福建省厦门市厦门外国语学校2024年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图,函数y1=-2x和的图象相交于点,则关于x的不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
2、(4分)如图,先将矩形ABCD沿三等分线折叠后得到折痕PQ,再将纸片折叠,使得点A落在折痕PQ上E点处,此时折痕为BF,且AB=1.则AF的长为( )
A.4B.C.D.
3、(4分)测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩,得到五个各不相同的数据,在统计时出现了一处错误:将最高成绩写得更高了,则计算结果不受影响的是( )
A.中位数B.平均数C.方差D.极差
4、(4分)如图,大正方形与小正方形的面积之差是40,则阴影部分的面积是( )
A.80B.40C.20D.10
5、(4分)9的算术平方根是( )
A.﹣3B.±3C.3D.
6、(4分)如图,的坐标为,,若将线段平移至,则的值为( )
A.5B.4C.3D.2
7、(4分)在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
8、(4分)若关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根,则 b 的值为( )
A.0B.4C.0 或 4D.0 或 4
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,△CND的周长是10,则AC的长为__________.
10、(4分)已知空气的密度是0.001239,用科学记数法表示为________
11、(4分)若△ABC的三边长分别为5、13、12,则△ABC的形状是 .
12、(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点,连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B,以AB为底边作等腰直角三角形ABC,使得点C位于第四象限。
(1)点C与原点O的最短距离是________;
(2)没点C的坐标为(,点A在运动的过程中,y随x的变化而变化,y关于x的函数关系式为________。
13、(4分)若x是的整数部分,则的值是 .
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)已知一次函数的图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上;
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
15、(8分)如图,在每个小正方形的边长均为的方格纸中,有线段和线段,点、、、均在小正方形的顶点上.
在方格纸中画出以为对角线的正方形,点、在小正方形的顶点上;
在方格纸中画出以为一边的菱形,点、在小正方形的顶点上,且菱形面积为;请直接写出的面积.
16、(8分)如图,直线的解析式为,与轴交于点,直线经过点(0,5),与直线交于点(﹣1,),且与轴交于点.
(1)求点的坐标及直线的解析式;
(2)求△的面积.
17、(10分)如图,在△ABC中,AE是∠BAC的角平分线,交BC于点E,DE∥AB交AC于点D.
(1)求证AD=ED;
(2)若AC=AB,DE=3,求AC的长.
18、(10分)计算:
(1); (2).
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)一支蜡烛长10cm,点燃时每分钟燃烧0.2cm,则点燃后蜡烛长度(cm)随点燃时间 (min)而变化的函数关系式为_____________________,自变量的取值范围是________________.
20、(4分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(-1,3),C(-3,-3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y= 的图象上,则m的值为________.
21、(4分)如图 ,D 为△ABC 的 AC 边上的一点,∠A=∠DBC=36°,∠C=72°,则图中 共有等腰三角形____个.
22、(4分)若一组数据1,3,,5,4,6的平均数是4,则这组数据的中位数是__________.
23、(4分)若关于x的方程(m-2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程,则m=________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)对于一次函数y=kx+b(k≠0),我们称函数y[m]=为它的m分函数(其中m为常数).例如,y=3x+1的4分函数为:当x≤4时,y[4]=3x+1;当x>4时,y[4]=-3x-1.
(1)如果y=x+1的-1分函数为y[-1],
①当x=4时,y[-1]______;当y[-1]=-3时,x=______.
②求双曲线y=与y[-1]的图象的交点坐标;
(1)如果y=-x+1的0分函数为y[0],正比例函数y=kx(k≠0)与y=-x+1的0分函数y[0]的图象无交点时,直接写出k的取值范围.
25、(10分)列分式方程解应用题:今年植树节,某校师生到距学校20千米的公路旁植树,一班师生骑自行车先走,走了16千米后,二班师生乘汽车出发,结果同时到达.已知汽车的速度比自行车的速度每小时快60千米,求两种车的速度各是多少?
26、(12分)已知四边形,,与互补,以点为顶点作一个角,角的两边分别交线段,于点,,且,连接,试探究:线段,,之间的数量关系.
(1)如图(1),当时,,,之间的数量关系为___________.
(2)在图(2)的条件下(即不存在),线段,,之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请完成证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图(3),在腰长为的等腰直角三角形中,,,均在边上,且,若,求的长.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、D
【解析】
首先求出A点坐标,再以交点为分界,结合图象写出不等式−2x>ax+3的解集即可.
【详解】
∵函数y1=-2x过点A(m,3),
∴−2m=3,
解得:m=−1.5,
∴A(−1.5,3),
∴不等式−2x>ax+3的解集为.
故选:D.
此题考查一次函数与一元一次不等式,解题关键在于结合函数图象进行解答.
2、C
【解析】
作EM⊥AD于M,交BC于N.只要证明△EMB∽△BNE,可得BE:EF=BN:EM,由此即可解决问题.
【详解】
解:作EM⊥AD于M,交BC于N.
在Rt△BEN中,BE=AB=1,EN=6,
∴BN=,
∵∠FEM+∠BEN=10°,∠BEN+∠EBN=10°,
∴∠FEM=∠EBN,∵∠FME=∠ENB=10°,
∴△EMB∽△BNE,
∴BE:EF=BN:EM,
∴1:EF=3:3,
∴EF=,
∴AF=EF=.
故选C.
本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
3、A
【解析】
根据中位数的定义解答可得.
【详解】
解:因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列,代表了这组数据值大小的“中点”,不受极端值影响,
所以将最高成绩写得更高了,计算结果不受影响的是中位数,
故选A.
本题主要考查方差、极差、中位数和平均数,解题的关键是掌握中位数的定义.
4、C
【解析】
设大小两个正方形的面积分别为a、b,得到a2-b2=40;又阴影部分面积=△AEC+△ADE
,然后使用三角形面积公式进行计算、化简即可解答。
【详解】
解:如图:设大小两个正方形的面积分别为a,b
则有a2-b2=40
又∵阴影部分面积=△AEC+△ADE
=
=
=
=20
故答案为C。
本题考查了几何图形中阴影面积的求法,关在于运用数形结合,将不规则图形化归为规则的几何图形的组合。
5、C
【解析】
试题分析:9的算术平方根是1.故选C.
考点:算术平方根.
6、D
【解析】
平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.直接利用平移中点的变化规律求解即可.
【详解】
解:由B点平移前后的纵坐标分别为1、1,可得B点向上平移了1个单位,
由A点平移前后的横坐标分别是为1、3,可得A点向右平移了1个单位,
由此得线段AB的平移的过程是:向上平移1个单位,再向右平移1个单位,
所以点A、B均按此规律平移,
由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,
故a+b=1.
故选D.
本题考查了坐标系中点、线段的平移规律,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.
7、D
【解析】
首先根据关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得对称点的坐标,再根据坐标符号判断所在象限即可.
【详解】
点P(2,3)关于x轴的对称点为(2,−3),
(2,−3)在第四象限.
故选:D.
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标,解题关键在于掌握对称的性质.
8、B
【解析】
根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式,即可得到关于的方程,再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可得到结果.
【详解】
方程有两个相等的实数根,
,
解得或,
又,
.
故选:.
本题考查了一元二次方程根的判别式,解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1),方程有两个不相等的实数根;(2),方程有两个相等的实数根;(3),方程没有实数根.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、6
【解析】
∵菱形ABCD中,AB=4,AD的垂直平分线交AC于点N,
∴CD=AB=4,AN=DN,
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10,
∴CN+4+AN=10,
∴CN+AN=AC=6.
故答案为6.
10、1.239×10-3.
【解析】
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】
0.001239=1.239×10-3
故答案为:1.239×10-3.
本题考查了科学记数法的表示,熟练掌握n的值是解题的关键.
11、直角三角形
【解析】
熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.即可得出.
【详解】
△ABC是直角三角形.
本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握定理是解题的关键.
12、
【解析】
(1)先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB,利用勾股定理求出AO的长为,再配方得,根据非负性即可求出OA的最小值,进而即可求解;
(2)先证明△AOD≌△COE可得AD=CE,OD=OE,然后根据点C的坐标表示出A的坐标,再由反比例函数的图象与性质即可求出y与x 的函数解析式.
【详解】
解:(1)连接OC,过点A作AD⊥y轴,如图,
,
∵A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点,延长AO交另一分支于点B,
∴OA=OB,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴OC=OA=OB,
∴当OA的长最短时,OC的长为点C与原点O的最短距离,
设A(m,),
∴AD=m,OD=,
∴OA===,
∵,
∴当时,OA=为最小值,
∴点C与原点O的最短距离为.
故答案为;
(2)过点C作x轴的垂线,垂足为E,如上图,
∴∠ADO=∠CEO=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴OC=OA=OB,OC⊥AB,
∴∠COE+∠AOE=90°,
∵∠AOD+∠AOE=90°,
∴∠AOD=∠COE,
∴△AOD≌△COE(AAS),
∴AD=CE,OD=OE,
∵点C的坐标为(x,y)(x>0),
∴OE=x,CE=-y,
∴OD=x,AD=-y,
∴点A的坐标为(-y,x),
∵A是双曲线第一象限的一点,
∴,即,
∴y关于x的函数关系式为(x>0).
故答案为(x>0).
本题考查了反比例函数的综合应用及等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质.利用配方法求出AO的长的最小值是解题的关键.
13、1
【解析】
3<<4
x=3
==1
故答案为1.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、 (1) y=2x+1;(2)不在;(3)0.25.
【解析】
(1)用待定系数法求解函数解析式;
(2)将点P坐标代入即可判断;
(3)求出函数与x轴、y轴的交点坐标,后根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解答:
(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,
则-3=-2k+b、3=k+b,解得:k=2,b=1.
∴函数的解析式为:y=2x+1.
(2)将点P(-1,1)代入函数解析式,1≠-2+1,
∴点P不在这个一次函数的图象上.
(3)当x=0,y=1,当y=0,x=,
此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为:
15、(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)根据正方形的性质画出以为对角线的正方形即可;
(2)根据菱形的性质及勾股定理画出菱形即可,由图可得的面积.
【详解】
(1)如图,正方形即为所求;
(2)如图,菱形即为所求..
本题考查的是作图-应用与设计作图,熟知菱形与正方形的性质及勾股定理是解答此题的关键.
16、(1);(2) .
【解析】
(1)首先利用待定系数法求出C点坐标,然后再根据D、C两点坐标求出直线l2的解析式;
(2)首先根据两个函数解析式计算出A、B两点坐标,然后再利用三角形的面积公式计算出△ABC的面积即可.
【详解】
(1)∵直线: 经过点(﹣1,),
∴=1+2=3,
∴C(﹣1,3),
设直线的解析式为 ,
∵经过点(0,5),(﹣1,3),
∴,
解得:
∴直线的解析式为;
(2)当=0时,2+5=0,
解得,
则(,0),
当=0时,﹣+2=0
解得=2,
则(2,0),
∴.
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式.
17、 (1)证明见解析;(2)6.
【解析】
(1)由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE,由DE∥AB,可得∠DEA=∠EAB,则∠DEA=∠DAE,可得结论.
(2)根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC,可证∠C=∠CED则CD=DE,即可求AC的长.
【详解】
证明:(1)∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE,
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB,
∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE-;
(2)∵AB=AC,AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°,∠CED+∠DEA=90°,
∵∠CAE=∠DEA,
∴∠C=∠CED,
∴DE=CD,
∴AD=DE=CD=3,
∴AC=6.
故答案为(1)证明见解析;(2)6.
本题考查等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,关键是利用这些性质解决问题.
18、(1)6(2)9
【解析】
(1)先计算算术平方根,零指数幂,然后依次计算即可
(2)先利用完全平方公式进行计算,再把二次根式化为最简,进行计算即可
【详解】
(1)3+2+1=6
(3)3+4+4 -4+2=9
此题考查二次根式的混合运算,掌握运算法则是解题关键
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、y=10-0.2x 0≤x≤50
【解析】
根据点燃后蜡烛的长度=蜡烛原长-燃烧掉的长度可列出函数关系式;根据0≤y≤10可求出自变量的取值范围.
【详解】
解:由题意得:y=10-0.2x,
∵0≤y≤10,
∴0≤10-0.2x≤10,解得:0≤x≤50,
∴自变量x的取值范围是:0≤x≤50,
故答案为:y=10-0.2x;0≤x≤50.
本题考查了由实际问题抽象出一次函数,正确得出变量之间的关系是解题的关键.
20、
【解析】
根据中点的坐标和平移的规律,利用点在函数图像上,可解出m的值.
【详解】
△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(-1,3),C(-3,3)
∴AB的中点(-1,2),BC的中点(-2,0),AC的中点(-2,-1)
∴AB边的中点平移后为(-1+m,2),AC中点平移后为(-2+m,-1)
∵△ABC某一边中点落在反比例函数上
∴2(-1+m)=3或-1×(-2+m)=3
m=2.5或-1(舍去).
故答案是:.
考查了反比例函数图象上点的坐标特点,关键是掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.
21、1
【解析】
由∠C=72゜,∠A=∠DBC=16゜,根据三角形内角和定理与三角形外角的性质,可求得∠ABD=∠A=16°,∠ABC=∠BCD=∠BDC=72°,继而求得答案.
【详解】
解:∵∠C=72゜,∠A=∠DBC=16゜,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠C,
∴BC=BD,即△BCD是等腰三角形;
∴∠ABD=∠BDC-∠A=16°=∠A,
∴AD=BD,即△ABD是等腰三角形;
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=72°=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
故答案为:1.
此题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角的性质以及三角形内角和定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
22、4.5
【解析】
根据题意可以求得x的值,从而可以求的这组数据的中位数.
【详解】
解:∵数据1、3、x、5、4、6的平均数是4,
∴
解得:x=5,
则这组数据按照从小到大的顺序排列为:1,3,4,5,5,6
则中位数为
故答案为:4.5
本题考查了中位数和平均数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
23、-2
【解析】
方程(m-2)x|m|+2x-1=0是一元二次方程,可得且m-2≠0,解得m=-2.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(2)①5,-4或2;②(-2,-2);(2)k≥2
【解析】
(2)①先写出函数的-2分函数,代入即可,注意,函数值时-3时分两种情况代入;
②先写出函数的-2分函数,分两种情况和双曲线解析式联立求解即可;
(2)先写出函数的0分函数,画出图象,根据图象即可求得.
【详解】
解:(2)①y=x+2的-2分函数为:当x≤-2时,y[-2]=x+2;当x>-2时,y[-2]=-x-2.
当x=4时,y[-2]=-4-2=-5,
当y[-2]=-3时,
如果x≤-2,则有,x+2=-3,
∴x=-4,
如果x>-2,则有,-x-2=-3,
∴x=2,
故答案为-5,-4或2;
②当y=x+2的-2分函数为y[-2],
∴当x≤-2时,y[-2]=x+2①,
当x>-2时,y[-2]=-x-2②,
∵双曲线y=③,
联立①③解得,(舍),
∴它们的交点坐标为(-2,-2),
联立②③时,方程无解,
∴双曲线y=与y[-2]的图象的交点坐标(-2,-2);
(2)当y=-x+2的0分函数为y[0],
∴当x≤0时,y[0]=-x+2,
当x>0时,y[0]=x-2,如图,
∵正比例函数y=kx(k≠0)与y=-x+2的0分函数y[0]的图象无交点,
∴k≥2.
本题考查的是函数综合题,主要考查了新定义,函数图象的交点坐标的求法,解本题的关键是理解新定义的基础上借助已学知识解决问题.
25、汽车和自行车的速度分别是75千米/时、15千米/时.
【解析】
试题分析:设自行车的速度为x千米/时,则汽车的速度为(x+60)千米/时,根据等量关系 :一班师生骑自行车走4千米所用时间=二班师生乘汽车20千米所用时间,列出方程即可得解.
试题解析:设自行车的速度为x千米/时,则汽车的速度为(x+60)千米/时,
根据题意得: ,
解得:x=15(千米/时),
经检验,x=15是原方程的解且符合题意.,
则汽车的速度为:(千米/时),
答:汽车和自行车的速度分别是75千米/时、15千米/时.
26、(1);(2)成立;证明见解析;(3).
【解析】
(1)将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG,据此知AE=AG,BE=DG,∠BAE=∠DAG,证明△AFE≌△AFG可得EF=FG,从而得出答案.
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转得到△ADH,知∠ABE=∠ADH,∠BAE=∠DAH,AE=AH,BE=DH,证明△AEF≌△AHF得.
(3)将△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△,连接,据此知,,∠C=∠,,由知,即,从而得到,易证得,根据可得答案.
【详解】
(1)延长到,使,连接,
在正方形中,
,
在和中,
,
,,
,
,
在和中,
,
,
,
.
(2)延长交点,使,连接,
,
,,
,,
,
,
.
(3)将绕点旋转至,连接,
,
,
,,
,
,
设,
,,
,
,
.
本题考查了全等三角形的综合问题,掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
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