河北省邯郸市丛台区育华中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份河北省邯郸市丛台区育华中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． 下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD
C．AC⊥BDD．∠BAD＝∠ADC
2、（4分）窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：
①若∠A=70°，则∠ABE=35°；②若点F是CD的中点，则S△ABES菱形ABCD
下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对
4、（4分）五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）已知E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH的形状一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
8、（4分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0D．2x2－9x＋8＝0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一元二次方程的解是__．
10、（4分）如图，中，，，，为的中点，若动点以1的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为_____．
11、（4分）四边形ABCD中，，，，，则______．
12、（4分）对分式，，进行通分时，最简公分母是_____
13、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的方差如下表：则这四人中发挥最稳定的是_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2求斜边AB的长.

15、（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．
（1）求两队单独完成此项工程各需多少天；
（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若
按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元．
16、（8分）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且
AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
17、（10分）请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
18、（10分）如图1，将线段平移至，使点与点对应，点与点对应，连接、．
（1）填空：与的位置关系为 ，与的位置关系为 ．
（2）如图2，若、为射线上的点，，平分交直线于，且，求的度数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是_____．
20、（4分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为________.
21、（4分）若二次函数y＝mx2－（2m－1）x＋m的图像顶点在y轴上，则m＝ ．
22、（4分）如果将直线y=3x-1平移，使其经过点(0，2)，那么平移后所得直线的表达式是______．
23、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图,在四边形ABCD中,AB=AD=3,DC=4,∠A=60°，∠D=150°,试求BC的长度.
25、（10分）某文具店准备购进A、B两种型号的书包共50个进行销售，两种书包的进价、售价如下表所示：
购进这50个书包的总费用不超过7300元，且购进B型书包的个数不大于A型书包个数的．
（1）该文具店有哪几种进货方案？
（2）若该文具店购进的50个书包全部售完，则该文具店采用哪种进货方案，才能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝售价﹣进价）
26、（12分）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于于点．
（1）求，两点的坐标；
（2）过点作直线与轴相交于点，且使，求的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可．
【详解】
A. 有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C. 并不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝∠ADC∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；
故答案为：C．
本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．
2、A
【解析】
将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，
故选：A.
此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键.
3、A
【解析】
只要证明，可得，即可得出；延长EF交BC的延长线于M，只要证明≌，推出，可得，，推出．
【详解】
①∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠C=∠A=70°．
∵BA=BF=BC，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE∠ABF=35°，故①正确；
②如图，延长EF交BC的延长线于M，
∵四边形ABCD是菱形，F是CD中点，∴DF=CF，∠D=∠FCM，∠EFD=∠MFC，∴△DEF≌△CMF，∴EF=FM，∴S四边形BCDE=S△EMB，S△BEFS△MBE，∴S△BEFS四边形BCDE，∴S△ABES菱形ABCD．故②正确，
故选A．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4、C
【解析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，
故选C．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
5、C
【解析】
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．最简二次根式满足两个条件，一是被开方式不含能开的尽方的因式，二是被开方式不含分母.
【详解】
A、 =，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、=2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、=2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选C．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．
6、B
【解析】
由题意可知，
当时，；
当时，
；
当时，.∵时，；时，.∴结合函数解析式，
可知选项B正确.
考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．
7、B
【解析】
本题没有图，需要先画出图形，如图所示
连接AC、BD交于O，根据三角形的中位线定理推出EF∥BD∥HG，EH∥AC∥FG，得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形性质推出AC⊥BD，推出EF⊥EH，即可得出答案．
【详解】
解：四边形EFGH的形状为矩形，
理由如下：
连接AC、BD交于O，
∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥BD，EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：B．
本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．
8、C
【解析】
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=61，
化简整理得，x2﹣9x+8=1．
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x1＝1，x2＝﹣1．
【解析】
先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】
∵
∴=9，
∴x=±1，
即x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
10、2或6或3.1或4.1．
【解析】
先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是ΔABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠ABC的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可.
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷=2÷=4，
①∠BDE=90°时，如图（1）
∵D为BC的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
∴AE=AB=×4=2，
点E在AB上时，t=2÷1=2秒，
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2-2=6，
t=6÷1=6；
②∠BED=90°时，如图（2）
BE=BD=×2×=
点E在AB上时，t=（4-0.1）÷1=3.1，
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.1=4.1，
t=4.1÷1=4.1，
综上所述，t的值为2或6或3.1或4.1．
故答案为：2或6或3.1或4.1．
掌握三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
11、2
【解析】
画出图形，作CE⊥AD,根据矩形性质和勾股定理求出DE，再求BC.
【详解】
已知，如图所示，作CE⊥AD,则=,
因为，，
所以，==,
所以，四边形ABCE是矩形，
所以，AE=BC,CE=AB=3,
在Rt△CDE中，
DE=,
所以，BC=AE=AE-DE=6-4=2.
故答案为2
本题考核知识点：矩形的判定，勾股定理. 解题关键点：构造直角三角形.
12、8xy1
【解析】
由于几个分式的分母分别是1x、4y、8xy1，首先确定1、4、8的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．
【详解】
根据最简公分母的求法得：
分式，，的最简公分母是8xy1，
故答案为8xy1．
此题主要考查了几个分式的最简公分母的确定，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找最高指数．
13、乙
【解析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
解：∵，
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
∴乙最稳定．
故答案为：乙．
本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、．
【解析】
设BC=x,则AB=2x,再根据勾股定理求出x的值,进而得出结论.
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2，
∴设BC=x，则AB=2x，
∵AC2+BC2=AB2，即22+x2=（2x）2，
解得x=，
∴AB=2x=．
本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
15、（1）甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天；（2）甲队所得报酬8000元，乙队所得报酬12000元．
【解析】
（1）求工效，时间明显，一定是根据工作总量来列等量关系的．等量关系为：甲6天的工作总量+乙6天的工作总量=1；
（2）让20000×各自的工作量即可．
【详解】
解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，
由题意得
解之得x=15
经检验，x=15是原方程的解．
答：甲队单独完成此项工程需15天，
乙队单独完成此项工程需15×=10（天）
（2）甲队所得报酬：20000××6=8000（元）
乙队所得报酬：20000××6=12000（元）
本题主要考查了分式方程的应用.
16、（1）见解析
（2）当AF=时，四边形BCEF是菱形．
【解析】
（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形.
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值.
【详解】
（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF.
∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌DEF（SAS）.∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF.
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：连接BE，交CF与点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形.
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=.
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC．
∴，即.∴.
∵FG=CG，∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣.
∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．
17、见解析.
【解析】
参考小东同学的做法，可得新正方形的边长为，由此可知新正方形的边长等于三个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出分割线，拼出新正方形即可．
【详解】
解：所画图形如图所示．
此题主要考查对正方形与三角形之间关系的灵活掌握．
18、（1），；（2）120°
【解析】
（1）根据平移的性质，即可判定；
（2）根据平行和角平分线的性质进行等角转换，即可得解.
【详解】
（1）由平移的性质，得
，AB=CD
∴四边形ABCD为平行四边形
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
此题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x＞1．
【解析】
试题解析：∵一次函数与交于点，
∴当时，由图可得：．
故答案为．
20、1
【解析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知，设大正方形的边长为c，大正方形的面积为13，即：，再利用勾股定理得可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：如图所示：∵，∴，
∵，，∴，
∴小正方体的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积
=，故答案为：1.
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
21、
【解析】
试题分析：由二次函数y＝mx2－（2m－1）x＋m的图像顶点在y轴上知，该二次函数的对称轴是直线x=0，
根据二次函数对称轴的公式知，
考点：二次函数对称轴
点评：本题属于简单的公式应用题，相对来说比较简单，但是仍然要求学生对相应的公式牢记并理解，注意公式中各字母表示的含义。
22、
【解析】
根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=3x+b，然后将点（0，1）代入即可得出直线的函数解析式．
【详解】
解：设平移后直线的解析式为y=3x+b．
把（0，1）代入直线解析式得1=b，
解得 b=1．
所以平移后直线的解析式为y=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
本题考查一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．
23、
【解析】
先根据正方形的性质和轴对称的性质找出使PF+PE取得最小值的点，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】
∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，
∴点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长，
∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2，
∴EG=.
故答案为.
本题考查了正方形的性质，轴对称之最短路径问题及勾股定理，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
试题分析：连接DB，根据AB=AD，∠A=60°得出等边三角形，根据等边三角形的性质以及∠ADC=150°得出△BDC为直角三角形，最后根据勾股定理求出BC的长度.
试题解析：连结DB, ∵，， ∴是等边三角形，
∴，， 又∵
∴， ∵
∴
25、（1）有4种进货方案，分别是：①A，20个，B，30个；②A，21个，B，29个；③A，22个，B28个；④A，1个，B27个；（2）购进A型1个，B型27个获利最大，最大利润为3元．
【解析】
（1）设购进A型书包x个，则B型（50﹣x）个，由题意得关于x的不等式组，解得x的范围，再根据x为正整数，可得x及（50﹣x）的值，则进货方案可得．
（2）设获利y元，根据利润等于（A的售价﹣进价）×A的购进数量+（B的售价﹣进价）×B的购进数量，列出函数关系式，根据一次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）设购进A型书包x个，则B型（50﹣x）个，
由题意得： ，
解得：20≤x≤1．
∴A型书包可以购进20，21，22，1个；B型书包可以购进（50﹣x）个，即30，29，28，27个．
答：有4种进货方案，分别是：①A，20个，B，30个；②A，21个，B，29个；③A，22个，B28个；④A，1个，B27个．
（2）设获利y元，由题意得：
y＝（300﹣200）x+（150﹣100）（50﹣x）
＝100x+50（50﹣x）
＝50x+2．
∵50＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x＝1时，y最大，y最大值＝50×1+2＝3．
答：购进A型1个，B型27个获利最大，最大利润为3元．
本题考查了一次函数实际应用问题的方案设计和选择问题，根据题意列出相关的不等式，利用一次函数性质选取最佳方案即可．
26、（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）的面积为或．
【解析】
（1）分别令x，y为0即可得出点，两点的坐标；
（2）分点在轴的正半轴上时和点在轴的负半轴上时两种情况分别画图求解即可．
【详解】
解：（1）对于，当时，，解得，则点的坐标为
当时，，则点的坐标为.
（2）当点在轴的正半轴上时，如图①，
∵，∴，
∴的面积；
当点在轴的负半轴上时，如图②，
∵，∴.
∴的面积，
综上所述，的面积为或.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
选手
甲
乙
丙
丁
方差（S2）
0.020
0.019
0.021
0.022
书包型号
进价（元/个）
售价（元/个）
A型
200
300
B型
100
150