吉林省珲春市第二高级中学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

这是一份吉林省珲春市第二高级中学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的大致区间的
A．B．C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．1
6．已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，求（ ）
A．0B．C．D．120
8．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知函数的定义域是，则的定义域是
13．已知，且，则的最小值为 ．
14．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．已知集合、集合（）.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
17．为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
(1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.
附：，其中.
若，则，.
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：的极小值不大于1.
19．对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.
男学生
女学生
合计
喜欢跳绳
35
35
70
不喜欢跳绳
10
20
30
合计
45
55
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．B
【分析】由补集的运算即可求解.
【详解】解：，
，
故选：B．
2．A
【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
3．B
【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.
【详解】函数 ,在x>0上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间.
4．A
【分析】根据对数函数，指数函数，三角函数的单调性比较与1和0的大小关系，即可得出答案.
【详解】，即，
，即，
，即，
则．
故选：A.
5．D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，，所以.
故选：D
6．A
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得.
【详解】函数是上的增函数，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
7．B
【分析】令，则，求导后赋值即可.
【详解】令，则，两边求导得到，令，得到.
故选：B.
8．C
【分析】首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】因为，所以，
当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，
故的大致图象如图所示：

关于的方程等价于，
即或，
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故选:C.
9．ACD
【分析】根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，，得，而，则，B错误；
对于C，函数在上单调递增，，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
10．ABC
【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，
且幂函数在上是减函数，故A正确；
B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，
且，则其在上单调递减，故B正确；
C选项中，设，其定义域为，则，
故是偶函数，且函数在上单调递减,
函数在定义域上为增函数，
所以在 上单调递减,故C正确；
D选项中，设，是，
且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.
故选：ABC.
11．AC
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.
【详解】由，令，则，
又为偶函数，则，A对；
由上，得①，
在①式，将代换，得②，B错；
在②式，将代换，得，C对；
由且，即周期为2且关于对称，
显然是满足题设的一个函数，此时，D错.
故选：AC
12．
【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数的定义域是，得，则，
由，解得，
所以的定义域是.
故答案为：
13．
【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可.
【详解】由于，因此，
则，
当且仅当时取等号．
故答案为：.
14．
【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
所以，两边同时求导可得，即且，
又因为当时，，所以.
构造函数，则，
所以当时，在上单调递增，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
又因为，所以在上大于零，在上小于零，
因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，
综上所述，的解集为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16．(1)
(2)．
【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
又
因此是以为首项，1为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
又由，
得，，
当时，经检验也满足，
∴．
（2）．因此
．
17．(1)不能
(2)人
【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断；
（2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据
【详解】（1）：学生的性别和是否喜欢运动无关.
，
所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
（2）训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，
则，，，
即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，
，
由（人）
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）讨论、，利用导数研究的单调性即可；
（2）利用导数研究的单调性，可得极值，构造且，应用导数研究其最值，即可证结论.
【详解】（1）由，
当，则，即在定义域上递增；
当，令，则，
当，，即递增；
当，，即递减；
此时在上递减，在上递增.
（2）由题设且，则，
若，则，故在上递增，
当趋向于时，趋向负无穷，当趋向于正无穷时，趋向正无穷，
所以，使，即，
所以，在上，递减；在上，递增；
故的极小值，
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，故，得证.
【点睛】关键点睛：第二问，利用导数研究单调性，且使，得到极值，再构造函数研究最值为关键.
19．(1) 对于任意有为位差奇函数, 不存在有为位差奇函数.(2) ;(3)
【分析】(1)根据题意计算与,判断为奇函数的条件即可.
(2)根据是位差值为的位差奇函数可得为R上的奇函数计算的值即可.
(3)计算为奇函数时满足的关系,再根据对于任意都不是位差值为m的位差奇函数求解恒不成立问题即可.
【详解】(1)由,所以为奇函数.
故对于任意有为位差奇函数.
又,设.
此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数.
(2) 由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数.
即,.
(3)设
.由题意对任意的均不恒成立.
此时
即对任意的不恒成立.
故在无解.又,故.
故
【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
A
D
A
B
C
ACD
ABC
题号
11









答案
AC