2025届浙江省杭州市景芳中学数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2025届浙江省杭州市景芳中学数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）随着人民生活水平的提高，中国春节已经成为中国公民旅游黄金周．国家旅游局数据显示，2017年春节中国公民出境旅游约615万人次，2018，2019两年出境旅游人数持续增长，在2019年春节出境旅游达到700万人次，设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）．
A．615(1+x)=700B．615(1+2x)=700
C．D．
2、（4分）如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-1．则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）；③m与n满足m=1n-1；④当x＞-1时，nx+4n＞-x+m，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．1个C．3个D．4个
3、（4分）如图所示， 和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为( )
A．B．C．D．
4、（4分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝4cm，AD＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是( )
A．25cmB．20cmC．28cmD．30cm
5、（4分）已知，、，、是一次函数的图象上三点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
6、（4分）下列事件中是必然事件是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C．实心铁球投入水中会沉入水底
D．抛出一枚硬币，落地后正面向上
7、（4分）下图表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n是常数，且mn0)的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）无论取什么数，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果最简二次根式与最简二次根式同类二次根式，则x＝_______．
10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________．
11、（4分）如图，在中，已知，，现将沿所在的直线向右平移4cm得到，于相交于点，若，则阴影部分的面积为______．
12、（4分）如图，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，D为x轴上一点，连接BD交y轴与点C，若C（0，-2）恰好为BD中点，且△ABD的面积为6，则B点坐标为__________.
13、（4分）一组数据2，6，，10，8的平均数是6，则这组数据的方差是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） (1)已知一个正分数(m＞n＞0)，将分子、分母同时增加1，得到另一个正分数，比较和的值的大小，并证明你的结论；
(2)若正分数(m＞n＞0)中分子和分母同时增加k(整数k＞0)，则_____ ．
(3)请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若原来的地板面积和窗户面积分别为x，y，同时增加相等的窗户面积和地板面积，则住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
15、（8分）已知：如图，一次函数与的图象相交于点.
（1）求点的坐标；
（2）结合图象，直接写出时的取值范围.
16、（8分）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
17、（10分）如图，中，.
（1）用尺规作图法在上找一点，使得点到边、的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长.
18、（10分）已知a、b、c满足(a﹣3)2|c﹣5|=1．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若关于x的分式方程无解． 则常数n的值是______．
20、（4分）已知有两点、都在一次函数的图象上，则的大小关系是______（用“<”连接）
21、（4分）如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜0时，x的取值范围是_________________.
22、（4分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点，将直线平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点，且的面积为18，则平移后的直线解析式为__________．
23、（4分）如图，已知中，，将绕点A逆时针方向旋转到的位置，连接，则的长为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝﹣．
25、（10分）某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如右表：（单位：分）
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织能力三项测试得分按 5：3：2 的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？
26、（12分）与位似，且，画出位似中心，并写出与的位似比．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为,根据2017年及2019年出境旅游人数，即可得出关于的一元二次方程，即可得解；
【详解】
由题意可得：
故选：C.
本题主要考查一元二次方程的实际应用，充分理解题意是解决本题的关键.
2、D
【解析】
①由直线y=-x+m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y=nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确；
②将x=-4代入y=nx+4n，求出y=0，即可判断结论②正确；
③由整理即可判断结论③正确；
④观察函数图象，可知当x＞-1时，直线y=nx+4n在直线y=-x+m的上方，即nx+4n＞-x+m，即可判断结论④正确．
【详解】
解：①∵直线y=-x+m与y轴交于负半轴，∴m＜0；
∵y=nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，∴n＞0，
故结论①正确；
②将x=-4代入y=nx+4n，得y=-4n+4n=0，
∴直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）．
故结论②正确；
③∵直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-1，
∴当x=-1时，y=1+m=-1n+4n，
∴m=1n-1．
故结论③正确；
④∵当x＞-1时，直线y=nx+4n在直线y=-x+m的上方，
∴当x＞-1时，nx+4n＞-x+m，
故结论④正确．
故选：D．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
3、B
【解析】
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现，再进一步根据勾股定理进行求解．
【详解】
解：和都是边长为2的等边三角形，
，．
且
．
．
．
故选：B．
此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．
4、C
【解析】
只要证明AD＝DE＝5cm，即可解决问题.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5cm，CD＝AB，
∴∠EAB＝∠AED，
∵∠EAB＝∠EAD，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE＝5cm，
∵EC＝4cm，
∴AB＝DC＝9cm，
∴四边形ABCD的周长＝2(5+9)＝28(cm)，
故选C．
本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5、C
【解析】
分别计算自变量为，和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】
，、，、是一次函数的图象上三点，
，，．
，
．
故选：C．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．
6、C
【解析】
必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决．
【详解】
解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意；
B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；
C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意；
D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意．
故选C．
7、C
【解析】
根据一次函数图像与系数的关系以及正比例函数图像与系数的关系逐一对各选项进行判断，然后进一步得出答案即可.
【详解】
A：由一次函数图像可知：m＞0，n＞0，则mn＞0，由正比例函数图像可得：mn<0，互相矛盾，故该选项错误；
B：由一次函数图像可知：m＞0，n＜0，则此时mn<0，由正比例函数图像可得：mn>0，互相矛盾，故该选项错误；
C：由一次函数图像可知：m﹤0，n>0，则此时mn﹤0，由正比例函数图像可得：mn<0，故该选项正确；
D：由一次函数图像可知：m﹤0，n﹥0，则此时mn<0，由正比例函数图像可得：mn>0，互相矛盾，故该选项错误；
故选：C．
本题主要考查了正比例函数图像以及一次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
8、A
【解析】
根据偶次幂具有非负性可得x+3>0，再由分式有意义的条件可得答案．
【详解】
∵x⩾0，
∴x+3>0，
∴无论x取什么数时,总有意义的分式是，
故选：A.
此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3=1+1x，解得：x=1．当x=1时，6和是最简二次根式且是同类二次根式．
10、
【解析】
根据位似中心的概念，直接连接对应的三点得到三条线，三条线的交点即为位似中心，读出坐标即可
【详解】
如图，连接AA’,BB’,CC’,三线的交点即为P点
读出P的坐标为
本题考查位似中心，能够找到位似中心是本题解题关键
11、1
【解析】
根据平移的性质求出A′B，然后根据阴影部分的面积列式计算即可得解．
【详解】
解：∵AB＝BC＝9cm，平移距离为4cm，
∴A′B＝9−4＝5cm，
∵，
∴，
∵∠ABC＝90°，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：1．
本题考查了平移的性质，是基础题，熟记平移的性质是解题的关键．
12、（，-4）
【解析】
设点B坐标为(a，b)，由点C（0，-2）是BD中点可得b=-4，D（-a，0），根据反比例函数的对称性质可得A（-a，4），根据A、D两点坐标可得AD⊥x轴，根据△ABD的面积公式列方程可求出a值，即可得点B坐标.
【详解】
设点B坐标为(a，b)，
∵点C（0，-2）是BD中点，点D在x轴上，
∴b=-4，D（-a，0），
∵直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，
∴A（-a，4），
∴AD⊥x轴，AD=4，
∵△ABD的面积为6，
∴S△ABD=AD×2a=6
∴a=，
∴点B坐标为（，-4）
本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象是以原点为对称中心的双曲线，根据反比例函数的对称性表示出A点坐标是解题关键.
13、8.
【解析】
根据这组数据的平均数是6，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．
【详解】
∵数据2，6，，10，8的平均数是6，
∴
∴x=4，
∴这组数据的方差是.
考点: 1.方差；2.平均数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)>，证明见解析；(2)>；(3)住宅的采光条件变好了
【解析】
（1）利用作差法求得，再判断结果与1的大小即可得；
（2）将以上所得结论中的1换作k，即可得出结论；
（3）设增加面积为a，由（2）的结论知，据此可得答案．
【详解】
(1)>(m＞n＞1)．
证明：∵-==，
又∵m＞n＞1，
∴>1．
∴>
(2)根据(1)的方法，将1换为k，有>(m＞n＞1，k＞1)．
故答案为＞．
(3)设增加面积为a，
由(2)的结论，可得．
所以住宅的采光条件变好了．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及作差法比较大小的方法．
15、（1）点A的坐标为；（2）
【解析】
（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【详解】
解：（1）依题意得：，
解得：，
∴点A的坐标为；
(2) 由图象得，当时，的取值范围为：.
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16、（1）；（2）点E的坐标是（2，1）时，△BEC的面积最大，最大面积是1；（1）P的坐标是（﹣1，）、（5，）、（﹣1，）．
【解析】
解：（1）∵直线y=﹣x+1与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，1），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴，解得，
∴y=﹣x2+x+1．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+1），则点M的坐标是（x，﹣x+1），∴EM=﹣x2+x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+1x=﹣（x﹣2）2+1，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，1）时，△BEC的面积最大，最大面积是1．
（1）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+1上，∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=
，∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+1的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+1），
则，
解得或，
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣1，﹣）．
②如图1，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+1上，∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+1的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+1），则，
解得或，
∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣x+1上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∵y=﹣x2+x+1的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+1），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣1，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
本题考查二次函数综合题．
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据题意作∠CAB的角平分线与BC的交点即为所求；
（2）根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理即可求解.
【详解】
（1）
（2）由（1）可知为的角平分线
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得：
即
解得：∴
此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
18、（1）a=3，b=4，c=5；（2）能构成三角形，且它的周长=2．
【解析】
（1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案；
（2）根据勾股定理的逆定理即可证明三角形是直角三角形，再计算周长即可.
【详解】
（1）∵，
又∵(a﹣3)2≥1，，|c﹣5|≥1，
∴a﹣3=1，b﹣4=1，c﹣5=1，
∴a=3，b=4，c=5；
（2）∵32+42=52，
∴此△是直角三角形，
∴能构成三角形，且它的周长l=3+4+5=2．
此题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，勾股定理的逆定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1或
【解析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解，使原方程的分母等于1．
【详解】
解：两边都乘（x−3），得3−2x＋nx−2＝−x＋3，
解得x＝，
n＝1时，整式方程无解，分式方程无解；
∴当x＝3时分母为1，方程无解，
即＝3，
∴n＝时，方程无解；
故答案为：1或．
本题考查了分式方程无解的条件，掌握知识点是解题关键．
20、
【解析】
利用一次函数的增减性可求得答案．
【详解】
∵y=−3x+n，
∴y随x的增大而减小，
∵点 、都在一次函数y=−3x+n的图象上，且1>−2，
∴，
故答案为：.
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握函数图象的走势.
21、
【解析】
根据函数图象与x轴的交点坐标，当y＜0即图象在x轴下侧，求出即可．
【详解】
当y<0时，图象在x轴下方，
∵与x交于(1，0)，
∴y<0时，自变量x的取值范围是x<1，
故答案为：x<1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是运用观察法求自变量取值范围通常是从交点观察两边得解．
22、y＝x+1或y＝x﹣2
【解析】
设反比例解析式为y＝，将B坐标代入直线y＝x﹣2中求出m的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；当直线向上平移时，过C作CD垂直于y轴，过B作BE垂直于y轴，设y＝x﹣2平移后解析式为y＝x＋b，C坐标为（a，a＋b），△ABC面积＝梯形BEDC面积＋△ABE面积﹣△ACD面积，由已知△ABC面积列出关系式，将C坐标代入反比例解析式中列出关系式，两关系式联立求出b的值，即可确定出平移后直线的解析式；当直线向下平移时，假设平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点C'，若平移的距离和向上平移的距离相同，利用△ABC与△ABC'的同底等高，便能得到且它们的面积也相同，皆为18，符合题意，进而得到结果．
【详解】
解：将B坐标代入直线y＝x﹣2中得：m﹣2＝2，解得：m＝4，
则B（4，2），即BE＝4，OE＝2，设反比例解析式为y＝（k≠0），
将B（4，2）代入反比例解析式得：k＝8，则反比例解析式为y＝；
设平移后直线解析式为y＝x＋b，C（a，a＋b），
对于直线y＝x﹣2，令x＝0求出y＝﹣2，得到OA＝2，
过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，
将C坐标代入反比例解析式得：a（a＋b）＝8，
∵S△ABC＝S梯形BCDE＋S△ABE﹣S△ACD＝18，
∴×（a＋4）×（a＋b﹣2）＋×（2＋2）×4﹣×a×（a＋b＋2）＝18，
解得：b＝1，则平移后直线解析式为y＝x＋1．
此时直线y＝x＋1是由y＝x﹣2向上平移9个单位得到的，
同理，当直线向下平移9个单位时，直线解析式为y＝x﹣2﹣9，即：y＝x﹣2
设此时直线与反比例函数图像在第一象限内交于点C'，
则此时△ABC与△ABC'是同底等高的两个三角形，
所以△ABC'也是18，符合题意，
故答案是：y＝x＋1或y＝x﹣2．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23、
【解析】
连接交于D，中，根据勾股定理得，，根据旋转的性质得：垂直平分为等边三角形，分别求出，根据计算即可.
【详解】
如图，连接交于D，如图，
中，∵，
∴，
∵绕点A逆时针方向旋转到的位置，
∴，
∴垂直平分为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
考查等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等，
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
原式=-（x2+x-2），
当时，原式=
25、（1）甲被录用；（2）乙被录用．
【解析】
分析:（1）根据平均数的计算公式分别进行计算，平均数大的将被录用；
（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答，加权平均数大的将被录用；
详解: （1）甲的平均成绩为=84（分）；
乙的平均成绩为=82（分），
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用；
（2）根据题意，甲的平均成绩为=83.2（分），
乙的平均成绩为=84.8（分），
因为甲的平均成绩低于乙的平均成绩，
所以乙被录用．
点睛: 本题重点考查了算术平均数和加权平均数的计算公式，希望同学们要牢记这些公式，并能够灵活运用.
数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn)，
加权平均数：（其中w1、w2、……wn为权数）.
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数.
26、作图见详解，位似比为1：1
【解析】
连接BB′、CC′，它们的交点P为位似中心，根据位似的性质相似比等于位似比，所以计算AB与A′B′的值即可得到△ABC与△A′B′C′的位似比．
【详解】
解：如图，点P为位似中心．
∵AB＝1，A′B′＝1，
∴△ABC与△A′B′C′的位似比＝AB：A′B′＝1：1．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行或共线．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
教学能力
科研能力
组织能力
甲
81
85
86
乙
92
80
74