湖南省长沙市雅礼中学2022届高三下学期一模数学试题及参考答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A，B为全集U的子集，若，则（ ）
A．AB．BC．UD．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A．B．3C．D．
4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|=|PF2|，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知F1、F2是双曲线E：（，）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）=0.3，P（B）=0.6，下列说法正确的有（ ）
A．若P（AB）=0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P（B|A）=0.6
C．若P（B|A）=0.4，则P（AB）=0.12
D．若，则P（A|B）=0.3
10．已知向量a=（，1），b=（，）（），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若b在a上的投影为，则向量a与b的夹角为
C．是与a共线的唯一的单位向量
D．存在，使得
11．设，过定点M的直线l1：与过定点N的直线l2：相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．l1一定垂直l2
B．|PM|+|PN|的最大值为
C．点P的轨迹方程为
D．的最小值为
12．直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，点D是线段BC1上的动点（不含端点），则以下说法正确的是（ ）
A．AC∥平面A1BD
B．CD与AC1不垂直
C．∠ADC的取值范围为
D．AD+DC的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数（）的图象关于y轴对称，且与直线y=x相切，写出满足上述条件的一个函数______．
14．以抛物线（）焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若|AF|=2，|BF|=3，则p=______．
15．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列可能有种______不同情况．（填数字）
16．对于集合E={a1，a2，…，a100}的子集X={，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中==…==1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于______；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1=1，，，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1=1，，，则的元素个数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设数列的前n项和为，满足（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式．
18．（本小题满分12分）
在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3AB=3．
（1）若CA=CD，且cs∠ABC=，求△ABC的面积S；
（2）若cs∠DAC=，cs∠ACD=，求BD的长．
19．（本小题满分12分）
如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD=．
（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；
（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q−BD−C的余弦值为时，求此时三棱锥Q−BCD的体积．
20．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中，）
（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型；
（2）根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立y关于x的回归方程；
（ii）样本对原点的距离x=20时，平均金属含量的预报值是多少？
（3）已知该金属在距离原点x m时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为（），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数，
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：（） 的上顶点为B（0，1），过点（，0）且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l1交椭圆于异于点B的P，Q两点，以PQ为直径的圆经过点B，线段PQ的中垂线l2与x轴的交点为（，0），求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1）当时，，求a的取值范围；
（2）当时，求证：．
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