青海省部分名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

这是一份青海省部分名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A．B．C．D．
2．已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是
A．12B．18C．22D．36
3．已知向量，若，则
A．-5B．-3C．3D．5
4．从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是
A．B．C．D．
5．在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是
A．千米/时B．千米/时C．10千米/时D．20千米/时
6．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中4，P是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
8．某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50．已知这组数据的平均数为48，方差为7，则
A．10B．C．D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则
A．B．C．的虚部是-8D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件表示“出现小于5的奇数点数”，事件表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．事件或至少有一个发生的概率为
11．已知三棱锥的底面ABC是直角三角形，平面，则
A．三棱锥外接球的表面积为B．三棱锥外接球的表面积为
C．三棱锥内切球的半径为D．三棱锥内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，应采用______（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样．若样本容量为112，则应抽取的女生人数为______．
13．在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是______立方米．
14．已知是的外心，若，则内角的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这批零件的直径的中位数；
（2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数．
16．（15分）
如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积．
17．（15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
18．（17分）
如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，是AD的中点，．
（1）证明：BE上平面PAC．
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（17分）
端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分．某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛．已知甲、乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是．假设甲、乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的．
（1）求甲第一轮答对A类题目的概率；
（2）求甲通过比赛的概率；
（3）求甲、乙两人中至少有1人通过比赛的概率．
高一数学试卷参考答案
1．B．
2．C由题意可得该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22．
3．D因为，所以．因为，所以，即，解得．
4．B由题意可知，样本空间，共6种，卡片数字相邻的有，共3种，所以所求概率．
5．C由题意可得千米，，则．在中，由正弦定理可得，则千米，故小船甲的速度是千米/时．
6．D由，得或，则A错误．由，得或相交，则B错误．由，得或，则C错误．由，得，则D正确．
7．B当点在线段CD上时，取得最大值，最大值为；当点在线段GH上时，取得最小值，最小值为．故的取值范围是．
8．A因为这组数据的平均数为48，方差为7，
所以
整理得设，则，因为50，所以，即，则．
9．ABC由题意可得，则的虚部是-8，在复平面内对应的点位于第三象限，故正确，D错误．
10．BCD 事件表示“出现的点数为1，3”，事件表示“出现的点数为5，6”，可知A，B互斥，所以错误．
事件表示“出现的点数为1，3”，所以，而，B正确．
由上知，所以，C正确．
因为，所以D正确．
11．AC由题意可知AB，AC，AP两两垂直，则三棱锥外接球的半径满足，从而三棱锥外接球的表面积为，故A正确，B错误．由题意可得三棱锥的体积，三棱锥的表面积．设三棱锥内切球的半径为，因为，所以，则C正确，D错误．
12．分层随机；48因为男、女学生的身高存在明显差异，所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本．若样本容量为112，则应抽取的女生人数为．
13．由题意可得该圆台形容器的高为米，则该圆台形容器的容积是立方米．
14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．因为，所以，即．因为是的外心，所以，所以，即，则，当且仅当时，等号成立，故，即内角的最大值是．
15．解：（1）因为…………………………2分
所以这批零件的直径的中位数在内．………………………………………………………………3分
设这批零件的直径的中位数为，则，…………………………………5分
解得，…………………………………………………………………………………………………7分
即这批零件的直径的中位数为．……………………………………………………………………8分
（2）由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为0.5，……10分
则可估计这批零件中优等品的件数为．……………………………………………13分
16．（1）证明：如图，取棱BC的中点，连接DF，EF．
因为D，F分别是棱AB，BC的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．…………………………2分
由三棱柱的性质可知．
因为E，F分别是棱的中点，所以，
则四边形是平行四边形，故．
因为平面平面，
所以平面．…………………………………………………………………………………5分
因为平面DEF，且，所以平面平面．…………………6分
因为平面DEF，所以平面．………………………………………………………7分
（2）解：因为D，F分别是棱AB，BC的中点，所以．
设，则．
因为，所以．…………………………………………………………………8分
由（1）可知．
又平面ABC，所以平面ABC．………………………………………………………………9分
因为平面ABC，所以，
则．…………………………………………………………………………10分
因为，所以，解得，则．………………………………12分
因为是等边三角形，所以的面积，………………………………13分
则三棱柱的体积．……………………………………15分
17．解：（1）因为，所以……1分
即．…………………………………………………………2分
因为，所以，………………………4分
所以，因为，所以．……………………………………7分
（2）由（1）可知，则．……………………………………………………8分
因为的面积为，所以，解得………………10分
由余弦定理得，…………………………12分
则．………………………………………………………………………………………………13分
故的周长为．……………………………………………………………………15分
18．（1）证明：连接CE．
因为是AD的中点，所以．……………………………………………………………1分
分因为，且，所以四边形ABCE是正方形，………2分
则．……………………………………………………………………………………………3分
因为平面PAC，且，
所以平面PAC．……………………………………………………………………………………5分
（2）解：作，垂足为，连接EH，PE.
由（1）可知平面PAC．又平面PAC，所以．………………………………6分
因为平面BEH，且，所以平面BEH．
因为平面BEH，所以，则是二面角的平面角．……………8分
记，连接OP，则是AC的中点．……………………………………………………9分
因为，且是AC的中点，所以．
因为平面PAC，且平面PAC，所以．
连接PE．因为平面ABCE，且，所以平面ABCE，
则四棱锥为正四棱锥，故．………………………………………11分
因为的面积，
即，
所以．…………………………………………………………………………………………13分
同理可得．……………………………………………………………………………14分
在中，由余弦定理可得，…………………………16分
则，即二面角的正弦值为………………17分
19．解：（1）甲第一轮答对A类题目的概率为……………………………………………2分
（2）甲通过比赛的情况有以下三种：
第一种情况是甲答对1道A类题目和1道C类题目，其概率；………4分
第二种情况是甲答对1道B类题目和1道C类题目，其概率；………6分
第三种情况是甲答对2道C类题目，其概率．……………………………………8分
故甲通过比赛的概率为．………………………………………………………………10分
（3）乙通过比赛的概率为．………………………13分
甲、乙都没有通过比赛的概率为，……………………………………………15分
则甲、乙两人中至少有1人通过比赛的概率为．…………………………………………17分