2024-2025学年云南省昆明十四中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省昆明十四中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.记复数z的共轭复数为z−，若z(2+i)=2−4i，则|z−|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
2.设向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则( )
A. “x=−3”是“a⊥b”的必要条件
B. “x=−3”是“a//b”的必要条件
C. “x=0”是“a⊥b”的充分条件
D. “x=−1+ 3”是“a//b”的充分条件
3.定义运算：abcd=ad−bc.已知sinαcs180°csαtan60°=sin(270°+α)，则tanα=( )
A. 32B. 2 33C. − 32D. −2 33
4.若直线l过点(2, 3)，倾斜角为120°，则点(1,− 3)到直线l的距离为( )
A. 32B. 3C. 3 32D. 5 32
5.设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β=m.下述四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n//α且n//β，则m//n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
6.圆(x−2)2+y2=4与直线x−y−2+ 2=0相交所得弦长为( )
A. 1B. 2C. 2 3D. 2 2
7.过点A (1,−1)、B (−1,1)且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是( )
A. (x−3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y−1)2=4
C. (x+1)2+(y+1)2=4D. (x−1)2+(y−1)2=4
8.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的716，则沙子堆积成的圆台的高为( )
A. 1
B. 32
C. 3
D. 43
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一光线过点(2,4)，经倾斜角为135°的且过(0,1)的直线l反射后过点(5,0)，则反射后的光线还经过下列哪些点( )
A. (1,−12)B. (2,−38)C. (3,−14)D. (4,18)
10.已知圆C：x2+y2−4x−14y+45=0及点Q(−2,3)，则下列说法正确的是( )
A. 点C的坐标为(2,7)
B. 点Q在圆C外
C. 若点P(m,m+1)在圆C上，则直线PQ的斜率为14
D. 若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为2 2,6 2
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1的中点，P为底面正方形ABCD内(含边界)的动点，则( )
A. 三棱锥B1−A1D1P的体积为定值
B. 直线B1E//平面A1BD
C. 当A1P⊥AC1时，A1P⊥AC
D. 直线B1E与平面CDD1C1所成角的正弦值为23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B=π3，且△ABC的面积为2 3，a+c=6，则b= ______．
13.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来常州旅游，若甲、乙2人中至少有1人来常州旅游的概率是34，丙来常州旅游的概率是13，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙3人中至少有1人来常州旅游的概率为 ．
14.已知点A(−3,0)，B(1,0)，平面内的动点P满足PB−3PA=0，则点P的轨迹形成的图形周长是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 3asinBcsA=bsin2A．
(1)求A的值；
(2)若△ABC的面积为 3，周长为6，求△ABC的外接圆面积．
16.(本小题12分)
已知直线m：(a−1)x+(2a+3)y−a+6=0，n：x−2y+3=0．
(1)若坐标原点O到直线m的距离为 5，求a的值；
(2)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程．
17.(本小题12分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1，DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3．

(1)证明：B2C2//A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P−A2C2−D2为150∘时，求B2P．
18.(本小题12分)
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19．
(1)求x的值；
(2)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率；
(3)已知z=218，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC=4，AB=2，PA=2 2，∠PAO=45°，且O是AD的中点．
(1)求证：平面POC⊥平面ABC；
(2)若四棱锥P−ABCD体积为2 2，求二面角P−AD−B的正弦值；
(3)若二面角P−AD−B的大小为120°，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.C
5.A
6.C
7.D
8.B
9.ABC
10.ABD
11.AD
12.2 6
13.56
14.3π
15.解：(1)由正弦定理得 3sinAsinBcsA=sinBsin2A，
因为sinA，sinB≠0，故 3csA=sinA，则tanA= 3，
因为A∈(0,π)，故A=π3．
(2)由题意S△ABC=12bcsinA= 34bc= 3，故bc=4．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc=(6−a)2−12，
解得a=2.故△ABC的外接圆半径R=a2sinA=2 3，
故所求外接圆面积S=πR2=4π3．
16.解：(1)设原点O到直线m的距离为d，则d=|−a+6| (a−1)2+(2a+3)2= 5，解得a=−14或a=−73；
(2)由−x+3y+6=0x−2y+3=0解得x=−21y=−9，即m与n的交点为(−21,−9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x−7y=0；
当直线l不过原点时，设l的方程为xb+y−b=1，将(−21,−9)代入得b=−12，
所以直线l的方程为x−y+12=0．
故满足条件的直线l的方程为3x−7y=0或x−y+12=0．
17.解：(1)以 C 为坐标原点， CD,CB,CC1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图，

则 C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1) ，
∴B2C2=(0,−2,1),A2D2=(0,−2,1) ，
∴B2C2//A2D2 ，
又 B2C2,A2D2 不在同一条直线上，
∴B2C2//A2D2 ．
(2)设 P(0,2,λ)(0≤λ≤4) ，
则 A2C2=(−2,−2,2),PC2=(0,−2,3−λ),D2C2=(−2,0,1) ，
设平面 PA2C2 的法向量 n=(x,y,z) ，
则 n⋅A2C2=−2x−2y+2z=0n⋅PC2=−2y+(3−λ)z=0 ，
令 z=2 ，得 y=3−λ,x=λ−1 ，
∴n=(λ−1,3−λ,2) ，
设平面 A2C2D2 的法向量 m=(a,b,c) ，
则 m⋅A2C2=−2a−2b+2c=0m⋅D2C2=−2a+c=0 ，
令 a=1 ，得 b=1,c=2 ，
∴m=(1,1,2) ，
∴csn,m=n⋅mnm=6 6 4+(λ−1)2+(3−λ)2=cs150∘= 32 ，
化简可得， λ2−4λ+3=0 ，
解得 λ=1 或 λ=3 ，
∴P(0,2,1) 或 P(0,2,3) ，
∴B2P=1 ．

18.解：(1)∵x2000=0.19，∴x=380．
(2)设九年级女生比男生少为事件A，九年级女生数、男生数记为(y,z)，
由(1)知x=380，∴y+z=2000−(373+377+380+370)=500，y，z∈N．
满足题意得所有样本点是(245,255)，(246,254)，(247,253)，⋯，(255,245)，共11个，
事件A包含的样本点是(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，共5个．
因此P(A)=511．
(3)设B=“抽到女生”，C=“抽到九年级学生”，由(2)知y+z=500，
又∵z=218，∵z=218，∴y=282，
∴全校女生共有373+380+282=1035(名)，
则有P(B)=10352000=207400，P(C)=5002000=14，P(B∩C)=2822000=1411000．
∴该学生是女生或九年级学生的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)−P(B∩C)=207400+14−1411000=12532000．
19.解：(1)证明：∵PA=2 2,OA=2,∠PAO=45°，
由余弦定理得PO2=AO2+AP2−2AO⋅APcs∠PAO，
∴PO2=22+(2 2)2−2×2 2×2×cs45°=4，∴PO=2，
∵PA2=PO2+AO2，∴∠POA=90°，∴AD⊥PO，
∵BC/​/AO，BC=AO=2，又∠BAO=90°，AB=2，
∴四边形ABCO为正方形，
∴AD⊥OC，又AD⊥PO，
∵PO∩CO=O，PO，CO⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，又AD⊂平面ABC，
∴平面POC⊥平面ABC；
(2)由(1)可知AD⊥平面POC，平面POC⊥平面ABC，设∠POC=θ，
∴二面角P−AD−B的平面角为θ，
又P到平面ABCD的距离为PO×sinθ=2sinθ，
∴四棱锥P−ABCD体积为13×S梯形ABCD×2sinθ=13×12×(2+4)×2×2sinθ=4sinθ=2 2，
∴sinθ= 22，
∴二面角P−AD−B的正弦值为 22；
(3)在平面POC内，过点O作OE⊥OC，交PC于E，
∵平面POC⊥平面ABC，平面POC∩平面ABC=OC，
∴OE⊥平面ABC，

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，D(−2,0,0)，B(2,2,0)，
由(1)可知∠POC为二面角P−AD−B的平面角，即∠POC=120°，
∴∠POE=30°，由PO=2，可得P(0,−1, 3)，
∴PB=(2,3,− 3),DA=(4,0,0),PA=(2,1,− 3)，
设平面PAD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AD=0m⋅PA=0，即x=0y= 3z，
令z= 3，则y=3，
∴平面PAD的一个法向量为m=(0,3, 3)，
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|cs〈m,PB〉|=|m⋅PB||m|⋅|PB|=|2×0+3×3+(− 3)× 3| 9+3⋅ 4+9+3= 34，
∴csθ= 1−sin2θ= 1−316= 134，
即直线PB与平面PCD所成角的余弦值为 134． 七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z