黑龙江省哈尔滨市顺迈2025届数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】

这是一份黑龙江省哈尔滨市顺迈2025届数学九年级第一学期开学联考模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，直线y＝kx和y＝ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为（ ）
A．1＜x＜B．1＜x＜3C．﹣＜x＜1D．＜x＜3
2、（4分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（ ）
A．7B．8C．7D．7
3、（4分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=6，AC=4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
4、（4分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直
5、（4分）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形M、N，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图（1）中的图形M平移后位置如图（2）所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
6、（4分）若分式 的值为0，则的值等于
A．0B．3C．-3D．3
7、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．有两对邻角互补的四边形是平行四边形
8、（4分）一个直角三角形的两边长分别为2和，则第三边的长为( )
A．1B．2C．D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）二次根式的值是________．
10、（4分）若一次函数y=(m-1)x-m的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是______．
11、（4分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，有以下四个结论①MN∥BC；②MN=AM；③四边形MNCB是矩形；④四边形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．
12、（4分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
13、（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的中点，若CD=5cm，则AB=_____________cm.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知为原点，点及在第一象限的动点，且，设的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）求的取值范围；
（3）当时，求点坐标；
（4）画出函数的图象.
15、（8分）乙知关于的方程.
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数很；
（2）如果方程有一个根为, 试求的值.
16、（8分）先化简÷，然后从1、2、3中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
17、（10分）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直线上，若，则四边形是半对角四边形．
（1）如图1，已知，，，若直线，之间的距离为，则AB的长是____，CD的长是______；
（2）如图2，点是矩形的边上一点，，．若四边形为半对角四边形，求的长；
（3）如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．
①求证：四边形是半对角四边形；
②当，时，将四边形向右平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图象上，求的值．
18、（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．
（1）求证：∠AFD=∠EBC；
（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为_____．
20、（4分）分式方程有增根，则m＝_____________．
21、（4分）如图，四边形ABCD为菱形，∠D=60°，AB=4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为____________．
22、（4分）一次函数图象经过一、三、四象限，则反比例函数的函数值随的增大而__________．（填增大或减小）
23、（4分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F．易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为
25、（10分）（1） [探索发现]正方形中,是对角线上的一个动点(与点不重合),过点作交线段于点．求证:
小玲想到的思路是:过点作于点于点,通过证明得到．请按小玲的思路写出证明过程
（2）[应用拓展]如图2,在的条件下，设正方形的边长为,过点作交于点．求的长．
26、（12分）如图，若在△ABC 的外部作正方形 ABEF 和正方形 ACGH， 求证：△ABC 的高线 AD 平分线段 FH
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
把A（1，k）代入y=ax+4得a=k-4，则解不等式kx-4＜ax+4得x＜，再结合图象得到x＞1时，ax+4＜kx，从而得到不等式kx-6＜ax+4＜kx的解集．
【详解】
解：把A（1，k）代入y＝ax+4得k＝a+4，则a＝k﹣4，
解不等式kx﹣4＜ax+4得x＜，
而当x＞1时，ax+4＜kx，
所以不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为1＜x＜．
故选A．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
2、C
【解析】
12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值．
【详解】
∵AE=5，BE=12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=12-5=7，
∴EF=；
故选C．
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
3、B
【解析】
∵点，分别是边，的中点，
.故选B.
4、C
【解析】
矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．
【详解】
A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；
B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；
C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确
D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，
故选C．
本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.
5、B
【解析】
根据平移前后图形M中某一个对应顶点的位置变化情况进行判断即可．
【详解】
由图（1）可知，图M先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得题图（2），
故选B
本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．
6、C
【解析】
根据分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴x2−9＝0，x−1≠0，
解得：x＝−1．
故选：C．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确记忆分子与分母的关系是解题关键．
7、C
【解析】
由平行四边形的判定和性质，依次判断可求解．
【详解】
解：A、平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故A选项不合题意；
B、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故B选项不合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项符合题意；
D、有两对邻角互补的四边形可能是等腰梯形，故D选项不合题意；
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
8、C
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边.
【详解】
当2和均为直角边时,第三边=；
当2为斜边, 为直角边,则第三边=，
故第三边的长为或
故选C.
此题考查勾股定理，解题关键在于分类讨论第三条边的情况.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据二次根式的性质进行化简即可得解.
【详解】
=|-1|=1.
故答案为：-1.
此题主要考查了二次根式的化简，注意：.
10、0＜＜1
【解析】
一次函数y=（m-1）x-m的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数m-1是负数，-m是负数，即可求得m的范围．
【详解】
根据题意得：，
解得：0＜m＜1，
故答案为：0＜m＜1．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
11、①②④
【解析】
根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；证明四边形AMND是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA，进而可证出四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠NMA，
∴∠B=∠NMA，
∴MN∥BC；①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN∥AM，AD∥BC，
∵MN∥BC，
∴AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，
根据折叠可得AM=DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN=AM；②④正确；
没有条件证出∠B=90°，④错误；
故答案为①②④．
本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键．
12、1
【解析】
因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故 ，代入求解即可.
【详解】
根据题意可得： 解得：m=1
故答案为：1
本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与方程的根的关系是关键.
13、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=5cm，
∴AB=2CD=1cm．
故答案是：1．
本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）S＝−4x＋48；（2）0＜x＜12；（3）P（1，3）；（4）见解析.
【解析】
（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据（1）中函数关系式及点P在第一象限即可得出结论；
（3）把S＝12代入（1）中函数关系即可得出x的值，进而得出y的值；
（4）利用描点法画出函数图象即可．
【详解】
解：（1）∵A点和P点的坐标分别是（8，0）、（x，y），
∴S＝×8×y＝4y．
∵x＋y＝12，
∴y＝12−x．
∴S＝4（12−x）＝48−4x，
∴所求的函数关系式为：S＝−4x＋48；
（2）由（1）得S＝−4x＋48＞0，
解得：x＜12；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
综上可得x的取值范围为：0＜x＜12；
（3）∵S＝12，
∴−4x＋48＝12，
解得x＝1．
∵x＋y＝12，
∴y＝12−1＝3，
即P（1，3）；
（4）∵函数解析式为S＝−4x＋48，
∴函数图象是经过点（12，0）（0，48）但不包括这两点的线段．
所画图象如图：
本题考查的是一次函数的应用，根据题意得到函数关系式，并熟知一次函数的图象和性质是解答此题的关键．
15、（1）详见解析；（2）2003
【解析】
（1）由△=（2k）2-4×1×（k2-1）=4＞0可得答案；
（2）将x=3代入方程得k2+6k=-8，代入原式计算可得．
【详解】
解：（1），
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）因为方程有一个根为，
，即
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△=0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
16、， 1.
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
原式=×=×=
要使原分式有意义，故a=3，∴当a=3 时，原式=1．
17、（1）2；；（2）AD=3；（3）①证明见解析；②的值为为或．
【解析】
（1）过点作于点，过点作于点，通过解直角三角形可求出，的长；
（2）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长；
（3）①由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形；
②由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑：利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值；同可求出值．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）如图1，过点作于点，过点作于点．
，
，．
在中，；
在中，．
故答案为：2；．
（2）如图2，
四边形为半对角四边形，
，
，
，
．
（3）如图3，
①证明四边形为平行四边形，
，，
，
．
又，
四边形是半对角四边形；
②由题意，可知：点的坐标为，，点的坐标为，，点的坐标为．
当点，向右平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，
；
当点，向右平移个单位后落在反比例函数的图象上时，
，
解得：，
．
综上所述：的值为为或．
本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出，的长；（2）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（3）①利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；②分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值．
18、 (1)见解析;(2) ∠EFB=30°或120°.
【解析】
（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；
（2）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，
在△DCE和△BCE中
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠AFD，
∴∠EBC=∠AFD.
（2）分两种情况,
①如图1，当F在AB延长线上时，
∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，
可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°.
②如图2，当F在线段AB上时，
∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，
可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°．
综上：∠EFB=30°或120°．
此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、6
【解析】
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝6，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴
故答案为：
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
20、1
【解析】
分式方程去分母得：x+x﹣1=m， 根据分式方程有增根得到x﹣1=0，即x=1，
将x=1代入整式方程得：1+1﹣1=m，
则m=1，
故答案为1．
21、1
【解析】
作辅助线，构建三角形全等，证明Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），得∠AFM=∠EFN，再证明△AEF是等边三角形，计算FG=AG=AE，确认当AE⊥BC时，即AE=2时，FG最小．
【详解】
解：连接AC，过点F作FM⊥AC于，作FN⊥BC于N，连接AF、EF，
∵四边形ABCD是菱形，且∠D=60°，
∴∠B=∠D=60°，AD∥BC，
∴∠FCN=∠D=60°=∠FCM，
∴FM=FN，
∵FG垂直平分AE，
∴AF=EF，
∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），
∴∠AFM=∠EFN，
∴∠AFE=∠MFN，
∵∠FMC=∠FNC=90°，∠MCN=120°，
∴∠MFN=60°，
∴∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴FG=AG=AE，
∴当AE⊥BC时，Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=10°，
∵AB=4，
∴BE=2，AE=2，
∴当AE⊥BC时，即AE=2时，FG最小，最小为1；
故答案为1．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的性质和判定，垂线段的性质等知识，本题有难度，证明△AEF是等边三角形是本题的关键．
22、增大
【解析】
根据一次函数图象经过一、三、四象限，可以得出>0，b<0，则反比例函数的系数，结合x>0即可得到结论．
【详解】
∵一次函数图象经过一、三、四象限，
∴>0，b<0，
∴，
∴又x>0，
∴反比例函数图象在第四象限，且y随着x的增大而增大，
故答案为：增大．
本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键．
23、x≥1
【解析】
直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】
由题意可得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、探究：证明见详解；应用：
【解析】
探究：根据正方形的性质得到AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．求得∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，求得∠EFB=∠EDC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
应用：连接DF，求得△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CF=，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：探究：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵EC=EC，
∴△EDC≌△EBC（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°
又∵∠EBC+∠EBF=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF；
应用：连接DF，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF＝2，DF＝ ，
∵∠DCB=90°，CD=1，
∴CF=，
∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF= ．
故答案为：．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
25、（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．
【详解】
证明:过点作于点，于点
是对角线上的动点
，
∠GPC+∠CPE= 90°
（2）连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP=90°．
∵PE⊥PB即∠BPE=90°，
∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF．
∵EF⊥PC即∠PFE=90°，
∴∠BOP=∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO=PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴BC=OB．
∵BC=2，
∴OB=，
∴PF=．
本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
26、见解析.
【解析】
从H作HQ⊥AD于Q,从F作FP⊥AD于P，分别证明△ADC≌△QAH，△ABD≌△FAP得出FP=QH，证明△FMP≌△HMQ，得出FM=MH，从而得出结论.
【详解】
从H作HQ⊥AD于Q,从F作FP⊥AD于P,
∵ACGH为正方形
∴∠QAH+∠DAC=90°， AH=AC，
∵AD为△ABC的高线
∴∠ADC=90°，∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠QAH=∠DCA
∵HQ⊥AD
∵ ∠AQH=90°，
∴∠AQH=∠ADC
∵AH=AC，∠QAH=∠DCA，∠AQH=∠ADC
∴△ADC≌△QAH
∴QH=AD,
同理可证,△ABD≌△FAP,
∴FP=AD，
∴QH= FP，
又∵∠FPM=∠AQH=90°，∠FMP=∠QMH
∴△FMP≌△HMQ，
∴FM=MH，
∴△ABC的高线AD所在直线平分线段FH
本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质.要证明两条线段全等，如果这两条线段在同一个三角形中，常用等角对等边去证明；如果这两条线段不在同一三角形中，那么一般要证明它们所在的三角形全等，如果不存在这样的三角形，那么就要辅助线，构造全等三角形.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人