济宁市第十四中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学统考模拟试题【含答案】

这是一份济宁市第十四中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学统考模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，，，则EF的长是
A．1B．2C．3D．4
2、（4分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）
A．3B．4C．5D．6
3、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE的延长线相交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4、（4分）某中学书法兴趣小组10名成员的年龄情况如下表：
则该小组成员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．16，15C．15，17D．14，15
5、（4分）甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2s，方差如下表：
则这四人中发挥最稳定的是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
6、（4分）小强同学投掷 30 次实心球的成绩如下表所示：
由上表可知小强同学投掷 30 次实心球成绩的众数与中位数分别是（ ）
A．12m，11.9mB．12m，12.1mC．12.1m，11.9mD．12.1m，12m
7、（4分）在平面直角坐标系中，把点A(1，﹣5)向上平移3个单位后的坐标是( ).
A．(1，-2)B．(1，-8)C．(4，-5)D．(-2，-5)
8、（4分）下列曲线中能表示是的函数的是( )
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，则AB的长为______．
10、（4分）如图,△ABO的面积为3,且AO=AB,反比例函数y= 的图象经过点A，则k的值为___.
11、（4分）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是_________．
12、（4分）若点在一次函数的图像上，则代数式的值________。
13、（4分）如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在“6.26”国际禁毒日到来之际，为了普及禁毒知识，提高市民禁毒意识，某区发放了一批“关爱生命，拒绝毒品”的宣传资料．据统计，甲小区共收到宣传资料350份，乙小区共收到宣传资料100份，甲小区住户比乙小区住户的3倍多25户，若两小区每户平均收到资料的数量相同．求这两小区各有多少户住户？
15、（8分）已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
(1)如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
(2)连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
16、（8分）阅读材料：在实数范围内，当且时 ，我们由非负数的性质知道，所以， 即:，当且仅当=时，等号成立，这就是数学上有名的“均值不等式”，若与的积为定值. 则有最小值:请问： 若 ， 则当取何值时，代数式取最小值？ 最小值是多少？
17、（10分）某学校计划在总费用元的限额内，租用汽车送名学生和名教师集体参加校外实践活动，为确保安全，每辆汽车上至少要有名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．
（1）根据题干所提供的信息，确定共需租用多少辆汽车？
（2）请你给学校选择一种最节省费用的租车方案．
18、（10分）如图，，，.求证：四边形是平行四边形.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长为_____．
20、（4分）点D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长是16，则△DEF的周长是_____．
21、（4分）已知 ，则 y x 的值为_____．
22、（4分）已知，则的值是_____________．
23、（4分）函数y=中自变量x的取值范围是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值：，其中x=-1．
25、（10分）如图，在矩形中，.
(1)请用尺规作图法，在矩形中作出以为对角线的菱形，且点分别在上.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求菱形的边长.
26、（12分）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，易得与是等腰三角形，继而求得，则可求得答案．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
、BE分别是、的平分线，
，，
，，
，，
．
故选：B．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得与是等腰三角形是关键．
2、C
【解析】
先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8-x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【详解】
解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，
设DE=x，则AE=8-x，
∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，
∴∠ABE=∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE=DE=x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得：x=1，
∴DE的长为1．
故选C．
本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
3、B
【解析】
根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠BEA=∠EAD，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠BEA，
∴∠EAD=∠ABE，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE＝∠EAD＝60°，
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD＝S△ABC，
∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC＝S△DEC，
∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．
若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，
∵△ABE是等边三角形，
∴AG=EH，
若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
综上所述：正确的有①②⑤．
故选：B．
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．
4、A
【解析】
10名成员的年龄中，15岁的人数最多，因此众数是15岁，从小到大排列后，处在第5，6位两个数的平均数是15岁，因此中位数是15岁.
【详解】
解：15岁出现的次数最多，是4次，因此众数是15岁，从小到大排列后处在第5、6位的都是15，因此中位数是15岁.
故选：A.
本题考查中位数、众数的意义及求法，出现次数最多的数是众数，从小到大排列后处在中间位置的一个或两个数的平均数是中位数.
5、B
【解析】
分析：根据方差的意义解答．
详解：从方差看，乙的方差最小，发挥最稳定.
故选B.
点睛：考查方差的意义，方差越小，成绩越稳定.
6、D
【解析】
根据众数和中位数的定义分别进行判断即得答案.
【详解】
解：由表可知：12.1出现了10次，出现的次数最多，所以小强同学投掷 30 次实心球成绩的众数是12.1m，把这些数从小到大排列，最中间的第15、16个数是12、12，则中位数是（m），故选D.
本题考查众数和中位数的概念，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，而中位数是指将一组数据按从小（大）到大（小）的顺序排列起来，位于最中间的数（或最中间两个数的平均数）. 具体判断时，切勿将表中的“成绩”与“频数”混淆，从而做出错误判断.
7、A
【解析】
让横坐标不变，纵坐标加3可得到所求点的坐标．
【详解】
∵-5+3=-2，
∴平移后的坐标是（1，-2），
故选A．
本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
8、D
【解析】
根据函数的定义,每一个自变量x都有唯一的y值和它对应即可解题.
【详解】
解：由函数的定义可知,x与y的对应关系应该是一对一的关系或多对一的关系,据此排除A,B,C,
故选D.
本题考查了函数的定义,属于简单题,熟悉函数定义的对应关系是解题关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
分析：找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，进而可求出AB的值．
详解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）
在Rt△ADE中，DE=，
∴AD1=4，
∴AD=AB=1．
点睛：本题主要考查轴对称-最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键，此题是道比较不错的习题．
10、1
【解析】
过点A作OB的垂线，垂足为点C，根据等腰三角形的性质得OC=BC，再根据三角形的面积公式得到 OB•AC=1，易得OC•AC=1，设A点坐标为（x，y），即可得到k=xy=OC•AC=1．
【详解】
过点A作OB的垂线，垂足为点C，如图，
∵AO=AB，
∴OC=BC=OB，
∵△ABO的面积为1，
∴OB⋅AC=1，
∴OC⋅AC=1.
设A点坐标为(x,y),而点A在反比例函数y= (k>0)的图象上，
∴k=xy=OC⋅AC=1.
故答案为：1.
此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线.
11、
【解析】
弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．
【详解】
解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
12、10
【解析】
先把点带入一次函数求出的值，再代入代数式进行计算即可.
【详解】
∵点在一次函数上，
∴，即，
∴原式＝＝＝10.
此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点以及代数式求值的问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式，并且熟练进行有理数的混合计算.
13、10cm
【解析】
将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，从而求出解题中的AC，连接AB，根据两点之间线段最短可得小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长，然后根据勾股定理即可求出结论．
【详解】
解：将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，如下图所示：AC=1．5×4=6cm，连接AB，根据两点之间线段最短，
∴小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长
∵圆柱体的高为8cm，
∴BC=8cm
在Rt△ABC中，AB=cm
故答案为：10cm．
此题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，将圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短即可找出最短路径，然后利用勾股定理求值是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、甲小区住户有175户，乙小区住户有50户
【解析】
设乙小区住户为x户，则甲小区住户有：（3x+25）户，根据每户平均收到资料的数量相同，列出方程，解答即可.
【详解】
解：设乙小区住户为x户，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴甲小区住户，
所以，甲小区住户有175户，乙小区住户有50户．
本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找到题目中的关系，列出分式方程.
15、（1）①见解析，②∠PCE=30°；（2）AG+EG+DG的最小值为1．
【解析】
(1)①先判断出△ABC等边三角形，得出∠ABC=60°，再由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，即可得出结论．
②先用勾股定理的逆定理判断出△ACP是直角三角形，得出∠APC=90°，进而判断出∠PBE+∠PCE=90°，即可得出结论；
(2)先判断出△G'DG是等边三角形，得出GG'=DG，即：AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'得出当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即可得出结论．
【详解】
解：(1)①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，
∵AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由旋转知BP=BE，∠CBE=∠ABP
∴∠CBE＋∠PBC=∠ABP＋∠PBC
∴∠PBE=∠ABC=60°，
∴△PBE是等边三角形；
②由①知AB=BC=1
∵由旋转知△ABP≌△CBE，
∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，
∵AP2+PC2=42+32=21=AC2，
∴△ACP是直角三角形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠BPC=270°，
∵∠APB=∠CEB，
∴∠CEB+∠BPC=270°，
∴∠PBE+∠PCE=360°－（∠CEB+∠BPC）=90°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠PCE=90°-60°=30°；
(2)如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，
由旋转知△ADG≌△A'DG'，
∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，
∵∠G'DG=60°，G'D=GD，
∴△G'DG是等边三角形，
∴GG'=DG，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'
∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，
即AG+EG+DG的值最小，
∵∠A'DA=60°，∠ADE=∠ADC=30°，
∴∠A'DE=90°，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E==1，
∴AG+EG+DG的最小值为1．
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，旋转的性质，判断出点A'，G'，G，E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，是解本题的关键．
16、x=2时，最小值是1．
【解析】
先提公因式，再根据“均值不等式”的性质计算．
【详解】
根据题意得：x= ，
解得，x1=2，x2=-2（舍去），
则当x=2时，代数式2x+取最小值，最小值是1．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、“均值不等式”的概念是解题的关键．
17、（1）确定共需租用6辆汽车；（2）最节省费用的租车方案是租用甲种客车辆，乙种客车辆．
【解析】
（1）首先根据总人数个车座确定租用的汽车数量，关键要注意每辆汽车上至少要有名教师.
（2）根据题意设租用甲种客车辆，共需费用元，则租用乙种客车辆，因此可列出方程，再利用不等式列出不等式组，即可解得x的范围，在分类计算费用，选择较便宜的.
【详解】
解：（1）由使名学生和名教师都有座位，租用汽车辆数必需不小于辆；每辆汽车上至少要有名教师，租用汽车辆数必需不大于6辆．
所以，根据题干所提供的信息，确定共需租用6辆汽车．
（2）设租用甲种客车辆，共需费用元，则租用乙种客车辆．
6辆汽车载客人数为人
=
∴
解得
∴，或
当时，甲种客车辆，乙种客车辆，
当时，甲种客车辆，乙种客车辆，
∴最节省费用的租车方案是租用甲种客车辆，乙种客车辆．
本题主要考查不等式组的应用问题，关键在于根据题意设出合理的未知数，特别注意，要取整数解，确定利润最小.
18、证明见解析.
【解析】
由题意可证∠MON=90°=∠PMO，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得PM=ON，OP=MN，即结论可证．
【详解】
在中，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，
由勾股定理可得，即，
解得，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
本题考查了平行四边形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明∠MON=90°是本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
利用直角三角形30度角的性质，可得AC=2AD=1．
【详解】
解：在矩形ABCD中，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOD=60°，
∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°，
又∵∠ADC=90°，
∴AC=2AD=2×2=1．
故答案为1．
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键
20、1．
【解析】
据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．
【详解】
如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DFBC，FEAB，DEAC，∴DF+FE+DEBCABAC（AB+BC+CA）16＝1．
故答案为：1．
本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．
21、-1
【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数列不等式组解得x值，将x代入原式解得y值，即可求解．
【详解】
要使有意义，则：
，解得：x=1，代入原式中，
得：y=﹣1，
∴yx=（-1）1=-1，
故答案为：-1．
本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、幂的乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解答的关键．
22、7
【解析】
把已知条件两个平方，根据完全平方公式展开整理即可得解；
【详解】
解：；
本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握公式的特点是解题的关键
23、x⩽2且x≠−1.
【解析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
由题意得，2−x⩾0且x+1≠0，
解得x⩽2且x≠−1.
故答案为：x⩽2且x≠−1.
此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握各性质定义.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、，
【解析】
先根据分式的运算进行化简，再代入x即可求解．
【详解】
=
=
=
把x=-1代入原式==．
25、 (1)见解析；(2)菱形的边长为.
【解析】
（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，点E、F即为所求的点；
（2）设ED=x，则BE=x，AE=5-x，在Rt△ABE中利用勾股定理可以算出x的值即可.
【详解】
（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，连接BE，DF即可，如图，菱形即为所求.
(2)设的长为，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得，即菱形的边长为.
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是正确画出图形，熟练掌握菱形的判定方法．
26、（1）45°，y＝﹣x+1；（2）（0，）．
【解析】
（1）根据A、B的坐标和三角形的内角和定理求出∠OAB的度数即可；设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）推出三角形AOB和三角形ACE的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线AB的解析式，求出E的横坐标，设直线CE的解析式是：y＝mx+n，利用待定系数法求出直线EC的解析式，进而即可求得点D的坐标．
【详解】
解：（1）∵OB＝OC＝OA，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°；
∵B（0，1），
∴A（1，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∴
解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵S△COD＝S△BDE，
∴S△COD+S四边形AODE＝S△BDE+S四边形AODE，
即S△ACE＝S△AOB，
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且yE＞0，
∴
∴

把y代入直线AB的解析式得：
∴
设直线CE的解析式是：y＝mx+n，
∵ 代入得：
解得：
∴直线CE的解析式为
令x＝0，则
∴D的坐标为
本题考查了等腰三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强，但难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
年龄/岁
14
15
16
17
人数
3
4
2
1
选手
甲
乙
丙
丁
方差(s2)
0.020
0.019
0.021
0.022