江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年‌八上数学第一次月考试卷【含答案】

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A．36°B．37°C．38°D．45°
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB＝11，AC＝5，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48B．96C．84D．42
5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
6．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°
7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
二．填空题（共11小题）
8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
9．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1＝110°，则∠GFC′＝ ．
10．已知点P为∠AOB内一点，且∠AOB＝30°，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若OP＝6，则△PMN的周长为 ．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 ．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝24°，则∠CDE＝ °．
14．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CF⊥AD，BE⊥AD．若CF＝8，BE＝6，AD＝10，则EF的长为 ．
15．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝ ．
16．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 ．
17．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ．
18．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ．
三．解答题（共6小题）
19．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 ；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
20．如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE．
（1）求线段AO的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
21．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，AF＝AD，AB＝AD+BC．
（1）AE与BE垂直吗？说明你的理由；
（2）若AE＝5，BE＝3，试求出四边形ABCD的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
23．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
24．定义：如图，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
如图①，在△ABC中，D，E分别是AB、AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD与CE的数量关系是 ；
（2）在图③中，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：∵∠B＝80°，∠BAE＝26°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝180°﹣（80°+26°）＝74°，
∵将△ABC折叠点C与点A重合，
∴AE＝CE，
∴∠EAD＝∠C，
由三角形的外角性质得，∠AEB＝∠EAD+∠C，
∴2∠EAD＝74°，
∴∠EAD＝37°．
故选：B．
2．【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×5×4+×AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
3．【解答】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝11，AC＝5，
∴BE＝（11﹣5）＝3．
故选：A．
4．【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故选：A．
5．【解答】解：∵BC＝16，DC：DB＝3：5，
∴CD＝×16＝6，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝6，
即点D到AB的距离是6cm．
故选：A．
6．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β+（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
7．【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
二．填空题（共11小题）
8．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝180°﹣∠1＝70°，∠DEF+∠EFC＝180°，
由翻折可得，∠DEF＝∠GEF，∠EFC＝∠EFC'，
∴∠DEF＝55°，
∴∠EFC＝180°﹣55°＝125°，
∴∠GFC'＝∠EFC'﹣∠EFG＝∠EFC﹣∠DEF＝125°﹣55°＝70°，
故答案为：70°．
10．【解答】解：∵P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，
∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠BOP，PM＝P1M，PN＝P2N，P1O＝PO＝P2O，
∴∠P1OP2＝∠P1OA+∠AOP+∠P2OB+∠BOP＝2∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠P1OP2＝2×30°＝60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
又∵△PMN的周长＝PM+MN＝PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，
∴△PMN的周长＝P1P2＝P1O＝PO＝6．
故答案为：6
11．【解答】解：作F关于AD的对称点F'，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点F'在AB上，
∴EF＝EF'，
∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝，
∴12×8＝10×CF'，
∴CF'＝，
∴EC+EF的最小值为，
故答案为：．
12．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，
故答案为：58°．
13．【解答】解：∵∠ACB＝90°，将△CBD沿直线CD翻折180°，得到△CED，点E恰好落在边AC上，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
由三角形的外角性质得，∠CDB＝∠A+∠ACD＝24°+45°＝69°，
由据翻折的性质得，∠CDE＝∠CDB＝69°．
故答案为：69．
14．【解答】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF＝6，AE＝CF＝8，
∵AF＝AD﹣DF＝10﹣6＝4，
∴EF＝AE﹣AF＝8﹣4＝4，
故答案为：4．
15．【解答】解：∵EF垂直平分AB于点F，
∴AE＝BE，
∵BE+CE＝20cm，
∴AE+CE＝20cm，
即AC＝20cm，
∵AD垂直平分BC于点D，
∴AB＝AC＝20cm，
故答案为：20cm．
16．【解答】解：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，则AE＝2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
∵，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC＝AB＝5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，
即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为：1＜m＜4．
17．【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP＝PD，
∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，
∴S△PBC＝S△ABC＝9，
故答案为：9．
18．【解答】解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小．
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠EPF＝130°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
三．解答题（共6小题）
19．【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
②解：由①知，△ABD≌△ECD，
∴CE＝AB，
∵AB＝5，
∴CE＝5，
∵ED＝AD，AD＝x，
∴AE＝2AD＝2x，
在△ACE中，AC＝3，
根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，
∴1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4；
（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，
∵DH＝DF，DE⊥DF，
即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，
∴△DEF≌△DEH（SAS），
∴EH＝EF，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，
∴△BDH≌△CDF（SAS），
∴CF＝BH，
∵BE+BH＞EH，
∴BE+CF＞EF．
20．【解答】解：（1）如图1中，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是高，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠EAO＝∠EBC，
在△AOE和△BCE中，
，
∴△AOE≌△BCE，
∴AO＝BC＝5．
（2）∵BD＝CD，BC＝5，
∴BD＝2，CD＝3，
由题意OP＝t，BQ＝4t，
①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，
∴S＝•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）．
②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2，
∴S＝•t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）．
（3）存在．
①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．
∴CQ＝OP，
∴5﹣4t＝t，
解得t＝1，
②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．
∴CQ＝OP，
∴4t﹣5＝t，
解得t＝．
综上所述，t＝1或s时，△BOP与△FCQ全等．
21．【解答】解：（1）结论：AE⊥BE．
理由：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∵∠EAB+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）∵AF＝AD，AB＝AD+BC，
∴BF＝BC，
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴S四边形ADEF＝2S△AEF，
同理△BEF≌△BEC，
∴S四边形BCEF＝2S△BEF，
∴S四边形ABCD＝S四边形ADEF+S四边形BCEF＝2S△AEF+2S△BEF＝2S△ABE＝2××5×3＝15．
∴四边形ABCD的面积为15．
22．【解答】（1）证明：连接BD，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，
∴DG＝DF，
在Rt△BDG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG＝CF；
（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），
∴AG＝AF，
∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，
∴AC＝AF+AB+AG，
∴AC＝2AG+AB，
∵AB＝10cm，AC＝14cm，
∴AG＝＝2cm．
23．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
24．【解答】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∴，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
（2）证明：由（1）得：△CAE≌△BAD，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△ADM和△AEN中，
，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∴∠DAM＝∠EAN，
∴∠DAM+∠MAE＝∠EAN+∠MAE，
∴∠MAN＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC，
过点M作关于BN的对称点M′，连接AM′，如图，
则∠MAN＝∠M′AN＝∠BAC，
∵∠BAC+∠CAN＝180°，
∴∠M′AN+∠CAN＝180°，
∴C、A、M′三点共线，
即M′C交直线BN于点A，
∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点．