重庆市九龙坡区渝西中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份重庆市九龙坡区渝西中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．，当时，
B．集合与集合是相同的集合
C．若，则D．所有的素数都是奇数
5．若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（ ）
A．3或4B．2或3C．1或2D．1或3
8．已知，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知不超过5的实数组成的集合为，则（ ）
A．B．C．D．
11．用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）
A．B．
C．“”是“”的充分不必要条件D若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为______．
13．已知，则的取值范围是______．
14．设集合，若，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知全集，集合或．
（1）求；
（2）求．
16．（15分）已知非空集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数的取值范围．
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
18．（17分）已知集合。
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；
（3）若中至少有一个元素，求的取值范围．
19．（17分）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，且，求的最小值．
李雷和草梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同．
李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为．
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为．
（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误?（错误的需说明理由）
（2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）已知，且，求证：；
（ii）已知，求的最小值．
重庆市九龙坡区渝西中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】易知．故选B．
2．【答案】C
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到；
【详解】由题意，命题“”的否定为，故选：C
3．【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到，根据交集概念得到答案．
【详解】，
故．故选：A
4．【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例判断AD；根据集合的表示方法即可判断B；根据不等式的性质即可判断C．
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，2是素数，但2是偶数，故D错误；
故选：C．
5．【答案】C
【解析】
【分析】根据“”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可．
【详解】因为“”是真命题，所以，解得．故选：C
6．【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可．
【详解】解得．
对于选项A，，反之不能推出，所以是命题的一个充分不必要条件，故A错误；
对于选项B，，反之不能推出，所以是命题的一个必要不充分条件，故B正确；
对于选项不能推出，反之也不能推出，所以是命题的一个既不充分也不必要条件，故C错误；
对于选项D，是命题的充要条件，故D错误．
故选：B
7．【答案】C
【解析】
【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是A的真子集，A是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案．
【详解】因为此数为小于5的正整数，所以，
因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
所以是A的真子集，A是的真子集，
所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确．故选：C．
8．【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件．
【详解】因为，则，
可得，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分
9．【答案】ABC
【解析】因为，根据不等式的性质，则，故A正确；同理：，故BC正确．
如，但不成立，故D错误．
故选ABC．
10．【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，
所以，所以B错误，
对于，因为，所以，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，
所以，所以D正确．
故选ACD．
11．【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可．
【详解】对于A，当时，，此时，A正确；
对于B，当时，，此时错误；
对于C，当时，，则，而，因此；
当时，而，则或3，若，满足，解得；
若，则方程的两个根都不是方程的根，
且，解得，因此“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，由，而，得或3，由C知：或，
因此错误．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
【解析】
【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.
【详解】由题知：图中阴影部分表示，
，则．
13．【答案】
【解析】
【分析】先设出，求出m，n，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，所以，
又，
所以上述两不等式相加可得，
即，
所以的取值范围是，
故答案为：16
14．【答案】
【解析】
【分析】由可知，讨论与，即可求出答案．
【详解】因为，
所以，
当时：，满足题意；
当时：无解；
所以实数的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）集合或，
则或，
或，所以或．
（2）由或，得，
所以．
16．【解析】（1）已知集合．
当时，或
又，
（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
所以，
所以；
当时，是的真子集；
当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
17．【答案】（1）9；（2）．
【解析】
【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可．
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
18．【解析】（1）是空集，
且，
，解得，
所以的取值范围为：；
（2）①当时，集合；
②当时，，
，解得，此时集合．
综上所述，当时，集合，当时，集合；
（3）A中至少有一个元素，则当A中只有一个元素时，或；
当A中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得，A中至少有一个元素时，．
19．【答案】（1）韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误，理由见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值时，与已知条件相矛盾，即可说明；
（2）将转化为，根据基本不等式即可证明；由得，代入，结合基本不等式“1”的妙用即可求解．
【小问1详解】
韩梅梅的解法正确，李雷的解法错误；
在李雷的解法中，，等号成立时；
，等号成立时，
那么取得最小值时，，
这与已知条件是相矛盾的．
【小问2详解】
（i），且，
，当且仅当时取等号．
（ii）因为，所以，
即
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．