江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：王振华 审题人：杨华
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设有下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.设全集，若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.下列命题中，是真命题的是（ ）
A.如果，那么B.如果，那么
C.如果，，那么D.如果，，那么
4.已知是实数，那么“”是“”成立的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.若不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A.B.，或
C.D.，或
6.不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知，，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.定义：为实数，中较小的数，已知，其中，均为正实数，则的最大值是（ ）
A.B.C.1D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，，是全集为的非空真子集，且满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.下列命题中为真命题的是（ ）
A.“”的充要条件是“”
B.“”是“”的既不充分也不必要条件
C.命题“，”的否定是，”
D.“，”是“”的充分条件
11.已知正实数，满足，则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，且，满足这样的集合的个数______.
13.若命题：“，”是假命题，则的取值范围是______.
14.若对任意，恒成立，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知命题：“，不等式”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16.（15分）已知集合，.
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围.
17.（15分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为（，），求的最小值.
18.（17分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米.
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
19.（17分）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；
定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.
例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
（1）写出集合的所有非空子集的交替和的总和；
（2）已知集合，根据提示解决问题.
①求集合所有非空子集的元素和的总和；
②求集合所有非空子集的交替和的总和.
江苏省泰州中学高一第一次月度检测数学试题
参考答案
1. D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C
9. ABD 10. BD 11. ABD
12. 7 13. 14.2
15.【解析】（1）命题：，都有不等式成立是真命题，
∴，即在时恒成立，
又当时，，∴，
即；
（2）不等式，故，
∵是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，
解得，故实数的取值范围为.
16.【解析】（1）当时，，
共有8个元素，
所以的非空真子集的个数为.
（2）因为，所以，
当时，由，得，符合；
当时，根据题意，可得解得.
综上可得，实数的取值范围是.
（3）当时，由（1）知；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得.
综上可得，实数的取值范围是.
17.【解析】（1）因为，
所以，即.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
（2）由题意，关于的方程有两个不等的正根，
由韦达定理知解得.
则，，
因为，，所以，
当且仅当，且，
即，时，等号成立，此时，符合条件，
则.
综上，当且仅当时，取得最小值36.
18.【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知
对任意的恒成立，即对任意的恒成立，-9分
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，故当时，
无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功.
19.【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，，
集合，，的交替和分别为1，2，3，集合的交替和为，
集合的交替和为，集合的交替和为，集合的交替和为，
所以集合的所有非空子集的交替和的总和为.
（2）①集合所有非空子集中，数字1、2、3各出现次，
集合所有非空子集为：，，，，，，，，，，，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次，
在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为，
故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，
同理数字2、3、4、5各出现次，同理在集合所有非空子集中，
数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类，
每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个，
所以的所有非空子集的交替和总和为，
（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）
所以集合所有非空子集的交替和的总和.