山东省望留镇庄头中学2024年数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图,已知正方形ABCD的面积等于25,直线a,b,c分别过A,B,C三点,且a∥b∥c,EF⊥直线c,垂足为点F交直线a于点E,若直线a,b之间的距离为3,则EF=( )
A.1B.2C.-3D.5-
2、(4分)定义新运算:a⊙b=,则函数y=3⊙x的图象可能是( )
A.B.
C.D.
3、(4分)已知平行四边形ABCD中,∠B=4 ∠A,则∠C= ( )
A.18°B.72°C.36°D.144°
4、(4分)如果5x=6y,那么下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
5、(4分)x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件( )
A.B.C.D.
6、(4分)已知一元二次方程2﹣5x+1=0的两个根为,,下列结论正确的是( )
A.+=﹣B.•=1
C.,都是正数D.,都是有理数
7、(4分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,AC=12,菱形ABCD的面积为96,则OH的长等于( )
A.6B.5C.4D.3
8、(4分)用配方法解方程x2﹣6x+3=0,下列变形正确的是( )
A.(x﹣3)2=6B.(x﹣3)2=3C.(x﹣3)2=0D.(x﹣3)2=1
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)在市业余歌手大奖赛的决赛中,参加比赛的名选手成绩统计如图所示,则这名选手成绩的中位数是__________.
10、(4分)如图,为的中位线,点在上,且为直角,若 ,,则的长为_____.
11、(4分)现有两根长6分米和3分米的木条,小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具,则第三根木条的长度应该为___分米.
12、(4分)如图,在矩形中,,点,分别在,上,将沿折叠,使点落在上的点处,又将沿折叠,使点落在直线与的交点处;___________.
13、(4分)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形中,,,则的长为_______________.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市,水果店的老板用1200元购进一批杨梅,很快售完;老板又用2500元购进第二批杨梅,所购件数是第一批的2倍,但进价每件比第一批多了5元.
(1)第一批杨梅每件进价多少元?
(2)老板以每件150元的价格销售第二批杨梅,售出后,为了尽快售完,决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元,剩余的杨梅每件售价至少打几折(利润售价进价)?
15、(8分)如图,在中,分别是的平分线.
求证:四边形是平行四边形.
16、(8分)为了提高学生书写汉字的能力,增强保护汉字的意识,某校举办了“汉子听写大赛”,学生经选拔后进入决赛,测试同时听写100个汉字,每正确听写出一个汉子得1分,本次决赛,学生成绩为x(分),且(无满分),将其按分数段分为五组,绘制出以下不完整表格:
请根据表格提供的信息,解答以下问题:
(1)本次决赛共有________名学生参加;
(2)直接写出表中:a= ,b= 。
(3)请补全右面相应的频数分布直方图;
(4)若决赛成绩不低于80分为优秀,则本次大赛的优秀率为________.
17、(10分)如图,在中,,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,DC,过点A作交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:;
(2)求证,四边形BCFD是平行四边形;
(3)若,,求四边形ADCF的面积.
18、(10分)如图,四边形 ABCD 是矩形,把矩形沿直线 BD 拆叠,点 C 落在点 E 处,连接 DE, DE 与 AD 交于点 M.
(1)证明四边形 ABDE 是等腰梯形;
(2)写出等腰梯形 ABDE 与矩形 ABCD 的面积大小关系,并证明你的结论.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)如图,在平行四边形中,,,,则______.
20、(4分)如图,在菱形ABCD中,∠A=70º,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于P,则∠FPC的度数为___________.
21、(4分)一元二次方程 的一次项系数为_________.
22、(4分)若方程的两根互为相反数,则________.
23、(4分)八年级(1)班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练,某次训练成绩如下:
由上表可知,甲、乙两组成绩更稳定的是________组.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)解不等式组:
请结合题意填空,完成本题解答:
(1)解不等式①,得______;
(2)解不等式②,得______;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为______.
25、(10分)解一元二次方程
(1)2x+x-3=0 (2)
26、(12分)四边形ABCD是正方形,AC是对角线,E是平面内一点,且,过点C作,且.连接AE、AF,M是AF的中点,作射线DM交AE于点N.
(1)如图1,若点E,F分别在BC,CD边上.
求证:①;
②;
(2)如图2,若点E在四边形ABCD内,点F在直线BC的上方,求与的和的度数.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、A
【解析】
延长AE交BC于N点,过B点作BM⊥AN于M点,过N点作NH⊥FC于H点,在Rt△ABM和Rt△BMN中,易得cs∠BAM=cs∠MBN,即,解得BN=,从而求出CN长度,在Rt△HNC中,利用cs∠HNC=cs∠MBN=,求出NH长度,最后借助EF=NH即可.
【详解】
解:延长AE交BC于N点,过B点作BM⊥AN于M点,过N点作NH⊥FC于H点,
因为正方形的面积为23,所以正方形的边长为3.
在Rt△ABM中,AB=3,BM=3,利用勾股定理可得AM=2.
∵∠BAM+∠ABM=90°,∠NBM+∠ABM=90°,
∴∠MBN=∠BAM.
∴cs∠BAM=cs∠MBN,即 ,解得BN=.
∴CN=BC-BN=.
∵∠HNC=∠MBN,
∴cs∠HNC=cs∠MBN=.
∴ ,解得NH=3.
∵a∥c,EF⊥FC,NH⊥FC,
∴EF=NH=3.
故选:A.
本题考查正方形的性质、平行线间的距离、解直角三角形,解题的关键是根据题意作出辅助线,转化角和边.
2、C
【解析】
根据题意可得y=3⊕x= ,再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状,进而得到答案.
【详解】
由题意得y=3⊕x=,
当x≥3时,y=2;当x<3且x≠0时,y=﹣,
图象如图:
故选:C.
此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
3、C
【解析】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A+∠B=180°,∠A=∠C,
又∵∠B=4∠A,
∴5∠A=180°,解得∠A=36°,
∴∠C=36°.
故选C.
4、A
【解析】
试题解析:A, 可以得出:
故选A.
5、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.
【详解】
A、x+3≥1,解得:x≥-3,故此选项错误;
B、x-3>1,解得:x>3,故此选项错误;
C、x+3>1,解得:x>-3,故此选项错误;
D、x-3≥1,解得:x≥3,故此选项正确,
故选D.
本题考查了二次根式和分式有意义的条件,二次根式的被开方数是非负数.分式的分母不能等于1.
6、C
【解析】
先利用根与系数的关系得到x1+x21,x1x21,然后利用有理数的性质可判定两根的符号.
【详解】
根据题意得x1+x21,x1x21,
所以x1>1,x2>1.
∵x,故C选项正确.
故选C.
本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=1(a≠1)的两根,则x1+x2,x1x2.
7、B
【解析】
由菱形的面积和对角线AC的长度可求出BD的长,再由勾股定理可求出AD的长,因为菱形的对角线互相垂直得出∠AOD=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
∵菱形ABCD的面积为96,
∴AC•BD=96,
∴BD=16,
∴AD==10,
∵∠AOD=90°,H为AD边中点,
∴OH=AD=1.
故选B.
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键.
8、A
【解析】
把常数项3移到等号的右边,再在等式的两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方,配成完全平方的形式,从而得出答案.
【详解】
解:∵x2﹣6x+3=0,
∴x2﹣6x=﹣3,
∴x2﹣6x+9=6,即(x﹣3)2=6,
故选:A.
本题考查了一元二次方程的解法---配方法,熟练掌握配方的步骤是解题的关键
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、8.5
【解析】
根据中位数的定义找出最中间的两个数,再求出它们的平均数即可.
【详解】
根据图形,这个学生的分数为:,,,,,,,,,,则中位数为.
本题考查求中位数,解题的关键是掌握求中位数的方法.
10、1cm.
【解析】
根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出EF,结合图形计算即可.
【详解】
∵DE为△ABC的中位线,
∴DE=BC=4(cm),
∵∠AFC为直角,E为AC的中点,
∴FE=AC=3(cm),
∴DF=DE﹣FE=1(cm),
故答案为1cm.
本题考查的是三角形中位线定理,直角三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
11、或3
【解析】
根据勾股定理解答即可.
【详解】
解:第三根木条的长度应该为或分米;
故答案为或3..
此题考查勾股定理,关键是根据勾股定理解答.
12、3
【解析】
首先连接,可以得到连接是∠的平分线,所以,又,所以是对角线中点,AC=2AB,所以∠ACB=30°,即可得出答案.
【详解】
解:如下图所示,连接
∵将沿折叠,使点落在上的点处,又将沿折叠,使点落在直线与的交点处
∴,∠1=∠2
∵∠2=∠3
∴∠1=∠3
在△和△中
∴△△
∴
又∵
∴
∴为对角线AC的中点
即AC=2AB=18
∴∠ACB=30°
则∠BAC=60°,∠=∠=30°
∴∠=∠1=60°
∴∠=∠=30°
∴
∵DF+CF=CD=AB=9
∴DF=
故答案为3.
本题考查了折叠问题和矩形的性质,注意折叠前面的两个图形是两个全等形.
13、4
【解析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形,连接AC和BD,过A点分别作DC和BC的垂线,垂足分别为F和E,通过证明△ADF≌△ABC来证明四边形ABCD为菱形,从而得到AC与BD相互垂直平分,再利用勾股定理求得BD长度.
【详解】
解:连接AC和BD,其交点为O,过A点分别作DC和BC的垂线,垂足分别为F和E,
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴∠ADF=∠ABE,
∵两纸条宽度相同,
∴AF=AE,
∵
∴△ADF≌△ABE,
∴AD=AB,
∴四边形ABCD为菱形,
∴AC与BD相互垂直平分,
∴BD=
故本题答案为:4
本题考察了菱形的相关性质,综合运用了三角形全等和勾股定理,注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手,不要盲目作辅助线.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(1)120元(2)至少打7折.
【解析】
(1)设第一批杨梅每件进价是x元,则第二批每件进价是(x+5)元,再根据等量关系:第二批杨梅所购件数是第一批的2倍;
(2)设剩余的杨梅每件售价y元,由利润=售价-进价,根据第二批的销售利润不低于320元,可列不等式求解.
【详解】
解:(1)设第一批杨梅每件进价是x元,
则
解得
经检验,x=120是原方程的解且符合题意.
答:第一批杨梅每件进价为120元.
(2)设剩余的杨梅每件售价打y折.
则
解得y≥7.
答:剩余的杨梅每件售价至少打7折.
考查分式方程的应用, 一元一次不等式的应用,读懂题目,从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.
15、详见解析.
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形可得,CE∥AF,∠DAB=∠DCB,又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD,所以∠2=∠3,可证四边形AFCE是平行四边形.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CE∥AF,∠DAB=∠DCB,
∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD,
∴∠2=∠3,
又∠3=∠CFB,
∴∠2=∠CFB,
∴AE∥CF,
又CE∥AF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
16、(1)50;(2)20,0.24;(3)详见解析;(4)52%.
【解析】
(1)根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数;
(2)根据(1)中决赛学生数,可以求得a、b的值;
(3)根据(2)中a的值,可以将频数分布直方图补充完整;
(4)根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率.
【详解】
解:(1)由表格可得,
本次决赛的学生数为:10÷0.2=50,
故答案为:50;
(2)a=50×0.4=20,b=12÷50=0.24,
故答案为:20,0.24;
(3)补全的频数分布直方图如右图所示,
(4)由表格可得,
决赛成绩不低于80分为优秀率为:(0.4+0.12)×100%=52%,
故答案为:52%.
本题考查频数分布直方图、频数分布表,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
17、(1),见解析;(2)四边形BCFD是平行四边形,见解析;(3).
【解析】
(1)欲证明DE=EF,只要证明△AEF≌△CED即可;
(2)只要证明BC=DF,BC∥DF即可;
(3)只要证明AC⊥DF,求出DF、AC即可;
【详解】
(1)证明:∵,∴,
∵,,
∴,
∴.
(2)∵,,∴,,
∵,∴,
∴四边形BCFD是平行四边形.
(3)在中,,,
∴,,,
∴,
∵DE∥BC,∴,
∴,
∴.
本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理.解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
18、(1)答案见解析;(2)等腰梯形ABDE小于矩形ABCD的面积
【解析】
(1)结合图形证△AMB≌△EMD,再结合图形的折叠关系可得答案.
(2) 由AE
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BE,AB=ED,AD∥BC.
∴△ADB≌△DBC≌△EDB,∠EBD=∠DBC,∠ADB=∠EBD.
∴DM=BM,AM=EM.
∴△AMB≌△EMD.
∴AB=DE.AM=EM,
∴∠EAM=∠AEM,
∵DM=BM,
∴∠BDM=∠MBD,
又∵∠AME=∠BMD,
∴∠EAD=∠MDB,
∴AE∥BD.
∵AE≠BD,
∴四边形ABDE是等腰梯形.
(2)∵
∵
∵AE
∴
∴ 等腰梯形ABDE小于矩形ABCD的面积.
本题考查了等腰梯形的判定, 直角三角形全等的判定, 矩形的性质, 翻折变换(折叠问题),掌握等腰梯形的判定, 直角三角形全等的判定,以及矩形的性质是解题的关键.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、
【解析】
根据平行四边形的性质可得AB=10,BC=AD=6,由BC⊥AC,根据勾股定理求得AC的长,即可求得OA长,再由勾股定理求得OB的长,即可求得BD的长.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC,
∵AC⊥BC,
∴AC==8,
∴OC=4,
∴OB==2,
∴BD=2OB=4
故答案为:4.
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理,熟练运用平行四边形的性质及勾股定理是解决本题的关键.
20、35°
【解析】
根据菱形的邻角互补求出∠B,再求出BE=BF,然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BEF,再求出∠FEP,取AD的中点G,连接FG交EP于O,然后判断出FG垂直平分EP,再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EF=FP,利用等边对等角求出∠FPE,再根据∠FPC=90°-∠FPE代入数据计算即可得解.
【详解】
在菱形ABCD中,连接EF,如图,
∵∠A=70°,
∴∠B=180°-870°=110°,
∵E,F分别是边AB,BC的中点,
∴BE=BF,
∴∠BEF=(180°-∠B)=(180°-110°)=35°,
∵EP⊥CD,AB∥CD,
∴∠BEP=∠CPE=90°,
∴∠FEP=90°-35°=55°,
取AD的中点G,连接FG交EP于O,
∵点F是BC的中点,G为AD的中点,
∴FG∥DC,
∵EP⊥CD,
∴FG垂直平分EP,
∴EF=PF,
∴∠FPE=∠FEP=55°,
∴∠FPC=90°-∠FPE=90°-55°=35°.
故答案为:35°.
本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,等边对等角的性质,熟记性质并作出辅助线求出EF=PF是解题的关键,也是本题的难点.
21、
【解析】
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项.
【详解】
解:一元二次方程 的一次项系数为-1.
故答案为:.
本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式,是基础题目,易于理解掌握.
22、
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
【详解】
∵两根互为相反数,
∴根据韦达定理得:m² - 1 = 0,
解得:m = 1 或 m = -1
当 m = 1 时,方程是 x² + 1 = 0 没有实数根
当 m = -1 时,方程是 x² - 1 = 0 有两个实数根
所以 m = -1
故答案为:-1
本题考查一元二次方程根与系数的关系,x1+x2=,x1x2=,熟练掌握韦达定理并进行检验是否有实数根是解题关键.
23、甲
【解析】
根据方差计算公式,进行计算,然后比较方差,小的稳定,在计算方差之前还需先计算平均数.
【详解】
=8,=8,
[(8-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.4,
[(9-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=0.8
∵<
∴甲组成绩更稳定.
故答案为:甲.
考查平均数、方差的计算方法,理解方差是反映一组数据的波动大小的统计量,方差越小,数据越稳定.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1)x≤2;(2)x>-3;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析;(4)-3<x≤2,
【解析】
(1)根据不等式的基本性质解不等式即可;
(2)根据不等式的基本性质解不等式即可;
(3)根据数轴表示解集的方法表示即可;
(4)根据不等式组公共解集的取法即可得出结论.
【详解】
(1)解不等式①,得x≤2
故答案为:x≤2;
(2)解不等式②,得x>-3
故答案为:x>-3;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下:
(4)原不等式组的解集为-3<x≤2,
此题考查的是解不等式组,掌握不等式的基本性质和利用数轴表示解集是解决此题的关键.
25、(1) (2)
【解析】
利用因式分解法求一元二次方程.
【详解】
解:(1)分解因式得:
解得
(2)移项得:
分解因式得:
解得:
本题考查了一元二次方程的解法,根据题选择合适的解法是解题的关键.
26、(1)①见解析;②见解析;(2)
【解析】
(1)根据已知及正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的计算,可知①∠BAE=∠DAF是否成立;可知②DN⊥AE是否成立;
(2)根据已知及正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的计算,求出∠EAC与∠ADN的和的度数.
【详解】
(1)证明:①在正方形ABCD中,
∴,.
∵,
∴.
∴.
∴.
②∵M是AF的中点,
∴,
由①可知.
∵.
∵
∴
∴
(2)解:延长AD至H,使得,连结FH,CH.
∵,
∴.
在正方形ABCD屮,AC是对角线,
∴.
∴.
∴.
∴
又∵,
∴.
∴
∵M是AF的中点,D是AH的中点,
∴.
∴
∴
本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的应用,解题的关键是熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的计算.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲组成绩(环)
8
7
8
8
9
乙组成绩(环)
9
8
7
9
7
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