福建省福州市福建匠心恒一教育科技有限公司2024-2025学年高三上学期第一次月考（10月）数学试题

这是一份福建省福州市福建匠心恒一教育科技有限公司2024-2025学年高三上学期第一次月考（10月）数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数,则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．设,则a,b,c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数为R上的奇函数，且在R上单调递增若，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．已知函数,则（ ）
A．1是的极小值点 B．的图象关于点对称
C．有3个零点 D．当时，
11．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数是偶函数，则实数___________．
13．已知定义在R上的奇函数满足,当时，,则方程在内的所有根之和为___________．
14．已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数在点处的切线平行于x轴．
（1）求实数a；
（2）求的单调区间和极值．
16．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．
（1）求A；
（2）若的角平分线与交于点,求．
17．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若,求曲线在处的切线方程；
（3）当时，试讨论函数的零点个数．
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
19．若函数在上存在,使得,则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点．
（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数,存在,使得,且是上的“双中值函数”，是在上的中值点．
①求a的取值范围；
②证明：．
2024-2025学年第一学期高三第一次月考参考数学答案
1．C
【分析】利用两集合的交集定义即得．
【详解】由题意,则．
故选：C．
故选：C
2．D
【分析】利用复数除法运算求出，再求出复数的模．
【详解】复数,则，
所以．
故选：D
3．D
【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案．
【详解】对A:因为函数的定义域为,定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对B:,所以函数为偶函数，故B错误；
对C:根据正切函数的性质可知，函数在不具有单调性，故C错误；
对D:函数的定义域为,故函数为奇函数，
又，所以函数在上单调递增．
故选：D
4．D
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解．
【详解】因为,所以,因为,所以．
因为，所以,所以．
故选：D
5．B
【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可．
【详解】,
若函数在上单调递增，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
故．
故选：B
6．A
【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解．
【详解】函数定义域为,由,得或,即函数有两个零点0,2，BC错误；,当时，,当时，,函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意．
故选：A
7．B
【分析】利用导数可知函数在区间上为增函数，由此可知该函数在区间上也为增函数，且有,进而可得出关于a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．
【详解】，当时，，
所以，函数在区间上为增函数，
由于该函数在上是单调函数，则该函数在上为增函数，
所以,解得．
因此，实数a的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
8．B【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出,再赋值得,进而依据此计算规则逐步求出,即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出,进而结合周期即可求解．
【详解】取代入,
得即,由题解得,
令代入得,
故，
所以是周期为6的周期函数，
又,所以，
所以，
故选：B
【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和,再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解．
9．CD
【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为,再利用函数在R上单调递增，将不等式转变为,求解即可．
【详解】因为函数是奇函数，
则不等式,可变形为,
因为函数在R上单调递增，
则不等式成立，则,
解得，1,2符合题意，
故选：CD．
10．AB
【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B;利用函数单调性和零点存在定理判断选项C;利用单调性比较函数值的大小判断选项D．
【详解】对于A,函数,令,解得或,
故当时,当时，,当时,
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故1是的极小值点，故A正确；
对于B,因为,
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C,,易知的单调性一致，而,
故有2个零点，故C错误；
对于D,当时，,而在上单调递增，故,故D错误．故选：AB．
11．ABD
【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假．
【详解】对于A:把的图象向左平移1个单位，可得的图象，
又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B:由为奇函数，则,
又为的导函数，所以,即,则,
又为奇函数，所以,即．
由上得,故,故,
即,即是奇函数，故B正确；
对于C:由于,
故,即,故4是的一个周期，
又,即,所以为周期为4的周期函数，
因为,令可得,即,
所以,故C错误；
对于D:因为是R上的奇函数，故,结合得，，
故,故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点晴：（1）若函数为奇函数，则,两边求导，可得,所以为偶函数．即奇函数的导函数为偶函数；
（2）若函数为偶函数，则,两边求导，可得,所以为奇函数．即偶函数的导函数为奇函数．
12．
【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解．
【详解】定义域为R,
,
所以,
故,
故答案为：
13．12
【分析】结合已知条件画出图象，由与图象交点的特征求得方程在内的所有根之和．
【详解】因为,所以的图象关于直线对称，
又函数在R为奇函数，且当时，,
由此画出在区间上的图象如下图所示．
，
由图可知，与图象的4个交点，
其中两个关于直线对称，两个关于直线对称，
所以方程在内的所有根之和为．
故答案为：12
14．
【分析】切点为，则求导后可得斜率，设切线为：，可得,设，求,利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图像交点的个数，结合图像即可得出答案．
【详解】设切点为．由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以在点处的切线为：,
因为切线过点,所以，
即,即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线与图像交点的个数，
设，
则
由可得,由可得：或,
所以在和上单调递减，在上单调递增
当x趋近于正无穷，趋近于0，当x趋近于负无穷，趋近于正无穷，
的图像如下图，且，
要使与的图像有三个交点，则．
15．（1）1
（2）答案见解析
【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数a;
（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值．
【详解】（1）由可得：，
由题意，,解得;
（2）由（1）得,则,
当时，,则在上是减函数；
当时，在上是增函数．
故时，函数有极小值为,无极大值．
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为,无极大值．
16．（1）．
（2）
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解．
【详解】
（2）解法一：如图，由题意得，,
所以,即，
又,所以,
所以,即,
所以．
解法二：如图，中，因为，
由余弦定理得，，
所以,所以，
所以，
所以,
所以．
17．（1）答案见解析
（2）
（3）答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）由题意的零点个数转化为直线与曲线的交点个数问题，令，利用导数判断的单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案．
【详解】（1）,
当时，恒成立，故在R上单调递增，
当时，令,解得,
所以当时，单调递增；当时，单调递减；
综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由,则,得,
曲线在处的切线的斜率为
故曲线在处的切线的方程为,
即;
（3）由于，即，
即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数同题；
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故,当时，,当时，,
当x趋向于负无穷时，趋向于负无穷，当x趋向于正无穷时，趋向于0，作出函数的图象如图：
当，即时，直线与曲线中的有2个交点，
当，即时，直线与曲线的有1个交点，
当，即时，直线与曲线中的无交点，
故时，函数的零点个数是2；时，函数的零点个数是1；
时，函数的零点个数是0；
18．（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）对求导得，对a分和来讨论的单调性即可；
（2）要证,只需证,结合（1）的结论得，即证恒成立．令,利用导数求出的最大值即可得证．
【详解】（1）,定义域为，
则,
①当时，在上单调递增；
②当时，
当时，在上单调递增；
当，在上单调递减．
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，要证,只需证,
由（1）得，，
即证恒成立．
令,则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
的最大值为，即．
恒成立，原命题得证．
19．（1）是上的“双中值函数”，理由见解析
（2）①；②证明见解析
【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；
（2）①根据定义知,利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为,构造差函数,利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明．
【详解】（1）函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为,所以．
因为,所以
令,得,即,解得．
因为,所以是上的“双中值函数”．
（2）①因为,所以．
因为是上的“双中值函数”，所以．
由题意可得．
设,则．
当时，,则为减函数，即为减函数；
当时，,则为增函数，即为增函数，故．
因为,所以,所以,即a的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，即．
要证,即证．
设,
则．
设,则,
所以在上单调递增，所以,所以，
则在上单调递减．
因为,所以,即．
因为,所以．
因为,所以．
因为,所以．
由①可知在上单调递增，所以,即得证．
【点睛】思路点晴：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明,类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
B
A
B
B
CD
AB
题号
11
答案
ABD