甘肃省靖远县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省靖远县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知非空集合,若,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．已知复数,则( )
A.B.C.D.
4．已知,其中,若,则正实数t取值范围( )
A.或B.或C.或D.或
5．已知函数,下列结论正确的是( )
A.函数的减区间
B.函数在上单调递减
C.函数在上单调递增
D.函数的增区间是
6．若,则( )
A.B.C.D.
7．已知正实数x,y满足,则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.8
8．将函数的图象向左平移个单位长度后,再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,若与的图象关于x轴对称,则的一个单调递增区间为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各组函数是同一个函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
10．已知定义在R上的函数满足:对,,,且,则以下结论正确的为( )
A.B.C.D.
11．下列说法正确的是( )
A.至少有一个实数x,使
B.“”是“”的充分不必要条件
C.命题“,”的否定是假命题
D.“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
三、填空题
12．函数的定义域为________.
13．已知,若,使成立,则________.
14．已知定义域为R的函数,且满足,函数,若函数有7个零点,则k的取值范围为________;若方程（）的解为、、、,则的取值范围为________
四、解答题
15．已知函数的图象在点处的切线过点.
（1）求实数a的值;
（2）求的单调区间和极值.
16．已知函数是定义在上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）判断函数在上的单调性,并用定义证明;
（3）求函数在上的值域.
17．在园林博览会上,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放市场,已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一台需另投入90元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完,每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式:.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大,并求出最大利润.
18．在三棱柱中,侧面平面ABC,,,侧面为菱形,且,D为中点.
（1）证明:平面;
（2）求二面角的余弦值.
19．已知二次函数
（1）若的解集为,解关于x的不等式;
（2）若且,求的最小值;
（3）若,且对任意,不等式恒成立,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由集合或,
所以,可得.
故选:B.
2．答案：D
解析：根据题意,,
因为,所以,则,
所以.
故选:D
3．答案：B
解析：根据题意,,
则.
故选:B
4．答案：A
解析：令,解得,
当时,,,即,且,解得;
当时,,,即,且,解得,
当时,,,而t为正实数,则此种情况无解,
所以正实数t的取值范围为或.
故选:A
5．答案：C
解析：由,作出函数的图象,
利用图象的变换可得,如图所示:
所以函数在和上单调递减,在和上单调递增.
故选:C.
6．答案：C
解析：若,且,
函数在R上为减函数,,则,
函数在R上为减函数,有,
函数在上为增函数,,
可得.
故选:C.
7．答案：C
解析：因为x,y为正实数,且,所以,
当且仅当时取等号.
故选:C
8．答案：C
解析：由题意可得,
由于与的图象关于x轴对称,所以,
令,,解得,,
取,则,
故选:C
9．答案：AC
解析：对A:只是用不同的字母表示变量,所以是同一个函数,故A正确;
对B:因为函数的定义域为,函数的定义域为R,所以与不是同一个函数,故B错误;
对C:函数与的定义域都是,对应关系一样,故它们是同一个函数,故C正确;
对D:函数的定义域是:,函数的定义域是:,定义域不一致,所以它们不是同一个函数,故D错误.
故选:AC
10．答案：ACD
解析：因为定义域为R的函数,有,
令,则,又,
所以,故A正确;
令,则,
所以,故B错误;
令,则,
得到,,
所以是偶函数,C正确;
取,
则
所以,则,D正确.
故选:ACD.
11．答案：BD
解析：对于A,在实数范围内,,,故A错误;
对于B,若,则,充分性成立,
若,如,,此时,必要性不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件,故B正确;
对于C,命题“,”的否定是,,
由二次函数的性质可得开口向上,,所以恒成立,故C错误;
对于D,若集合中只有一个元素,
当时,;当时,可得,
所以必要性成立,故D正确;
故选:BD.
12．答案：
解析：由对数函数的性质可得,
故答案为:.
13．答案：
解析：由可得,,
设,.
依题意,,而,故,
由,可得,,
又由可得,,
因,则,
,故,解得,.
故答案为:.
14．答案：,
解析：因为,所以函数为奇函数,函数的图象如图所示,
有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点,
当直线与相切时,
则的判别式即（负值舍去）,
此时切点横坐标为,
当直线过时,,
结合下图可得当于函数与有7个交点,.
若方程（）有四个不同的解,
由题意及图象知,,
由题意,
,
,即,
,,
又,,
因为在上均为单调递增,
故在上单调递增,
,.
故答案为:,.
15．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由已知得,
则,又,
所以的图象在点处的切线方程为,
将点代入得,解得.
（2）所以,定义域为,
所以,
令,,则,
易得在上恒成立,所以在上单调递增,
又,所以当时,,即,在上单调递减,
当时,,即,在上单调递增,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值
16．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）函数是定义在上的奇函数,
则,即有,
且,则,解得,
则函数的解析式:,,
因为满足,所以是奇函数,
即.
（2）证明:设任意m,n满足,
则,
由于,则,,即,
又,
则有,即,
则在上是增函数.
（3）由（2）知,函数在上是增函数,
所以,即,
所以函数在上的值域为.
17．答案：（1）
（2）20,1350
解析：（1）因为,
所以;
（2）当时,,
由函数性质可知当时单调递增,所以当时,,
当时,,
由不等式性质可知,
当且仅当,即时,等号成立,所以,
综上当时,.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）根据题意,即,
又侧面平面ABC,面平面,平面ABC,
所以面,而面,所以,
侧面为菱形,D为中点,所以,
,、平面,
所以平面;
（2）取中点E,连接CE,则,而,所以,
又侧面平面ABC,面平面,平面,
所以面ABC,
以点C为原点,分别以CB,CA,CE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
由题知,,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
则有,取,得,
设平面的法向量为,
则有,取,得,
设二面角的夹角为,
则,
即二面角的余弦值为.
19．答案：（1）不等式的解集为.
（2）的最小值为;
（3）的最小值为.
解析：（1）由已知的解集为,且,
所以是方程的解,
所以,,
所以,,
所以不等式可化为,
所以,
故不等式的解集为.
（2）因为,
所以
因为,所以,
由基本不等式可得,
当且仅当时等号成立,
即当且仅当,时等号成立;
所以的最小值为;
（3）因为对任意,不等式恒成立,
所以,,
所以,,
,
令,则,,
所以,
当且仅当,时等号成立,
即当且仅当,时等号成立,
所以的最小值为8.