广东省深圳市龙岗区知新学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份广东省深圳市龙岗区知新学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣4x+5＝0
C． +x﹣2＝0D．（x﹣1）2+y2＝3
2．（3分）关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2B．0C．2或﹣2D．﹣2
3．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，配方后可变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝17B．（x﹣4）2＝18C．（x﹣8）2＝1D．（x﹣4）2＝1
4．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当∠A＝60°时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AB＝BC，AC＝BD时，它是正方形
5．（3分）国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
6．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
7．（3分）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．12×9﹣4×9x＝70B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
8．（3分）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计W的概率P（W）的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022+2a﹣2b的值为 ．
10．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球 ．
11．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根x1、x2，点A（x1+x2，x1x2）在第 象限．
12．（3分）某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形的边长为25厘米．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°；校门部分打开时，每个菱形原120°的角缩小为60°．则校门打开了 cm．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
三、解答题
14．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．
15．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2．
16．（8分）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容．某校为加强家政学习，倡议学生在家帮助父母做力所能及的家务，某调查小组随机抽取本校部分学生进行调查，调查问卷如表所示，并绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人；
（2）补全条形统计图：并估计该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数；
（3）学校准备从做家务表现突出的4人中评选2名学生授予“家务能手”称号，这4人中有2名男生，2名女生，请用画树状图或列表法求出授予称号的2名学生恰好都是女生的概率．
17．（8分）盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次．
（1）求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，点E，F是线段BD上的点，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB＝4，当AD的长为何值时，▱AECF为菱形？并说明理由．
19．（12分）材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）；
材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ ．
②已知实数a，b满足：a2+4a﹣3＝0，b2+4b﹣3＝0（a≠b），则＝ ．
（2）已知实数m、n、t满足：m2﹣4m＝11+t，n2﹣4n＝11+t，且0＜m＜n，求（m+1）（n+1）的取值范围．
20．（12分）在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：
【提出问题】
（1）如图1，在△ABC中，E是BC的中点，P是AE的中点，就称CP是△ABC的“双中线”，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．则CP＝ ．
【探究规律】
（2）在图2中，E是正方形ABCD一边上的中点，P是BE上的中点，则称AP是正方形ABCD的“双中线”，若AB＝4．则AP的长为 （按图示辅助线求解）；
（3）在图3中，AP是矩形ABCD的“双中线”，若AB＝4，BC＝6，请仿照（2）中的方法求出AP的长，并说明理由；
【拓展应用】
（4）在图4中，AP是平行四边形ABCD的“双中线”，若AB＝4，BC＝10，∠BAD＝120°．求出△ABP的周长，并说明理由？
2024-2025学年广东省深圳市龙岗区知新学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．【解答】解：A、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
B、x2﹣4x+5＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程属于分式方程，故本选项错误；
D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
故选：B．
2．【解答】解：∵（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，
∴2﹣a≠0，即a≠2①
由一个根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②
由①②得a＝﹣2．
故选：D．
3．【解答】解：方程x2﹣8x﹣1＝0，
整理得：x2﹣8x＝1，
配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．
故选：A．
4．【解答】解：A、错误．当∠A＝60°时，平行四边形ABCD不一定是菱形．
B、正确．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．
C、正确．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形．
D、正确．当AB＝BC，AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形．
故选：A．
5．【解答】解：设有x个人参加聚会，
根据题意可得：，
所以x2﹣x﹣156＝0，
解得x＝13，x＝﹣12（不合题意舍去），
所以参加聚会的人数是有13人．
故选：D．
6．【解答】解：根据题意知k≠0且Δ＝（k+2）2﹣4•k•＞0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
7．【解答】解：设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，
∴（12﹣2x）（9﹣2x）＝70，
故选：D．
8．【解答】解：根据题意得：豆子落在C中”记作事件A，估计A的概率P（A）的值＝．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2022+2a﹣2b＝2022+2（a﹣b）＝2022+2×1＝2024．
故案为：2024．
10．【解答】解：设盒子中有红球x个，
由题意可得：＝0.3，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是分式方程的解．
故答案为14个．
11．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣6，
∴点A（x1+x2，x1x2）的坐标为（3，﹣6），
∴点A（x1+x2，x1x2）在第四象限；
故答案为：四．
12．【解答】解：∵校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°，
∴BD＝AB＝25厘米，
∴校门关闭时，伸缩门的宽度为500厘米，
∵校门部分打开时，每个菱形原120°的角缩小为60°，
∴B′D′＝A′B′＝25cm，
∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为25厘米，
∴校门打开了500﹣25×20＝500（﹣1）厘米，
故答案为500（﹣1）
13．【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝2＝CM＝2，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，
∴BM＝BO+OM＝1+，
故答案为：1+．
三、解答题
14．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝2+1，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
∴4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，
则（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0或4x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝．
15．【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝1．
16．【解答】解：（1）接受调查的总人数为：20÷40%＝50（人）．
（2）C区域的人数为：50﹣4﹣20﹣10＝16（人），
补全条形图如图：
该校1600名学生中大约平均每周做家务时间不少于2小时的人数为：（人），
（3）用男1和男2分别表示两名男生，用女1和女2分别表示两名女生，根据题意，列表如下：
由表可知，从4人中评选2名学生，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中所评选2名学生都是女生的结果有两种，
∴P（授予称号的2名学生恰好都是女生）＝．
17．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21，
∵让顾客获得最大优惠，
∴y＝20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
18．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO．
又∵BE＝DF，
∴EO＝FO．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵▱AECF为菱形，
∴AC⊥EF，
∵AO＝BO，AB＝4，
∴BO＝4×＝2，
∴BD＝4，
∴AD＝4．
19．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1•x2＝＝﹣；
故答案为：，﹣；
（2）∵a2+4a﹣3＝0，b2+4b﹣3＝0（a≠b），
∴a，b为关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣4，ab＝﹣3，
∴+＝＝＝；
故答案为：；
（3）∵m2﹣4m＝11+t，n2﹣4n＝11+t，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2﹣4x＝11+t（即x2﹣4x﹣11﹣t＝0）的两个实数根，
∴m+n＝4，mn＝﹣11﹣t，
∵0＜m＜n，
∴m+n＞0，mn＞0，Δ＞0，
∴﹣11﹣t＞0，16﹣4（﹣11﹣t）＞0，
∴﹣15＜t＜﹣11，
∵（m+1）（n+1）＝mn+（m+n）+1＝﹣11﹣t+4+1＝﹣t﹣6，
而5＜﹣t﹣6＜9，
∴5＜（m+1）（n+1）＜9．
20．【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝2，
∴AE＝＝＝，
∵P是AE的中点，
∴PC＝AE＝．
故答案为．
（2）如图2中，连接DP，延长DP交AB的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∠FAD＝90°，
∴∠F＝∠PDE，
∵PB＝PE，∠FPB＝∠EPD，
∴△FPB≌△DPE（AAS），
∴DP＝PF，BF＝DE＝CD＝2，AF＝AB+B4＝2＝6，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝2，
∵DP＝PF，
∴AP＝DF＝，
故答案为．
（3）如图3中，连接DP，延长DP交AB的延长线于H．
同法可证：∠DAB＝90°，△HPB≌△DPE，
∴DE＝BH＝CD＝2，DP＝PH，AHAB+BH＝6，
在Rt△ADH中，DH＝＝＝6，
∵DP＝PH，
∴PA＝DH＝3．
（4）如图4中，连接DP，延长DP交AB的延长线于H，作DK⊥BA交BA的延长线于K，AN⊥DH于N，EM⊥BC交BC的延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，
在Rt△ADK中，∵∠KAD＝60°，∠K＝90°，AD＝10，
∴AK＝AD＝5，KD＝AK＝5，
在Rt△ECM中，∵∠M＝90°，∠ECM＝60°，EC＝CD＝2，
∴CM＝EC＝1，EM＝，
在Rt△BEM中，BE＝＝＝2，
∵P是BE的中点，
∴PB＝EB＝，
∵△PBH≌△PED，
∴DP＝PH，DE＝BH＝2，HK＝BH+AB+AK＝2+4+5＝11，
∴DH＝＝＝14，
∴PH＝PD＝7，
∵∠AHN＝∠DHE，∠ANH＝∠K＝90°，
∴△HAN∽△HDK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AN＝，HN＝，
∴PN＝PH﹣HN＝7﹣＝，
∵AN⊥DH，
∴PA＝＝＝，
∴△ABP的周长＝AB+PA+PB＝4++．
平均每周做家务时间的调查表设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是（单选）
A．0≤x＜1 B．1≤x＜2 C．2≤x＜3 D．x≥3
一二
男1
男2
女1
女2
男1
（男2，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男1，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）
（女2，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（女1，女2）