【北京朝阳外国语学校2024-2025学年高三上学期质量检测二数学试题（原卷及解析版）

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2024.10
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若全集，则（ ）
A. B. C. D.
2. 关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数B. 在上是减函数
C. 在区间上是增函数D. 在区间上是减函数
3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. 2C. D.
5. 函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（ ）．
A. ，
B. ，
C ，
D ，
6. 若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
7. 已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 光线通过一块玻璃，强度要损失．设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为： ，那么至少通过（ ）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（， ）
A B. C. D.
10. 已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）
A. ，，，…，等差数列，，，，…，为等比数列
B. ，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列
C. ，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列
D. ，，，…，等比数列，，，…，，…为等差数列
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知等比数列的前项和为，则__________.
12. 已知向量，，则=______
13. 已知，且，则________．
14. 设正实数满足，则__________．
15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若，则红方获得战斗演习胜利；
④若，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
17. 在中，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：的周长是．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 如图．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若F为线段BC上靠近B的三等分点，求平面AFE与平面AFC夹角的余弦值．
19. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
20. 已知函数，设l为曲线y=fx在点处的切线，其中．
（1）求直线l在y轴上的截距的取值范围：
（2）设直线分别与曲线y=fx和射线（）交于M，N两点，求MN的最小值及此时a的值．
21. 已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
（1）若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
（2）若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
（3）若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.