第三组的频率为,
身高在第四组的频率为,
由于,,
设这所学校的800名男生的身高中位数为m,则,
由得,
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm,平均数为
.
（3）第六组的抽取人数为4,设所抽取的人为a,b,c,d,
第八组的抽取人数为,设所抽取的人为A,B,
则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB共15种情况,
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况.所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接,,设与DE交于点F,
由可知,侧面为菱形,所以,
因为点D,E分别为AC,的中点,所以,则,
因为,所以,
则,又,所以为等边三角形,
由为等边三角形,,得,
连接,则,,
又,,所以,则,
易知,因为,平面,平面,
所以平面,
又平面,所以,
因为,平面BDE,平面BDE,所以平面BDE,
所以为点到平面BDE的距离,
又,故点到平面BDE的距离为.
（2）由（1）可知,BD,AC,两两垂直,以D为坐标原点,直线DB,DC,分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,,
由（1）知平面BDE的一个法向量为,
设平面的法向量为,则,即,
取,则,
于是,
因为二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）乙最终获胜的概率最大,理由见解析
解析：（1）丙连胜四场的情况为:“丙胜甲负,丙胜乙负,丙胜甲负,丙胜乙负”,
所以丙连胜四场的概率:;
（2）根据赛制,至少需要进行四场比赛,
而甲、丙连胜四场的概率为,
乙上场后连胜三场获胜的概率为,
需要进行第五场比赛的概率;
（3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下:
记事件A为甲输,事件B为丙输,
记事件M:甲赢,记事件N:乙赢,
则甲赢的基本事件包括:BCBC,АВCВС,АСВСВ,BAВСС,ВАCВС,ВСАВC,ВСАCB,ВСBAC,
甲赢的概率为,
由对称性可知,丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,
即丙最终获胜的概率也是,
所以乙赢的概率为,
又,所以三人中乙最终获胜的概率最大.
19．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）设,的坐标分别为,,其中;
由题意得AB的方程为.
因为到直线AB的距离为3,
所以,解得,所以①
因为连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4,所以,即②
联立①②解得:,,
所求椭圆D的方程为.
（2）由（1）知椭圆的方程为,设,,
因为,所以
所以,,代入椭圆的方程,
所以,解得或.
（3）由,设根据题意可知直线的斜率存在,可设直线斜率为k,则直线的方程为,
把它代入椭圆D的方程,消去y整理得:
由韦达定理得,则,;
所以线段PQ的中点坐标为.
（i）当时,则,线段PQ垂直平分线为y轴,
于是,,由,解得.
（ii）当时,则线段PQ垂直平分线的方程为.
由点是线段PQ垂直平分线的一点,令,得;
于是,,
由,
解得,所以.
综上可得实数t的值为,.