浙江省强基联盟2025届高三上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省强基联盟2025届高三上学期10月联考数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了二项式的展开式中的常数项为，函数在区间上的所有零点之和为等内容，欢迎下载使用。

浙江强基联盟研究院 命制
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色。墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A．B．C．D．
2．已知，则
A． B．1C．D．2
3．已知非零向量，，则“”是“向量”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．B．C．D．
5．二项式的展开式中的常数项为
A．480B．240C．120D．15
6．已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为
A．1B．C．D．
7．函数在区间上的所有零点之和为
A．B．C．D．4
8．已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则
A．B．
C．D．
10．在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），则
A．过点有且仅有一条直线与直线，都垂直
B．过点有且仅有一条直线与直线，都相交
C．有且仅有一个点满足和的面积相等
D．有且仅有一个点满足平面平面
11．已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是
A．曲线的图象关于原点对称
B．对任意，直线与曲线有唯一交点
C．对任意，恒有
D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段__________．
13．已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为__________．
14．数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求角和角．
（2）若边上的高为，求的面积．
16．（15分）
已知双曲线与过点，的直线有且只有一个公共点，且双曲线的离心率．
（1）求直线和双曲线的方程；
（2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，是棱的中点．
（1）证明：；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
已知函数．
（1）若，求函数的单调区间和最值；
（2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数的解析式并证明：恒成立．
（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．
19．（17分）
已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”．
（1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；
（2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值；
（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）．
浙江强基联盟2024年10月高三联考
数学卷参考答案与评分标准
1．C 因为，所以．故选C．
2．A 因为．故选A．
3．C 因为，等价于，即等价于．故选C．
4．A 点到圆心的距离为，圆的半径为，所以，于是．故选A．
5．B 因为．故选B．
6．C 因为；．所以比值为．故选C．
7．B 函数的零点即方程的根，函数和的图象均关于中心对称且在上有两个交点，故函数在区间上有4个零点，所以四个零点的和为．故选B．
8．D 当时，排除B、C；当，时，排除A．下面证明D的正确性：当，之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0，显然成立．当，都是真分数时，不妨设，，则不等式右边为，显然有左边大于或等于．所以不等式成立．故选D．
9．ABC 因为，所以，故A正确；因为，故B正确；因为，故C正确；因为，，故D错误．故选ABC．
10．AB 只要直线和直线不平行（也不重合），则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直．故A正确；只要直线和直线异面，且直线与平面不平行，直线与平面也不平行，都有过点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B正确；因为，又因为到的距离大于，到的距离小于，所以三角形面积不可能相等，故C错误；因为平面，所以对任意恒有平面平面，故D错误．故选AB．
11．ACD 对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A正确；取，可以求得，，均可，故B错误；由，，易知函数在，上单调递减，在上单调递增，所以，又因为是增函数，，所以有，故C正确；当时，，又，，所以．曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，则曲线与轴围成图形的面积小于，故D正确．故选ACD．
12． 因为点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即．
13．2 切线为，则它与曲线的切点为，即，所以．
14． 令，，则有，，，．因为，恒成立，所以必有或者解得．
15．解：（1）由余弦定理，．
，，
，．
（2）边上的高，，．
又，的面积．
16．解：（1）由离心率得，直线，
代入双曲线方程，得，
由题意，．
所以双曲线的方程：．
（2）由（1）知，，
所以，．
又，，故．
17．（1）证明：如图分别取与中点，．连接，，，，
易知，，，四边形是平行四边形．
平面，平面，，，
．
（2）解：由（1）知为二面角的平面角，即，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
设，则，，，，，，，，，假设平面的一个法向量为，
则进而求得一个法向量为．
设直线与平面所成角为，
则．
18．解：（1）因为，所以，求导得，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
最小值为，无最大值．
（2）易知，所以，又，
所以；
令，
则，，这里表示的导函数．
令有，
当变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，函数有极小值，极小值为，也是最小值，
因为当时，无限趋向于，所以当时，，
又，此时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即不等式恒成立．
（3）因为函数在上有两个极值点，
所以在上有两个变号零点，
因为，令，即，可得，
令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，作出函数在上的图象，
当，即时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为，，且，
由图可知，当或时，，此时，
当时，，此时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意．
因此，实数的取值范围为．
19．解：（1）数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
（2）由，可得
即，即，
即，所以．
（3）当时，由，可知．
又因为对任意，都有，
即当时，两两不相等．
因为
．
所以的最小值函数．
另外，当数列的通项
间隔数列的通项
时也符合题意．
0
单调递减
单调递增