新疆部分名校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份新疆部分名校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若随机变量Z服从正态分布，则，曲线的周长为，若，则，某部门30名员工一年中请假天数，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B.13 C.5 D.25
3.若函数的最小正周期不小于，则（ ）
A.的最小值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
4.若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ）
A. B. C.124 D.252
5.若离心率为的双曲线的左､右焦点分别为，右顶点为A，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若随机变量Z服从正态分布，则.为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差.已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（ ）
A. B.
C. D.
7.曲线的周长为（ ）
A. B. C. D.
8.若，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ）
A.该部门一年中请假天数为0的人数为10
B.该部门一年中请假天数大于5的人数为10
C.这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4
D.这30名员工一年中请假天数的平均数小于4
10.已知函数，则（ ）
A.为奇函数
B.在定义域内为增函数
C.曲线的切线斜率的最大值为2
D.曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值
11.若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ）
A.圆锥的体积为
B.与底面所成角的正切值为3
C.圆锥内切球的线长度为
D.正四棱台外接球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则__________.
13.已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是__________.
14.如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲､乙､丙）随机安排在这两排座位上，则甲､乙､丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.
（1）若，且的面积为，求A；
（2）若，求.
16.（15分）
已知是抛物线上的两点.
（1）求C的准线方程；
（2）若直线经过C的焦点，且与C交于P，Q两点，求的最小值.
17.（15分）
如图，在直三棱柱中，D为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
18.（17分）
在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器.提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答.当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人.假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为.
（1）求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
（2）在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率.
19.（17分）
已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）.
（1）计算.
（2）设函数.
（i）若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
（ii）若且，函数，证明：.
高三数学参考答案
1.A 【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
2.C 【解析】本题考查复数相等与复数的模，考查数学运算的核心素养.
由，得且，解得，
则
3.D 【解析】本题考查三角函数的周期，考查逻辑推理的核心素养.
因为，所以，解得.
4.B 【解析】本题考查等比数列，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
由，得的公比，所以的公比为，则的前6项和为.
5.C 【解析】本题考查双曲线的离心率与平面向量，考查直观想象的核心素养.
依题意可得，所以.因为与同向，所以.
6.D 【解析】本题考查正态分布，考查应用意识以及逻辑推理的核心素养.
依题可知，，所以，
故.
因为，所以，
所以.
7.C 【解析】本题考查圆的方程，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
由，得，即，即或，所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为，所以曲线C的周长为.
8.A 【解析】本题考查两角和与差的正切公式，考查数学运算的核心素养.
因为，
所以，故.
9.ACD 【解析】本题考查统计，考查数据处理能力.
该部门一年中请假犬数为0的人数为，A正确.该部门一年中请假天数大于5的人数为，B错误.因为，且请假天数为0的人数为10，请假天数为4的人数为6，所以这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4，C正确.这30名员工一年中请假天数的平均数为，D正确.
10.ABD 【解析】本题考查函数的性质､导数的几何意义､直线的斜率，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为的定义域为，且，所以为奇函数，A正确.在上为增函数，B正确.当时，，则曲线的切线的斜率小于2，C错误.设曲线上任意一点为，则，则，D正确.
11.BC 【解析】本题考查空间几何体的新概念､体积､线面角以及外接球的表面积，考查空间想象能力与直观想象､数学运算的核心素养.
因为圆锥的底直径与线长度分别为2，4，所以圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为，A错误.设圆锥内切球的半径为r，则，解得，所以圆锥内切球的线长度为，C正确.因为，所以，所以.过A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则，所以，则.与底面所成的角为，且，B正确.设正四棱台外接球的半径为R，球心为N，设正四棱台上､下底面的中心分别为，则，且N在上.设，由，得，解得，则正四棱台外接球的表面积为，D错误.
12.8 【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
13. 【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的长轴长，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
将代入，得，
则，解得.
因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是.
14. 【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识与分类讨论的数学思想.
甲､乙､丙3人的座位互不相邻的情况分为三种：第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；第二种，这3人中1人在第一排，2人在第二排，共有种不同的安排方法；第三种，这3人中2人在第一排，1人在第二排，若第二排的这1人安排在中间的位置，则有种不同的安排方法，若第二排的这1人不安排在中间的位置，则有种不同的安排方法.故甲､乙､丙3人的座位互不相邻的概率为.
15.【解析】本题考查解三角形与平面向量的数量积，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以的面积，
则，因为，所以或.
（2）因为，所以，
所以.
由余弦定理得，
因为，所以或，
又，所以，所以，
所以.
16.【解析】本题考查直线与抛物线､基本不等式的综合，考查数学运算与数学抽象的核心素养.
解：（1）因为是抛物线上的两点，
所以
则，整理得，解得.
当时，，解得，不合题意；
当时，，解得.
故C的准线方程为.
（2）由（1）知C的焦点为，
联立得.
设，则，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17.【解析】本题考查立体几何与空间向量的综合，考查空间想象能力与数学运算､直观想象的核心素养.
（1）证明：连接交于点E，
则E为的中点.
连接.因为D为的中点，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）解：取的中点O，连接.
因为，所以，且.
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则
令，得.
易知平面的一个法向量为.
.
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
评分细则：
【1】第（1）问还可以先证明平面平面，再证明平面，阅卷时，请按照步骤给分.
【2】第（2）问中，两个平面的法向量均不唯一，只要与对应法向量共线即可.
【3】第（2）问还可以用这样的方法求解：
取的中点O，连接.依题意可得四边形为正方形.
因为，所以，
且.
在直三棱柱中，底面，则.
因为，所以平面.
取的中点F，连接，则.
易证，
所以为二面角的补角.
因为，所以，
所以二面角的余弦值为.
18.【解析】本题考查相互独立事件的概率､条件概率､全概率，考查应用意识与数据分析､逻辑推理的核心素养.
解：不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项.
（1）1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为.
（2）当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种：
①若第一次答题时人和机器都选择1，则当重复提问时，人选择2，机器选择2或3，且测试者随机判断机器为人，则；
②若第一次答题时人和机器都选择2，则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2且机器选择1，或人选择2，机器选择3且测试者随机判断机器为人，则；
③若第一次答题时人选择2，机器选择3，则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2，机器选择1，或人选择2，机器选择2且测试者随机判断机器为人，
则.
又，
所以.
评分细则：
【1】未写“不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项”，但是每一问的步骤都正确，不扣分.
第（1）问中，“”写为“”，不扣分.
【2】本题还可以这样解答：
（1）由题意可知，第一次提问时人回答正确的概率为，机器回答正确的概率为，
设“1位测试者在图灵测试中不需要重复提问”为事件A，
则.
（2）设“第一次提问机器和人均回答正确，测试者重复提问且机器改变选项”为事件B，“第一次提问机器和人均回答错误，测试者重复提问且机器改变选项”为事件C，“测试者误判”为事件D，“测试者重复提问且机器改变选项”为事件E，B与C互斥，且.
，
，
，
则，
所以在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，测试者误判的概率为.
19.【解析】本题考查新定义与导数､零点､等差数列的综合，考查数学抽象､数学运算与逻辑推理的核心素养.
解：（1）原式
.
（2）
.
（i）.
当或时，；当时，.
所以在和上是增函数，在上是减函数，
所以的极大值点为，极小值点为1.
因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，
所以，
则公差，
所以.
（ii）证明：因为，所以在上无零点，在上存在唯一零点，且.
令为的导函数，
则.
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，
而，所以.
令，则.
因为在上单调递诚，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
所以，
而，所以.
综上，.