上海市静安区彭浦高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份上海市静安区彭浦高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，判断题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本组每小题4分，满分40分）
1.等比数列中，且，则公比为_________.
2.已知a，b为两条不同的直线，为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是_________.
3.若，则_________.（计算出结果）
4.已知等差数列中，，则的值是_________.
5.在直观图中，四边形为菱形且边长为2cm，则在坐标系中原四边形为（填形状），面积为_________.
6.已知数列的前n项和为，且，，则_________.
7.已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是_________.
8.无穷等比数列的前n项的和是，且，则首项的取值范围是_________.
9.在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为_________.
10.已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是_________.（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；
③的前n项和；④的前n项和.
二、填空题（本组每小题3分，满分12分）
11.已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（ ）
A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能垂直
12.如果命题对于时成立，那么它对也成立.若对于时成立，则下列结论正确的是（ ）
A.对所有正整数n成立B.对所有正偶数n成立
C.对所有正奇数n成立D.对所有大于1的正整数n成立
13.如图1，直线将矩形纸分为两个直角梯形和，将梯形沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面和平面不重合）下面说法正确的是（ ）
A.存在某一位置，使得平面
B.存在某一位置，使得平面
C.在翻折的过程中，平面恒成立
D.在翻折的过程中，平面恒成立
三、判断题（本组每小题1分，满分6分）
14.判断下列命题对错，对打“√”，错打“×”.
（1）若，，则（ ）
（2）三个点确定一个平面（ ）
（3）若，，，则（ ）
（4）过直线外一点只能做一条线与该直线垂直（ ）
（5）过直线外一点只能做一条线与该直线平行（ ）
（6）若两个角的两边分别对应平行，那么两个角相等（ ）
四、解答题（本组共有4小题，满分42分）
15.（满分10分，每小题5分）已知各项均为正数的数列满足，（正整数）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
16.（满分10分，每小题5分）已知正方体中，棱长为2，点E是棱的中点.
（1）连接，求证直线与直线是异面直线；
（2）求异面直线与所成的角.（结果用反三角函数表示）
17.（满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足.
（1）若，求证：直线平面；（2）是否存在实数，
使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由.
18.（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和，求使得的最小整数；
（3）若，使不等式成立，求实数的取值范围.
彭浦高级中学2024-2025学年高二上10月月考数学试卷解析2024.10
学校：________姓名：__________班级：________考号：___________
一、填空题（本组每小题4分，满分40分）
1.【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，推得，再结合，即可求解.
【详解】等比数列中，，则，解得，，则.
故答案为：-2.
2.【分析】根据线面，线线关系判断即可.
【详解】∵，，∴a和b没有公共点，
∴a，b平行或异面.故答案为：平行或异面.
3.【详解】根据题意，，右式中的分式的分母是从到，
所以，当时，.
4.15.
5.【分析】根据题意，由斜二测画法还原四边形，据此分析可得答案.
【详解】根据题意，在坐标系中，四边形如图：则原四边形为矩形，
其中，，则其面积为，故答案为：矩形；8.
6.【分析】根据数列的前n项和，由，即可求出结果.
【详解】因为数列前n项和为且，，当时，；
又不满足上式，所以，.
故答案为：，.
7.【分析】分A，B在α同侧和A，B在异侧两种情况求解即可.
【详解】设点A、B在平面的投影分别为点，，则由题意可得，，
若A，B在同侧，如图1，设点P在平面的投影为点P，
则P到的距离为；
若A，B在异侧，如图2，设点P在平面的投影为点O，
过A作，交的延长线于点C，延长交于点，
则P到的距离为，
故的中点P到平面的距离为3或1.故答案为：3或1.
8.【分析】利用无穷等比数列的求和公式，结合公比的范围，即可求得首项的范围.
【详解】∵无穷等比数列的前n项的和是，且，
∴∴，
∵，且，∴，且，∴，且
∴首项的取值范围是.
故答案为：
9.【分析】关键是作出截面六边形，求解不难.
【详解】根据题意作出截面如图，
利用勾股定理和对边相等易得周长为.
10.②④【分析】对于①，利用递推式得到，即是等比数列，
故①错误；对于②，求得，即可判断为严格增数列，
故②正确，对于③，利用错位相减法可求得，
故③错误；对于④，易得，故，故④正确.
【详解】由，两边都除以，可得，即，又，故，所以是首项为4公比为2的等比数列，故①错误；
所以，解得，所以为严格递增数列，故②正确；
的前n项和，
，
两式相减得，
所以，故③错误；由可得，
所以的前n项和，故④正确.故答案为：②④.
二、填空题（本组每小题4分，满分12分）
11.C【分析】由平行公理，若，因为，所以，与、是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能.
【详解】、是两条异面直线，，那么与异面和相交均有可能，但不会平行.
因为若，因为，由平行公理得，与、是两条异面直线矛盾.故选C.
12.B【分析】利用假设，，即有n为正偶数均成立，即可得结论.
【详解】命题对于时成立，那么它对也成立.
若对于时成立，则对也成立，即为对对所有正偶数n成立，
故选：B.
13.C【分析】在A中，与相交，从而与平面相交；
在B中，与不垂直，从而不存在某一位置，使得平面；
在C中，，从而在翻折的过程中，平面恒成立；
在D中，与不垂直，在翻折的过程中，平面不一定成立.
【详解】在A中，∵四边形是梯形，，
∴与相交，∴与平面相交，故A错误；
在B中，∵四边形是梯形，，
∴与不垂直，∴不存在某一位置，使得平面，故B错误；
在C中，∵四边形是梯形，，平面，平面，∴在翻折的过程中，平面恒成立，故C正确；
在D中，∵四边形是梯形，，∴与不垂直，在翻折的过程中，平面不一定成立，故D错误.
故选：C.
三、判断题（本组每小题1分，满分6分）
14.（1）（×）
【详解】在同一平面内，利用垂线的性质可知，但是不在同一平面内，不一定成立，故答案为：×.
（2）（×）
【详解】由题可知，任意三点确定无数个平面，只有不共线的三个点确定一个平面，所以说法错误；故答案为：×.
（3）（√）
【详解】若，，，由线面平行的性质定理可得：，所以说法正确；故答案为：√.
（4）（√）
【详解】反证法证明：假设过直线外一点有两条直线a和b垂直于同一直线c，我们有已知定理：在同一平面内，
垂直于同一条直线的两条直线平行，这与这两条直线过同一点相矛盾，所以假设是错误的，
所以在同一平面内过直线外一点只能做一条直线与已知直线垂直，所以说法正确；故答案为：√.
（5）（√）
【详解】根据平行公理可知：过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，所以说法正确；故答案为：√.
（6）（×）
【详解】空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，当它们的方向都相同或都相反，则这两个角相等；当它们的方向一边相同，另一边相反，则这两个角互补；所以这两个角可能相等或互补.所以说法错误；故答案为：×.
四、解答题（本组共有4小题，满分42分）
15.（满分10分，每小题5分）
【详解】（1）证明：已知各项均为正数的数列满足，（正整数），
则，又，即数列是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，即，
则.
16.（满分10分，每小题5分）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由题意确定各点坐标，根据向量得到和不平行，和不共面，可证得结论；
（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）证明：如图所示：
以D为坐标原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，，故与不平行，即和不平行，
B，C，确定平面，若和共面，则平面，不成立，故和不共面，
故直线与直线是异面直线；
（2）由（1）可得，
，，
所以，
设异面直线与直线所成的角为，，所以.
故异面直线与所成的角为.
17.（满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、
线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置有关系进行判断即可.
【详解】（1）证明：取中点Q，连接，，
∵，∴M是线段上的中点，∴，，
∴，，
∵四边形是矩形，N是线段上的中点，∴，，
∵四边形是矩形，N是线段上的中点，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，而平面，平面，∴直线平面；
（2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线，直线，
∵四边形是矩形，∴，
即，，而，平面，∴平面，
∵是矩形，∴，
∵平面，平面，
∴，而，平面，
∴平面，∴，显然不可能，故假设不成立，
∴不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线.
18.（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
（1）解设数列的公差为，由，
得，故数列的通项公式为，；
（2）对任意，若，则，故，，
，
令，解得，故所求最小整数为6；
（3），，
记，，，
由，
知，且从第二项起，递增，即
而递减，故实数的范围为，即.