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    山东省望留镇庄头中学2024年数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】
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    山东省望留镇庄头中学2024年数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】

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    这是一份山东省望留镇庄头中学2024年数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、(4分)如图,已知正方形ABCD的面积等于25,直线a,b,c分别过A,B,C三点,且a∥b∥c,EF⊥直线c,垂足为点F交直线a于点E,若直线a,b之间的距离为3,则EF=( )
    A.1B.2C.-3D.5-
    2、(4分)定义新运算:a⊙b=,则函数y=3⊙x的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    3、(4分)已知平行四边形ABCD中,∠B=4 ∠A,则∠C= ( )
    A.18°B.72°C.36°D.144°
    4、(4分)如果5x=6y,那么下列结论正确的是( )
    A.B.C.D.
    5、(4分)x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件( )
    A.B.C.D.
    6、(4分)已知一元二次方程2﹣5x+1=0的两个根为,,下列结论正确的是( )
    A.+=﹣B.•=1
    C.,都是正数D.,都是有理数
    7、(4分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,AC=12,菱形ABCD的面积为96,则OH的长等于( )
    A.6B.5C.4D.3
    8、(4分)用配方法解方程x2﹣6x+3=0,下列变形正确的是( )
    A.(x﹣3)2=6B.(x﹣3)2=3C.(x﹣3)2=0D.(x﹣3)2=1
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、(4分)在市业余歌手大奖赛的决赛中,参加比赛的名选手成绩统计如图所示,则这名选手成绩的中位数是__________.
    10、(4分)如图,为的中位线,点在上,且为直角,若 ,,则的长为_____.
    11、(4分)现有两根长6分米和3分米的木条,小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具,则第三根木条的长度应该为___分米.
    12、(4分)如图,在矩形中,,点,分别在,上,将沿折叠,使点落在上的点处,又将沿折叠,使点落在直线与的交点处;___________.
    13、(4分)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形中,,,则的长为_______________.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(12分)杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市,水果店的老板用1200元购进一批杨梅,很快售完;老板又用2500元购进第二批杨梅,所购件数是第一批的2倍,但进价每件比第一批多了5元.
    (1)第一批杨梅每件进价多少元?
    (2)老板以每件150元的价格销售第二批杨梅,售出后,为了尽快售完,决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元,剩余的杨梅每件售价至少打几折(利润售价进价)?
    15、(8分)如图,在中,分别是的平分线.
    求证:四边形是平行四边形.
    16、(8分)为了提高学生书写汉字的能力,增强保护汉字的意识,某校举办了“汉子听写大赛”,学生经选拔后进入决赛,测试同时听写100个汉字,每正确听写出一个汉子得1分,本次决赛,学生成绩为x(分),且(无满分),将其按分数段分为五组,绘制出以下不完整表格:
    请根据表格提供的信息,解答以下问题:
    (1)本次决赛共有________名学生参加;
    (2)直接写出表中:a= ,b= 。
    (3)请补全右面相应的频数分布直方图;
    (4)若决赛成绩不低于80分为优秀,则本次大赛的优秀率为________.
    17、(10分)如图,在中,,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,DC,过点A作交DE的延长线于点F,连接CF.
    (1)求证:;
    (2)求证,四边形BCFD是平行四边形;
    (3)若,,求四边形ADCF的面积.
    18、(10分)如图,四边形 ABCD 是矩形,把矩形沿直线 BD 拆叠,点 C 落在点 E 处,连接 DE, DE 与 AD 交于点 M.
    (1)证明四边形 ABDE 是等腰梯形;
    (2)写出等腰梯形 ABDE 与矩形 ABCD 的面积大小关系,并证明你的结论.
    B卷(50分)
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、(4分)如图,在平行四边形中,,,,则______.
    20、(4分)如图,在菱形ABCD中,∠A=70º,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于P,则∠FPC的度数为___________.
    21、(4分)一元二次方程 的一次项系数为_________.
    22、(4分)若方程的两根互为相反数,则________.
    23、(4分)八年级(1)班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练,某次训练成绩如下:
    由上表可知,甲、乙两组成绩更稳定的是________组.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(8分)解不等式组:
    请结合题意填空,完成本题解答:
    (1)解不等式①,得______;
    (2)解不等式②,得______;
    (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
    (4)原不等式组的解集为______.
    25、(10分)解一元二次方程
    (1)2x+x-3=0 (2)
    26、(12分)四边形ABCD是正方形,AC是对角线,E是平面内一点,且,过点C作,且.连接AE、AF,M是AF的中点,作射线DM交AE于点N.
    (1)如图1,若点E,F分别在BC,CD边上.
    求证:①;
    ②;
    (2)如图2,若点E在四边形ABCD内,点F在直线BC的上方,求与的和的度数.

    参考答案与详细解析
    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、A
    【解析】
    延长AE交BC于N点,过B点作BM⊥AN于M点,过N点作NH⊥FC于H点,在Rt△ABM和Rt△BMN中,易得cs∠BAM=cs∠MBN,即,解得BN=,从而求出CN长度,在Rt△HNC中,利用cs∠HNC=cs∠MBN=,求出NH长度,最后借助EF=NH即可.
    【详解】
    解:延长AE交BC于N点,过B点作BM⊥AN于M点,过N点作NH⊥FC于H点,
    因为正方形的面积为23,所以正方形的边长为3.
    在Rt△ABM中,AB=3,BM=3,利用勾股定理可得AM=2.
    ∵∠BAM+∠ABM=90°,∠NBM+∠ABM=90°,
    ∴∠MBN=∠BAM.
    ∴cs∠BAM=cs∠MBN,即 ,解得BN=.
    ∴CN=BC-BN=.
    ∵∠HNC=∠MBN,
    ∴cs∠HNC=cs∠MBN=.
    ∴ ,解得NH=3.
    ∵a∥c,EF⊥FC,NH⊥FC,
    ∴EF=NH=3.
    故选:A.
    本题考查正方形的性质、平行线间的距离、解直角三角形,解题的关键是根据题意作出辅助线,转化角和边.
    2、C
    【解析】
    根据题意可得y=3⊕x= ,再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状,进而得到答案.
    【详解】
    由题意得y=3⊕x=,
    当x≥3时,y=2;当x<3且x≠0时,y=﹣,
    图象如图:
    故选:C.
    此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
    3、C
    【解析】
    解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠A+∠B=180°,∠A=∠C,
    又∵∠B=4∠A,
    ∴5∠A=180°,解得∠A=36°,
    ∴∠C=36°.
    故选C.
    4、A
    【解析】
    试题解析:A, 可以得出:
    故选A.
    5、D
    【解析】
    根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.
    【详解】
    A、x+3≥1,解得:x≥-3,故此选项错误;
    B、x-3>1,解得:x>3,故此选项错误;
    C、x+3>1,解得:x>-3,故此选项错误;
    D、x-3≥1,解得:x≥3,故此选项正确,
    故选D.
    本题考查了二次根式和分式有意义的条件,二次根式的被开方数是非负数.分式的分母不能等于1.
    6、C
    【解析】
    先利用根与系数的关系得到x1+x21,x1x21,然后利用有理数的性质可判定两根的符号.
    【详解】
    根据题意得x1+x21,x1x21,
    所以x1>1,x2>1.
    ∵x,故C选项正确.
    故选C.
    本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=1(a≠1)的两根,则x1+x2,x1x2.
    7、B
    【解析】
    由菱形的面积和对角线AC的长度可求出BD的长,再由勾股定理可求出AD的长,因为菱形的对角线互相垂直得出∠AOD=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
    ∵菱形ABCD的面积为96,
    ∴AC•BD=96,
    ∴BD=16,
    ∴AD==10,
    ∵∠AOD=90°,H为AD边中点,
    ∴OH=AD=1.
    故选B.
    本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键.
    8、A
    【解析】
    把常数项3移到等号的右边,再在等式的两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方,配成完全平方的形式,从而得出答案.
    【详解】
    解:∵x2﹣6x+3=0,
    ∴x2﹣6x=﹣3,
    ∴x2﹣6x+9=6,即(x﹣3)2=6,
    故选:A.
    本题考查了一元二次方程的解法---配方法,熟练掌握配方的步骤是解题的关键
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、8.5
    【解析】
    根据中位数的定义找出最中间的两个数,再求出它们的平均数即可.
    【详解】
    根据图形,这个学生的分数为:,,,,,,,,,,则中位数为.
    本题考查求中位数,解题的关键是掌握求中位数的方法.
    10、1cm.
    【解析】
    根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出EF,结合图形计算即可.
    【详解】
    ∵DE为△ABC的中位线,
    ∴DE=BC=4(cm),
    ∵∠AFC为直角,E为AC的中点,
    ∴FE=AC=3(cm),
    ∴DF=DE﹣FE=1(cm),
    故答案为1cm.
    本题考查的是三角形中位线定理,直角三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
    11、或3
    【解析】
    根据勾股定理解答即可.
    【详解】
    解:第三根木条的长度应该为或分米;
    故答案为或3..
    此题考查勾股定理,关键是根据勾股定理解答.
    12、3
    【解析】
    首先连接,可以得到连接是∠的平分线,所以,又,所以是对角线中点,AC=2AB,所以∠ACB=30°,即可得出答案.
    【详解】
    解:如下图所示,连接
    ∵将沿折叠,使点落在上的点处,又将沿折叠,使点落在直线与的交点处
    ∴,∠1=∠2
    ∵∠2=∠3
    ∴∠1=∠3
    在△和△中
    ∴△△

    又∵

    ∴为对角线AC的中点
    即AC=2AB=18
    ∴∠ACB=30°
    则∠BAC=60°,∠=∠=30°
    ∴∠=∠1=60°
    ∴∠=∠=30°

    ∵DF+CF=CD=AB=9
    ∴DF=
    故答案为3.
    本题考查了折叠问题和矩形的性质,注意折叠前面的两个图形是两个全等形.
    13、4
    【解析】
    首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形,连接AC和BD,过A点分别作DC和BC的垂线,垂足分别为F和E,通过证明△ADF≌△ABC来证明四边形ABCD为菱形,从而得到AC与BD相互垂直平分,再利用勾股定理求得BD长度.
    【详解】
    解:连接AC和BD,其交点为O,过A点分别作DC和BC的垂线,垂足分别为F和E,
    ∵AB∥CD,AD∥BC,
    ∴四边形ABCD为平行四边形,
    ∴∠ADF=∠ABE,
    ∵两纸条宽度相同,
    ∴AF=AE,

    ∴△ADF≌△ABE,
    ∴AD=AB,
    ∴四边形ABCD为菱形,
    ∴AC与BD相互垂直平分,
    ∴BD=
    故本题答案为:4
    本题考察了菱形的相关性质,综合运用了三角形全等和勾股定理,注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手,不要盲目作辅助线.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(1)120元(2)至少打7折.
    【解析】
    (1)设第一批杨梅每件进价是x元,则第二批每件进价是(x+5)元,再根据等量关系:第二批杨梅所购件数是第一批的2倍;
    (2)设剩余的杨梅每件售价y元,由利润=售价-进价,根据第二批的销售利润不低于320元,可列不等式求解.
    【详解】
    解:(1)设第一批杨梅每件进价是x元,

    解得
    经检验,x=120是原方程的解且符合题意.
    答:第一批杨梅每件进价为120元.
    (2)设剩余的杨梅每件售价打y折.

    解得y≥7.
    答:剩余的杨梅每件售价至少打7折.
    考查分式方程的应用, 一元一次不等式的应用,读懂题目,从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.
    15、详见解析.
    【解析】
    由四边形ABCD是平行四边形可得,CE∥AF,∠DAB=∠DCB,又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD,所以∠2=∠3,可证四边形AFCE是平行四边形.
    【详解】
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴CE∥AF,∠DAB=∠DCB,
    ∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD,
    ∴∠2=∠3,
    又∠3=∠CFB,
    ∴∠2=∠CFB,
    ∴AE∥CF,
    又CE∥AF,
    ∴四边形AFCE是平行四边形.
    16、(1)50;(2)20,0.24;(3)详见解析;(4)52%.
    【解析】
    (1)根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数;
    (2)根据(1)中决赛学生数,可以求得a、b的值;
    (3)根据(2)中a的值,可以将频数分布直方图补充完整;
    (4)根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率.
    【详解】
    解:(1)由表格可得,
    本次决赛的学生数为:10÷0.2=50,
    故答案为:50;
    (2)a=50×0.4=20,b=12÷50=0.24,
    故答案为:20,0.24;
    (3)补全的频数分布直方图如右图所示,
    (4)由表格可得,
    决赛成绩不低于80分为优秀率为:(0.4+0.12)×100%=52%,
    故答案为:52%.
    本题考查频数分布直方图、频数分布表,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
    17、(1),见解析;(2)四边形BCFD是平行四边形,见解析;(3).
    【解析】
    (1)欲证明DE=EF,只要证明△AEF≌△CED即可;
    (2)只要证明BC=DF,BC∥DF即可;
    (3)只要证明AC⊥DF,求出DF、AC即可;
    【详解】
    (1)证明:∵,∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴.
    (2)∵,,∴,,
    ∵,∴,
    ∴四边形BCFD是平行四边形.
    (3)在中,,,
    ∴,,,
    ∴,
    ∵DE∥BC,∴,
    ∴,
    ∴.
    本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理.解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
    18、(1)答案见解析;(2)等腰梯形ABDE小于矩形ABCD的面积
    【解析】
    (1)结合图形证△AMB≌△EMD,再结合图形的折叠关系可得答案.
    (2) 由AE【详解】
    证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD=BE,AB=ED,AD∥BC.
    ∴△ADB≌△DBC≌△EDB,∠EBD=∠DBC,∠ADB=∠EBD.
    ∴DM=BM,AM=EM.
    ∴△AMB≌△EMD.
    ∴AB=DE.AM=EM,
    ∴∠EAM=∠AEM,
    ∵DM=BM,
    ∴∠BDM=∠MBD,
    又∵∠AME=∠BMD,
    ∴∠EAD=∠MDB,
    ∴AE∥BD.
    ∵AE≠BD,
    ∴四边形ABDE是等腰梯形.
    (2)∵

    ∵AE

    ∴ 等腰梯形ABDE小于矩形ABCD的面积.
    本题考查了等腰梯形的判定, 直角三角形全等的判定, 矩形的性质, 翻折变换(折叠问题),掌握等腰梯形的判定, 直角三角形全等的判定,以及矩形的性质是解题的关键.
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、
    【解析】
    根据平行四边形的性质可得AB=10,BC=AD=6,由BC⊥AC,根据勾股定理求得AC的长,即可求得OA长,再由勾股定理求得OB的长,即可求得BD的长.
    【详解】
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC,
    ∵AC⊥BC,
    ∴AC==8,
    ∴OC=4,
    ∴OB==2,
    ∴BD=2OB=4
    故答案为:4.
    本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理,熟练运用平行四边形的性质及勾股定理是解决本题的关键.
    20、35°
    【解析】
    根据菱形的邻角互补求出∠B,再求出BE=BF,然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BEF,再求出∠FEP,取AD的中点G,连接FG交EP于O,然后判断出FG垂直平分EP,再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EF=FP,利用等边对等角求出∠FPE,再根据∠FPC=90°-∠FPE代入数据计算即可得解.
    【详解】
    在菱形ABCD中,连接EF,如图,
    ∵∠A=70°,
    ∴∠B=180°-870°=110°,
    ∵E,F分别是边AB,BC的中点,
    ∴BE=BF,
    ∴∠BEF=(180°-∠B)=(180°-110°)=35°,
    ∵EP⊥CD,AB∥CD,
    ∴∠BEP=∠CPE=90°,
    ∴∠FEP=90°-35°=55°,
    取AD的中点G,连接FG交EP于O,
    ∵点F是BC的中点,G为AD的中点,
    ∴FG∥DC,
    ∵EP⊥CD,
    ∴FG垂直平分EP,
    ∴EF=PF,
    ∴∠FPE=∠FEP=55°,
    ∴∠FPC=90°-∠FPE=90°-55°=35°.
    故答案为:35°.
    本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,等边对等角的性质,熟记性质并作出辅助线求出EF=PF是解题的关键,也是本题的难点.
    21、
    【解析】
    一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项.
    【详解】
    解:一元二次方程 的一次项系数为-1.
    故答案为:.
    本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式,是基础题目,易于理解掌握.
    22、
    【解析】
    根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
    【详解】
    ∵两根互为相反数,
    ∴根据韦达定理得:m² - 1 = 0,
    解得:m = 1 或 m = -1
    当 m = 1 时,方程是 x² + 1 = 0 没有实数根
    当 m = -1 时,方程是 x² - 1 = 0 有两个实数根
    所以 m = -1
    故答案为:-1
    本题考查一元二次方程根与系数的关系,x1+x2=,x1x2=,熟练掌握韦达定理并进行检验是否有实数根是解题关键.
    23、甲
    【解析】
    根据方差计算公式,进行计算,然后比较方差,小的稳定,在计算方差之前还需先计算平均数.
    【详解】
    =8,=8,
    [(8-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.4,
    [(9-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=0.8
    ∵<
    ∴甲组成绩更稳定.
    故答案为:甲.
    考查平均数、方差的计算方法,理解方差是反映一组数据的波动大小的统计量,方差越小,数据越稳定.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(1)x≤2;(2)x>-3;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析;(4)-3<x≤2,
    【解析】
    (1)根据不等式的基本性质解不等式即可;
    (2)根据不等式的基本性质解不等式即可;
    (3)根据数轴表示解集的方法表示即可;
    (4)根据不等式组公共解集的取法即可得出结论.
    【详解】
    (1)解不等式①,得x≤2
    故答案为:x≤2;
    (2)解不等式②,得x>-3
    故答案为:x>-3;
    (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下:
    (4)原不等式组的解集为-3<x≤2,
    此题考查的是解不等式组,掌握不等式的基本性质和利用数轴表示解集是解决此题的关键.
    25、(1) (2)
    【解析】
    利用因式分解法求一元二次方程.
    【详解】
    解:(1)分解因式得:
    解得
    (2)移项得:
    分解因式得:
    解得:
    本题考查了一元二次方程的解法,根据题选择合适的解法是解题的关键.
    26、(1)①见解析;②见解析;(2)
    【解析】
    (1)根据已知及正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的计算,可知①∠BAE=∠DAF是否成立;可知②DN⊥AE是否成立;
    (2)根据已知及正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的计算,求出​∠EAC与∠ADN的和的度数.
    【详解】
    (1)证明:①在正方形ABCD中,
    ∴,.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    ∴.
    ②∵M是AF的中点,
    ∴,
    由①可知.
    ∵.



    (2)解:延长AD至H,使得,连结FH,CH.
    ∵,
    ∴.
    在正方形ABCD屮,AC是对角线,
    ∴.
    ∴.
    ∴.

    又∵,
    ∴.

    ∵M是AF的中点,D是AH的中点,
    ∴.


    本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的应用,解题的关键是熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定,全等三角形的性质的计算.
    题号





    总分
    得分
    批阅人
    甲组成绩(环)
    8
    7
    8
    8
    9
    乙组成绩(环)
    9
    8
    7
    9
    7
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