广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷（含答案）

展开

这是一份广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=xx2−1≥0，集合B=xx−1≤0，则∁RA∩B=( )
A. xx≥1B. x−12.已知平面向量m,n满足：m=n=2，且m在n上的投影向量为12n，则向量m与向量n−m的夹角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是( )cm．
A. 5400πB. 90πC. 180πD. 40π
4.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有( )种．
A. 144B. 260C. 320D. 540
5.已知数列an满足an+1=23an+4，且a1=1，则an的通项公式为( )
A. an=12−23n−1B. an=23n+2
C. an=12−11×23n−1D. an=8+23n−1
6.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则BM=( )
A. 12a−12b+cB. 12a+12b+cC. −12a−12b+cD. −12a+12b+c
7.已知Sn是数列bn的前n项和，若1−2x2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025，数列bn的首项b1=a12+a222+a323+⋯+a202522025，bn+1⋅bn=2nn∈N∗，则S2024=( )
A. 3−3⋅21012B. −2−3⋅21012C. −3−21014D. 3−21014
8.已知函数f(x)=lnx−mx2+x，若不等式f(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是( )
A. 2+ln28,3+ln39B. 3+ln39,2+ln24
C. 3+ln39,2+ln24D. 2+ln28,3+ln39
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix=csx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数，i为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是( )
A. 复数eiπ2为纯虚数B. 复数ei3对应的点位于第二象限
C. 复数eiπ3的共轭复数为 32−12iD. 复数eiθθ∈0,π的模长为1
10.已知a，b为正实数，且a>1，b>1，ab−a−b=0，则( )
A. ab的最大值为4B. 2a+b的最小值为3+2 2
C. 1a−1+1b−1的最小值为2D. a+b的最小值为3−2 2
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN=NF，则( )
A. l的斜率为 3B. ▵ABD是锐角三角形
C. 四边形MNDF的面积是 3p2D. BF⋅FA>|FD|2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列an的首项为1，an+1=n+2nan+csnπ,n为奇数an+csnπ,n为偶数，则数列an⋅2an的前2024项和为．
13.已知直线l与双曲线x24−y23=1交于A、B两点，且弦AB的中点为M3,32，则直线l的方程为．
14.一段路上有100个路灯L1,L2,⋯,L100一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个k∈1,2,3,⋯,100，当第k名行人经过时，他将所有下标为k的倍数的路灯Lk,L2k,⋯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有个路灯处于开着的状态．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2b2+c2−a2=sinCsinB．
(1)求A；
(2)若b=4，sinB+csB= 2，求▵ABC的周长．
16.(本小题12分)
足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．常州龙城足球队2024年10月将迎来主场与A队和客场与B队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与A队比赛：胜的概率为23，平的概率为16，负的概率为16；客场与B队比赛：胜的概率为13，平的概率为16，负的概率为12，且两场比赛结果相互独立．
(1)求常州龙城队10月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率；
(2)用X表示常州龙城队10月与A队和B队比赛获得积分之和，求X的分布列与期望．
17.(本小题12分)
如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离．
18.(本小题12分)
已知点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y上，按照如下方法依次构造点Pnn=2,3,4⋯，过点Pn−1作斜率为−1的直线与抛物线C交于另一点Qn−1，令Pn为Qn−1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为xn,yn．
(1)求t的值；
(2)求证：数列xn是等差数列，并求xn,yn；
(3)求▵PnPn+1Pn+2的面积．
19.(本小题12分)
已知fx是定义在区间−1,1上的奇函数，且f1=1，若m、n∈−1,1，m+n≠0时，有fm+fnm+n>0．
(1)证明函数fx在−1,1上单调递增；
(2)解不等式flg2x+12(3)若12fx1−fx2≤t2−2at+1对所有x1，x2∈−1,1，a∈−1,1恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.C
6.D
7.A
8.C
9.ABD
10.BC
11.ABD
12.2023⋅22025+2
13.3x−2y−6=0
14.10
15.解：(1)
在▵ABC中，由正弦定理得sinCsinB=cb．
因为c2b2+c2−a2=sinCsinB，所以c2b2+c2−a2=cb，.
化简得b2+c2−a2=bc．
在▵ABC中，由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12．
又因为0(2)
由sinB+csB= 2，可得sinB+π4=1，
又B∈0,π，所以B+π4∈π4,5π4，得到B+π4=π2，即B=π4，
所以C=π−A−B=5π12，
sinC=sinπ−A−B=sinA+B
=sinAcsB+sinBcsA= 32× 22+12× 22= 2+ 64，又b=4，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，得到asinπ3=4sinπ4=csin5π12，
解得a=2 6，c=2 3+2，
故▵ABC的周长为6+2 6+2 3．

16.解：(1)
设事件A1=“常州龙城队主场与A队比赛获得积分为3分”，
事件A2=“常州龙城队主场与A队比赛获得积分为1分”，
事件A3=“常州龙城队主场与A队比赛获得积分为0分”，
事件B1=“常州龙城队客场与B队比赛获得积分为3分”，
事件B2=“常州龙城队客场与B队比赛获得积分为1分”，
事件B3=“常州龙城队客场与B队比赛获得积分为0分”，
事件C=“常州龙城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分”，
P(A1B2)=23×16=19，
P(A1B3)=23×12=13，
P(A2B3)=16×12=112，
则P(C)=P(A1B2)+P(A1B3)+P(A2B3)=19+13+112=1936，
∴常州龙城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率为1936；
(2)
由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6，
P(X=0)=16×12=112，
P(X=1)=16×12+16×16=436=19，
P(X=2)=16×16=136，
P(X=3)=23×12+16×13=718，
P(X=4)=23×16+16×13=318=16，
P(X=6)=23×13=29，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×112+1×19+2×136+3×718+4×16+6×29=103

17.(1)证明：连接EM，因为 AB//CD ， PQ//CD ，所以 AB//PQ ，
又因为 AB=PQ ，所以四边形PABQ为平行四边形，
因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以 EM//AB 且 EM=AB ，
因为 AB//CD ， CD=2AB ，F为CD的中点，所以 CF//AB 且 CF=AB ，
可得 EM//CF 且 EM=CF ，即四边形EFCM为平行四边形，
所以 EF//MC ，又 EF⊄ 平面MPC， CM⊂ 平面MPC，
所以 EF// 平面MPC．
(2)因为 PD⊥ 平面ABCD， AD⊥CD ，故以D为原点，
分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得 D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(2,1,0) ，
C(0,2,0) ， P(0,0,2) ， Q(0,1,2) ， M(1,1,1) ，
PM=(1,1,−1) ， PQ=(0,1,0) ， CM=(1,−1,1) ， PC=(0,2,−2) ，
设 n=(x,y,z) 为平面PQM的法向量，
则 n⋅PM=x+y−z=0n⋅PQ=y=0 ，不妨设 z=1 ，可得 n=(1,0,1) ，
设 m=(a,b,c) 为平面PMC的法向量，
则 m⋅PC=2b−2c=0m⋅CM=a−b+c=0 ，不妨设 c=1 ，可得 m=(0,1,1) ．
所以 csm,n=m⋅nm⋅n=12 ，
设平面PQM与平面PMC夹角为 θ ，
所以 sinθ=1−122=32 ，
即平面PQM与平面PMC夹角为60° ．
(3)设 QN=λQC(0≤λ≤1) ，即 QN=λQC=(0,λ,−2λ) ，
则 N(0,λ+1,2−2λ) ，从而 DN=(0,λ+1,2−2λ) ．
由(2)知平面PMQ的法向量为 n=(1,0,1) ，
而直线DN与平面PMQ所成的角为 π6 ，
所以 sinπ6=csDN,n=DN⋅nDN⋅n ，
即 12=|2−2λ|(λ+1)2+(2−2λ)2⋅2 ，
整理得 3λ2−10λ+3=0 ，解得 λ=13 或 λ=3 ，
因为 0≤λ≤1 ，
所以 λ=13 ，所以 N0,43,43 ，
NC=(0,2,0)−0,43,43=0,23,−43 ，
由(2)知： m=(0,1,1) 为平面 CPM 的法向量，
故点N到平面CPM的距离为 d=NC·mm=23 2= 23 ．

18.解：(1)
解：因为点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y上，可得(t+1)2=4t，解得t=1．
(2)
证明：由(1)知：P12,1，即x1=2,y1=1，
方法一：因为点Pnxn,yn在抛物线C:x2=4y上，则yn=x n24，且Qn−1−xn,yn，
过Pn−1xn−1,x n−124，且斜率为−1的直线Pn−1Qn−1:y−x n−124=−x−xn−1，
联立方程组y−x n−124=−x−xn−1x2=4y，可得x2+4x−4xn−1−x n−12=0，
解得x=xn−1或x=−xn−1−4，所以−xn=−xn−1−4，可得xn−xn−1=4，
所以数列xn是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以xn=2+4n−1=4n−2，yn=xn24=(4n−2)24=(2n−1)2．
方法二：因为点Pn−1xn−1,yn−1,Pnxn,yn,Qn−1−xn,yn在抛物线C:x2=4y上，
所以x n−12=4yn−1x n2=4yn，两式相减得：xn−1−xnxn−1+xn=4yn−1−yn．
所以：kPn−1Qn=yn−1−ynxn−1+xn=xn−1−xn4=−1可得xn−xn−1=4，
所以数列xn是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以xn=2+4n−1=4n−2，yn=xn24=(4n−2)24=(2n−1)2．
(3)
解：由(2)知：Pn4n−2,(2n−1)2,Pn+14n+2,(2n+1)2,Pn+24n+6,(2n+3)2，
可得梯形TnPnPn+1Tn+1的面积为：STnPnPn+1Tn+1=12TnTn+1TnPn+Pn+1Tn+1
=12(2n+1)2−(2n−1)24n−2+4n+2=32n2
即STnPnPn+1Tn+1=32n2，同理可得STn+1Pn+1Pn+2Tn+2=32(n+1)2，
又由梯形TnPnPn+2Tn+2的面积为：STnPnPn+2Tn+2=12TnTn+2TnPn+Pn+2Tn+2
=12(2n+3)2−(2n−1)24n−2+4n+6=16(2n+1)2，
即STnPnPn+2Tn+2=16(2n+1)2，则▵PnPn+1Pn+2n∈N∗的面积为：
S△PnPn+1Pn+2=STnPnPn+1Tn+1+STn+1Pn+1Pn+2Tn+2−STnPnPn+2Tn+2=32n2+32(n+1)2−16(2n+1)2=16．

19.解：(1)
∀x1,x2∈−1,1,且x1则fx1−fx2=fx1+f−x2=fx1+f−x2x1−x2(x1−x2)，
因为−1≤x1由已知可得fx1+f−x2x1−x2>0，x1−x2<0，
所以fx1−fx2<0，所以fx1所以函数fx在−1,1上单调递增；
(2)
因为 flg2x+12所以−1≤lg2x+12≤1lg2x+12<12，解得0≤x< 2−12，
所以不等式的解集为[0, 2−12)；
(3)
由fx在−1,1上为增函数，所以fxmax=f1=1，fxmin=f−1=−1，
所以12fx1−fx2≤t2−2at+1对所有x1，x2∈−1,1，a∈−1,1恒成立，
等价于t2−2at+1≥1对任意a∈−1,1恒成立，
设g(a)=t2−2at，对∀a∈−1,1，g(a)≥0恒成立，
所以g(−1)=t2+2t≥0g(1)=t2−2t≥0，解得t≥0或t≤−2t≥2或t≤0,
所以t≥2或t≤−2或t=0，
所以实数t的取值范围(−∞,−2]∪{0}∪[2,+∞)．
X
0
1
2
3
4
6
P
112
19
136
718
16
29