新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲探索性问题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学之圆锥曲线综合讲义第27讲探索性问题(原卷版+解析)，共31页。学案主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知分别为椭圆：（）的左、右焦点, 且离心率为，点椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
2．椭圆上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且焦距为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于，两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
4．已知为椭圆C的左、右焦点，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
5．（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2−12x+32=0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q的面积；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说
明理由．
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于两点
（I）求椭圆的方程；
（II）在轴上是否存在一点，使得恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
7．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
8．（本小题12分）已知如图，圆和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的点，.
（1）当直线的斜率为时，求线段的长；
（2）设点和点关于直线对称，问是否存在圆的切线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
9．已知曲线，，动直线与相交于两点，曲线在处的切线相交于点．
（1）当时，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线与相切于点，试问：在轴上是否存在两个定点，当直线斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D(0，－1)，且离心率e=63．经过点M(1,0)的直线L与椭圆交于A，B两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求|AM|的取值范围.
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点P，使∠MPA=∠MPB。若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
11．已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等．求椭圆的方程；已知动直线（斜率存在）与椭圆交于两个不同点，且△的面积为，若为线段的中点，问：在轴上是否存在两个定点使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
12．已知椭圆:经过点且离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线，使椭圆上存在不同两点关于该直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线的斜率存在，在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．
14．已知椭圆：（）过点，离心率，直线：与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.
15．已知圆经过点， ，并且直线平分圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
16．已知椭圆经过点，是的一个焦点，过点的动直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点（异于点），对任意的动直线（斜率存在）都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由．
18．已知点在椭圆上，椭圆离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第27讲 探索性问题
一、解答题
1．已知分别为椭圆：（）的左、右焦点, 且离心率为，点椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：（1）由题意得，，，联立得
椭圆方程为 6分
（2）由题意,知直线存在斜率,其方程为由
消去
△=（4km）2—4（2k2+1）（2m2—2）>0
设
则 8分
又
由已知直线与的倾斜角互补,
得
化简,得

整理得 10分
直线的方程为,
因此直线过定点,该定点的坐标为（2,0） 12分
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用.
2．椭圆上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且焦距为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于，两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在，
【分析】
（1）根据椭圆的焦距为，离心率为，解得：，，故椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，代入到得，设，，，，由韦达定理得：，，因为，，，，可得：
代入整理可得，解得：，即可求出直线方程.
【详解】
（1）设椭圆的标准方程为，，焦距为2，故
又，，，．
故椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，为的垂心，．
，，，
，，
设直线的方程为，代入到得，
，解得且
，，
，，，，
，
即
由根与系数的关系，得．
解得或（舍去）．
故存在直线，使点恰为的垂心，且直线的方程为
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，常用方法为：设而不求利用韦达定理求出根与系数关系，结合条件即可得解.要求较高的计算能力，属于难题.
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（1）由已知条件可推得，由此能求出椭圆的标准方程；（2）存在直线使得成立，直线方程与椭圆的方程联立，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件，得出，即可求解实数的取值范围．
试题解析：（1）设椭圆的方程为（），半焦距为．依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．
所以椭圆的标准方程是．
（2）解：存在直线，使得成立．理由如下：
由得．
，化简得．
设，，则，．
若成立，即，等价于．
所以．，
，,
化简得，．将代入中，，解得，．又由，，
从而，或．
所以实数的取值范围是．
考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置的应用．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质、不等式求范围问题，此类问题的解答中，把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系，以及韦达定理结合题目的条件进行合理运算是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时注意试题中的隐含条件，做到合理加以运用，属于中档试题．
4．已知为椭圆C的左、右焦点，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程为，由，利用已知条件能求出，由此能求出椭圆的方程；（2）设直线，由，得，利用韦达定理推导出．当不存在时圆面积最大，此时直线方程为．
试题解析：（1）由已知，可设椭圆的方程为.
因为，
所以.所以椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得.
设，则，
所以.
设内切圆半径为，因为的周长为（定值），
，
所以当的面积最大时，内切圆面积最大.
又，
令，则，
所以，
又当k不存在时，，此时，
故当k不存在时内切圆面积最大，，此时直线方程为.
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合.
【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，根据椭圆的定义设出椭圆的标准方程，得解；考查三角形内切圆面积是否存在最大值的判断，用到不太常用的三角形内切圆半径公式：，故可得当三角形周长固定时，三角形面积越大内切圆面积越大，解题时要认真审题，注意韦达定理和分类讨论思想的合理运用，计算难度较大，属于难题.
5．（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2−12x+32=0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q的面积；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1)4π. (2)(−34,0)(3)没有符合题意的常数k
【解析】
解：（Ⅰ）圆的方程可化为(x−6)2+y2=4，可得圆心为Q(6，0)，半径为2，
故圆的面积为4π． ---------------------3分
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2．
法一：
将直线方程代入圆方程得x2+(kx+2)2−12x+32=0，
整理得(1+k2)x2+4(k−3)x+36=0． ① ---------------------4分
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
Δ=[4(k−3)]2−4×36(1+k2)=42(−8k2−6k)>0， ---------------------6分
解得−34