广西贵港市平南县2024-2025学年数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】

这是一份广西贵港市平南县2024-2025学年数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在四边形中，，点分别为线段上的动点(含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为( )
A．B．C．D．
2、（4分）下列汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
3、（4分）对于方程：，下列判断正确的是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个不同的实数根
C．有两个相同的实数根D．没有实数根
4、（4分）下面四个多项式中，能进行因式分解的是( )
A．x2+y2B．x2﹣yC．x2﹣1D．x2+x+1
5、（4分）下列式子从左到右变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（1，5）C．（1，-3）D．（-5，5）
7、（4分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点，记，则当m＜0时，a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜-1D．a＞-1
8、（4分）在直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．
10、（4分）一次函数y= -2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 _____.
11、（4分）计算的结果等于______________.
12、（4分）为了了解某校九年级学生的体能情况，随机抽查额其中名学生，测试分钟仰卧起坐的成绩(次数)，进行整理后绘制成如图所示的统计图(注：包括，不包括，其他同)，根据统计图计算成绩在次的频率是__________．
13、（4分）已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：.
15、（8分）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
16、（8分）先化简，再求值：（a+）÷，其中a=1．
17、（10分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
18、（10分）探索发现：，，，根据你发现的规律，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）利用你发现的规律计算：；
（3）灵活利用规律解方程：.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验结果.
那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性 _________“凹面向上”的可能性.（填“大于”，“等于”或“小于”）.
20、（4分）一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为______．
21、（4分）若分式的值与1互为相反数，则x的值是__________．
22、（4分）如图，已知矩形的面积为，依次取矩形各边中点、、、，顺次连结各中点得到第个四边形，再依次取四边形各边中点、、、，顺次连结各中点得到第个四边形,……，按照此方法继续下去，则第个四边形的面积为________．
23、（4分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，四边形中，，平分，交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．
25、（10分）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围。
26、（12分）甲、乙两名自行车爱好者准备在段长为3500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面.他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s(米)，比赛时间为t(秒)，图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s(米)与t(秒)的函数关系根据图中信息，回答下列问题：
(1)乙的速度为多少米/秒；
(2)当乙追上甲时，求乙距起点多少米；
(3)求线段BC所在直线的函数关系式.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
连接BD、ND，由勾股定理得可得BD=5，由三角形中位线定理可得EF=DN，当DN最长时，EF长度的最大，即当点N与点B重合时，DN最长，由此即可求得答案.
【详解】
连接BD、ND，
由勾股定理得，BD==5
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF=DN，
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，DN最长，
∴EF长度的最大值为BD=2.5，
故选B．
本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2、D
【解析】
根据中心对称图形的概念判断即可.（中心对称:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合.）
【详解】
根据中心对称图形的概念把图形绕着某一点旋转180°后，只有D选项才能与原图形重合，故选D.
本题主要考查中心对称图形的概念，是基本知识点，应当熟练的掌握.
3、B
【解析】
原方程变形后求出△=b2-4ac的值，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】
∵x(x+1)=0，
∴x2+x=0,
∵a=1，b=1，c=0,
∴△=b2-4ac=1-0=1>0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
4、C
【解析】
根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．
【详解】
A、x2+y2不能进行因式分解，故本选项错误；
B、x2-y不能进行因式分解，故本选项错误；
C、x2-1能利用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；
D、x2+x+1不能进行因式分解，故本选项错误．
故选C．
本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．
5、C
【解析】
根据分式的性质逐个判断即可.
【详解】
解： ，
故选：C．
本题主要考查分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以一个不为0的数，不会改变分式的大小.
6、B
【解析】
试题分析：由平移规律可得将点P（﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（1，5），故选B．
考点：点的平移．
7、C
【解析】
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数图象上的不同的两点，，
∴该函数图象是y随x的增大而减小，
∴a+1<0，
解得a<-1，
故选C.
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.
8、B
【解析】
根据坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：原坐标点为，关于原点对称：横纵坐标值都变为原值的相反数，即对称点为可得答案.
【详解】
解：关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标值都变为原值的相反数，所以点有关于原点O的对称点Q的坐标为（-2，-1）.
故选:B
本题考查了对称与坐标.设原坐标点为，坐标系中关于对称的问题分为三类：1.关于轴对称：横坐标值不变仍旧为，纵坐标值变为，即对称点为；2.关于轴对称：纵坐标值不变仍旧为，横坐标值变为即对称点为；3.关于原点对称：横纵坐标值都变为原值的相反数，即对称点为.熟练掌握变化规律是解题关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1。
【解析】
试题分析： ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA=AC=1，
故答案是：1．
考点：含30度角的直角三角形；矩形的性质．
10、4
【解析】
【分析】结合一次函数y=-2x+4的图象可以求出图象与x轴的交点为（2，0），以及与y轴的交点为（0，4），可求得图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【详解】令y=0，则x=2；令x=0，则y=4，
∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，4）.
∴S=.
故正确答案为4.
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标．关键令y=0，可求直线与x轴的交点坐标；令x=0，可求直线与y轴的交点坐标．
11、
【解析】
先用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】
解：原式=
=-
=5-9
=-4
故答案为：-4
本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
12、
【解析】
根据频率的求法，频率=，计算可得到答案.
【详解】
频率=.
故答案为：0.7.
本题考查了随机抽样中的条形图的认识，掌握频率的求法是解题的关键.
13、
【解析】
直接根据关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
【详解】
解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为．
故答案为：．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；；（2）；
【解析】
（1）先把左边的4移项到右边成-4，再配方，两边同时加32，左边得到完全平方，再得出两个一元一次方程进行解答；
（2）先化成一元二次方程的一般式，得出a、b、c，计算b2-4ac判定根的情况，最后运用求根公式即可求解．
【详解】
解：（1）x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
（x+3）2=5
；
（2）5x2-3x=x+1，
5x2-4x-1=0，
b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36，
，
本题主要考查了运用配方法、公式法解一元二次方程，运用公式法解方程时，要先把方程化为一般式，找到a、b、c的值，然后用b2-4ac判定根的情况，最后运用公式即可求解．
15、（1）1400元；（2）有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；③购买电饭煲1台，则购买电压锅1台．理由见解析；（3）购进电饭煲、电压锅各1台．
【解析】
（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，等量关系是：这两种电器共30台；共用去了5600元；
（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50-a）台，根据“用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的”列出不等式组；
（3）结合（2）中的数据进行计算．
【详解】
解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，依题意得
，
解得 ，
所以，20×（10-200）+10×（200-160）=1400（元）．
答：橱具店在该买卖中赚了1400元；
（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50-a）台，依题意得
，
解得 22≤a≤1．
又∵a为正整数，
∴a可取23，24，1．
故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；
②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；
③购买电饭煲1台，则购买电压锅1台．
（3）设橱具店赚钱数额为W元，
当a=23时，W=23×（10-200）+27×（200-160）=2230；
当a=24时，W=24×（10-200）+26×（200-160）=2240；
当a=1时，W=1×（10-200）+1×（200-160）=210；
综上所述，当a=1时，W最大，此时购进电饭煲、电压锅各1台．
本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
16、2.
【解析】
分析：把a+通分化简，再把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，化成最简分式（或整式）后把a=1代入计算.
详解：（a+）÷
=[+]•
=•
=•
=，
当a=1时，原式==2．
点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键，本题也考查了运用平方差公式和完全平方公式分解因式.
17、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.
详解：（1）证明：∵∥，
∴
∵平分
∴，
∴
∴
又∵
∴
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
又∵
∴是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．
∴．，，
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴．
在中，．为中点．
∴．
点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.
18、（1） ，；（2）；（3）.
【解析】
（1）仿照已知等式变形即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，将原式化简，计算即可求出值；
（3）已知方程左边利用得出的规律化简，求出解即可．
【详解】
（1）
故答案为：，；
（2）原式
（3）
解得：，
经检验x=33是分式方程的解．
此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、小于
【解析】
根据图形中的数据即可解答本题．
【详解】
解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间，
∴凸面向上”的可能性 小于“凹面向上”的可能性．，
故答案为：小于．
本题考查模拟实验，可能性的大小，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
20、x≥﹣1
【解析】
由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式ax+b≥kx解集．
【详解】
两个条直线的交点坐标为(−1, 2),且当x≥−1时,直线y=kx在y=ax+b直线的下方，故不等式ax+b≥kx的解集为x≥−1.
故答案为x≥−1.
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识点，解题的关键是根据图象可知一次函数与一元一次不等式的增减性.
21、-1
【解析】
根据相反数的性质列出分式方程求解即可．
【详解】
∵分式的值与1互为相反数
∴
解得
经检验，当时，，所以是方程的根
故答案为：．
本题考查了分式方程的运算问题，掌握分式方程的解法、相反数的性质是解题的关键．
22、
【解析】
根据矩形ABCD的面积、四边形A1B1C1D1面积、四边形A2B2C2D2的面积、四边形A3B3C3D3的面积，即可发现中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，找到规律即可解题．
【详解】
解：顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的，顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，则四边形A2B2C2D2的面积为四边形A1B1C1D1面积的一半，即为矩形ABCD面积的，顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，则四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面积的一半，即为矩形ABCD面积的，故中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，则四边形AnBnCnDn面积为矩形ABCD面积的，
又∵矩形ABCD的面积为1，
∴四边形AnBnCnDn的面积=1×=，
故答案为：．
本题考查了中点四边形以及矩形的性质的运用，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键．
23、2
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD==1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2 ；
故答案为2．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）是直角三角形，理由详见解析.
【解析】
(1)利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；
(2)利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．
【详解】
(1)∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)直角三角形，理由如下：
∵四边形AECD是菱形，
∴AE=EC，
∴∠2=∠4，
∵AE=EB，
∴EB=EC，
∴∠5=∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，
∴∠ACB=∠4+∠5=90°，
∴△ACB为直角三角形．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
25、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据公式法即可求出答案两根，然后根据题意列出不等式即可求出答案．
【详解】
（1）证明：
.
∵，即，
∴此方程总有两个实数根.
（2）解：
解得，.
∵此方程有一个根是负数，而，
∴，即.
∴m的取值范围是.
本题考查一元二次方程根的判别式，以及求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
26、 (1)14；（2）乙距起点2100米；（3）BC所在直线的函数关系式为s=2t-300.
【解析】
（1）设乙的速度为x米/秒，根据图象得到300＋150×12＝150x，解方程即可；
（2）由图象可知乙用了150秒追上甲，用时间乘以速度即可；
（3）先计算出乙完成全程所需要的时间为＝250（秒），则乙追上甲后又用了250−150＝100秒到达终点，所以这100秒他们相距100×（14−12）米，可得到C点坐标，而B点坐标为（150，0），然后利用待定系数法求线段BC所在直线的函数关系式即可．
【详解】
解：(1)设乙的速度为x米/秒，
则300+150×12=150x，
解得x=14，
故答案为：14.
(2)由图象可知乙用了150秒追上甲，14×150=2100(米).
∴当乙追上甲吋，乙距起点2100米.
(3)乙从出发到终点的时间为=250(秒)，
此时甲、乙的距离为：(250-150)(14-12)=200(米)，
∴C点坐标为 (250，200)，B点坐标为(150，0)
设BC所在直线的函数关系式为s=kt+b(k0，k，b为常数)，
将B、C两点代入，得，
解得
∴BC所在直线的函数关系式为s=2t-300.
本题考查了一次函数的应用及待定系数法求一次函数的解析式：先设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），然后把一次函数图象上的两点的坐标分别代入，得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，从而确定一次函数的解析式．也考查了从函数图象获取信息的能力．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200