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2024-2025学年陕西省西安八十五中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年陕西省西安八十五中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若A={−1,0,1}，B={x∈N|−1A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1,2,3}
2.若命题“∃x∈R，使x2+(a+1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. 1≤a≤3B. −1≤a≤1C. −3≤a≤3D. −3≤a≤1
3.已知集合A={x|x=3k−1,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，C={x|x=6k−1,k∈Z}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下面结论中一定正确的是( )
A. c−b∈AB. a−c∈BC. a+b∈CD. a+b+c∈B
4.若x>−3，则2x+1x+3的最小值是( )
A. 2 2+6B. 2 2−6C. 2 2D. 2 2+2
5.下列结论正确的是( )
A. 若a，b∈R，则ba+ab≥2
B. 当x>0时， x+4 x≥4
C. 若x<0，则x+4x≥−4
D. 若x∈R，则 x2+2+1 x2+2的最小值为2
6.已知0A. M>NB. M7.若正数x，y满足x+y=xy，则x+2y的最小值是( )
A. 6B. 3+2 2C. 2+3 2D. 2+2 3
8.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有( )个．
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>0，b>0，则使a>b成立的充要条件是( )
A. a2>b2B. a2b>ab2C. ba>b+1a+1D. a+1b>b+1a
10.若不等式x−2A. a≥2B. a≥1C. 311.下面命题正确的是( )
A. “x>3”是“x>5”的必要不充分条件
B. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
C. 设x,y∈R，则“x+y≥4”是“x≥2且y≥2”的充分不必要条件
D. “x≠1”是“x2−4x+3≠0”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合A={1,2,a}，B={1,a2}，若A∩B=B，则实数a允许取的值有______个.
13.若A={x|y= 4−x2}，B={y|y=x2−2x−3,x∈A}，求A∩B= ______．
14.若正实数x，y满足2x+y+8xy=2，则xy的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(1)已知a(2)证明： a− a−2< a−1− a−3(a≥3)．
16.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1，或x>b}(b>1)．
(1)求a，b的值;
(2)当x>0，y>0，且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
17.已知集合A={x|(x+2)(x−1)<0}，B={x|2x2+(m−2)x−m<0}．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．
18.金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台(x∈N∗)需要另投入成本c(x)(万元)，当年产量x不足45台时，c(x)=13x2+40x−450(万元)；当年产量x不少于45台时，c(x)=61x+3600x+2−1310(万元).经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
19.设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.若a∈R，解关于x的不等式f(x)参考答案
1.C
2.D
3.AB
4.B
5.B
6.A
7.B
8.C
9.ABD
10.ABC
11.ABD
12.3
13.[−2,2]
14.(0,18]
15.证明：(1)由a则(a−c)(b−c)>0，1(a−c)(b−c)>0，
∵a−c又a<0，∴ab−c>aa−c，
即aa−c(2)要证 a− a−2< a−1− a−3，
需要证 a+ a−3< a−1+ a−2，
即证a+(a−3)+2 a(a−3)<(a−1)+(a−2)+2 (a−1)(a−2)，
也就是证 a(a−3)< (a−1)(a−2)，
即证a(a−3)<(a−1)(a−2)，
需证0<2，此式显然成立．
故 a− a−2< a−1− a−3．
16.解：(1)因为不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以1和b是方程ax2−3x+2=0的两个实数根且a>0，
所以1+b=3a1·b=2a，解得a=1b=2;
(2)由(1)知a=1b=2，于是有1x+2y=1，
故2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+yx+4xy⩾4+2 yx·4xy=4+4=8，
当且仅当x=2y=4时，等号成立，
依题意有(2x+y)min≥k2+k+2，即8≥k2+k+2，
得k2+k−6≤0⇒−3≤k≤2，
所以k的取值范围为−3≤k≤2．
17.解：(1)由已知得A={x|−2B={x|2x2+(m−2)x−m<0}={x|(x−1)(2x+m)<0}，
当m=1时，B={x|−12所以A∪B={x|−2(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，
若−m2>1，则B={x|1若−m2=1即m=−2时，B=⌀，符合题意；
若−m2<1，则B={x|−m2所以−2≤−m2<1，
解得−2综上，实数m的取值范围为[−2,4]．
18.解：(1)当0当x≥45，x∈N∗时，y=60x−300−(61x+3600x+2−1310)=−x−3600x+2+1010，
综上可得y=−13x2+20x+15,0(2)当0当x=30时，ymax=450，
当x≥45，x∈N∗时，y=−x−3600x+2+1010=−[(x+2)+3600x+2]+1012≤−2 (x+2)⋅3600x+2+1012=892，
当且仅当x+2=3600x+2时，即x=58时，上式取等号，即ymax=892．
综上，即当年生产58(台)时，该企业年利润的最大值为892(万元)．
19.解：不等式f(x)当a=0时，x<1，
当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)<0，
而−1a<0，解得−1a当a<0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)>0，
当−1a=1，即a=−1时，x∈R，x≠1，
当−1a<1，即a<−1时，x<−1a或x>1，
当−1a>1，即−1−1a，
所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)；
当a>0时，原不等式的解集为(−1a,1)；
当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(−1a,+∞)；
当a<−1时，原不等式的解集为．(−∞,−1a)∪(1,+∞)．
1.若A={−1,0,1}，B={x∈N|−1
2.若命题“∃x∈R，使x2+(a+1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. 1≤a≤3B. −1≤a≤1C. −3≤a≤3D. −3≤a≤1
3.已知集合A={x|x=3k−1,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，C={x|x=6k−1,k∈Z}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下面结论中一定正确的是( )
A. c−b∈AB. a−c∈BC. a+b∈CD. a+b+c∈B
4.若x>−3，则2x+1x+3的最小值是( )
A. 2 2+6B. 2 2−6C. 2 2D. 2 2+2
5.下列结论正确的是( )
A. 若a，b∈R，则ba+ab≥2
B. 当x>0时， x+4 x≥4
C. 若x<0，则x+4x≥−4
D. 若x∈R，则 x2+2+1 x2+2的最小值为2
6.已知0
A. 6B. 3+2 2C. 2+3 2D. 2+2 3
8.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有( )个．
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>0，b>0，则使a>b成立的充要条件是( )
A. a2>b2B. a2b>ab2C. ba>b+1a+1D. a+1b>b+1a
10.若不等式x−2
A. “x>3”是“x>5”的必要不充分条件
B. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
C. 设x,y∈R，则“x+y≥4”是“x≥2且y≥2”的充分不必要条件
D. “x≠1”是“x2−4x+3≠0”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合A={1,2,a}，B={1,a2}，若A∩B=B，则实数a允许取的值有______个.
13.若A={x|y= 4−x2}，B={y|y=x2−2x−3,x∈A}，求A∩B= ______．
14.若正实数x，y满足2x+y+8xy=2，则xy的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(1)已知a
16.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1，或x>b}(b>1)．
(1)求a，b的值;
(2)当x>0，y>0，且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．
17.已知集合A={x|(x+2)(x−1)<0}，B={x|2x2+(m−2)x−m<0}．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．
18.金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台(x∈N∗)需要另投入成本c(x)(万元)，当年产量x不足45台时，c(x)=13x2+40x−450(万元)；当年产量x不少于45台时，c(x)=61x+3600x+2−1310(万元).经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
19.设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.若a∈R，解关于x的不等式f(x)
1.C
2.D
3.AB
4.B
5.B
6.A
7.B
8.C
9.ABD
10.ABC
11.ABD
12.3
13.[−2,2]
14.(0,18]
15.证明：(1)由a
∵a−c
即aa−c
需要证 a+ a−3< a−1+ a−2，
即证a+(a−3)+2 a(a−3)<(a−1)+(a−2)+2 (a−1)(a−2)，
也就是证 a(a−3)< (a−1)(a−2)，
即证a(a−3)<(a−1)(a−2)，
需证0<2，此式显然成立．
故 a− a−2< a−1− a−3．
16.解：(1)因为不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以1和b是方程ax2−3x+2=0的两个实数根且a>0，
所以1+b=3a1·b=2a，解得a=1b=2;
(2)由(1)知a=1b=2，于是有1x+2y=1，
故2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+yx+4xy⩾4+2 yx·4xy=4+4=8，
当且仅当x=2y=4时，等号成立，
依题意有(2x+y)min≥k2+k+2，即8≥k2+k+2，
得k2+k−6≤0⇒−3≤k≤2，
所以k的取值范围为−3≤k≤2．
17.解：(1)由已知得A={x|−2
当m=1时，B={x|−12
若−m2>1，则B={x|1
若−m2<1，则B={x|−m2
解得−2
18.解：(1)当0
综上可得y=−13x2+20x+15,0
当x≥45，x∈N∗时，y=−x−3600x+2+1010=−[(x+2)+3600x+2]+1012≤−2 (x+2)⋅3600x+2+1012=892，
当且仅当x+2=3600x+2时，即x=58时，上式取等号，即ymax=892．
综上，即当年生产58(台)时，该企业年利润的最大值为892(万元)．
19.解：不等式f(x)
当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)<0，
而−1a<0，解得−1a
当−1a=1，即a=−1时，x∈R，x≠1，
当−1a<1，即a<−1时，x<−1a或x>1，
当−1a>1，即−1
所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)；
当a>0时，原不等式的解集为(−1a,1)；
当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(−1a,+∞)；
当a<−1时，原不等式的解集为．(−∞,−1a)∪(1,+∞)．
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