2025天域名校高三年级十月联考数学试题及参考答案

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高三年级数学学科 试题
命题审题：石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学
主办学校；石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据共轭复数求出z，再根据复数除法运算即可.
【详解】因为，所以,
所以.
故选：B.
2. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 11D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题，
因为，所以.
故选：B.
3. 已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件，结合余弦型函数的周期公式可求，再根据余弦型性质求函数的对称轴即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，
所以，
所以，
令，，
可得，，
所以函数的对称轴为，，
结合选项考虑令，化简可得，
所以取，此时对称轴方程为.
故选：B.
4. 已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出，再代入讨论符号即可求解.
【详解】根据题意知，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，
所以可求得，则函数，
所以
当时，则可得，又因单调递增，所以可得，
当时，则可得，又因单调递增，所以可得，
综上可得解集为.
故选：A
5. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.
【详解】当时，，
得；
当时，，
得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
6. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的方程为，，，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，进而得到，根据四边形是平行四边形，利用向量相等求出，最终求出的值.
【详解】
由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，
则，所以，
四边形是平行四边形，
，即，
，，
解得， ，
，.
故选：B.
7. 某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设三次函数，求得，设，求得，得到，再令，得到为函数极值点，代入求得，进而化简得到，即可求解.
【详解】设三次函数为，可得，
设，可得，
因为为极值点，所以，
令，可得为函数极值点，
将代入，可得，所以，
则，
即，
即，即，
可得，解得.
故选：C
8. 研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（ ）
附：相关系数
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关系数公式，可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系系数问题转化为向量夹角问题，即可得解.
【详解】设，，,
则有，，，
由相关系数公式可知：，
设与夹角为，与夹角为，
由x，y的样本相关系数为，所以，，
由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是，
则与夹角余弦值的最大值为，此时x与z样本相关系数最大，
即，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）

A. 估计该年级学生成绩的众数为75
B.
C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D.
【详解】由频率分布直方图可知成绩在70-80分之间的人数最多，
故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确；
由频率分布直方图可知，B错误；
由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确；
由频率分布直方图可知成绩在80-90分之间和90-100分之间的频率之比为，
故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确，
故选：ACD
10. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C存在点P，使得
C. 直线与曲线C没有交点
D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
【答案】CD
【解析】
【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确；
【详解】当时，曲线，即；
当时，曲线，即；不存在；
时，曲线，即；
时，曲线，即；
画出图形如下：

对于A，由图可得A错误，故A错误；
对于B，方程是以为上下焦点的双曲线，
当时，曲线C存在点P，使得，故B错误；
对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确；
对于D，设，设点在直线上，点在直线，
则由点到直线的距离公式可得
，，
所以，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得，故D正确；
故选：CD.
11. 已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ）
A. 任意交换的顺序，不影响X的取值
B. 满足及的排列有20个
C. 概率为
D. 的概率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由的定义判断A选项；满足条件的排列数即满足条件的的组数，计算数据判断选项B；列举符合条件的取法，计算相应的概率判断选项CD.
【详解】由的定义可知，任意交换的顺序，不影响的取值，
任意交换的顺序，不影响的取值，A选项正确；
注意到当被确定后，的取值也被固定，
因此满足条件的排列组数即满足条件的的组数，
即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即种取法，B选项正确；
因此不妨设及．
注意到，整体交换和也不影响X，Y的取值，
因此不妨设，即，，
将满足以上条件的排列列举如下：
总情况数共10种，除第一种外均满足．
因此，，C选项错误，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!本题围绕的定义，分析交换数据位置对的影响，列举符合条件的不同取法，计算概率验证选项.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可.
详解】由得：,
由得：,
所以，,
所以.
故答案为：
13. 已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】设正三棱柱底面边长为，高为，的外接圆半径为，圆柱的高为，通过正弦定理和体积相等，求出与、与的关系，表示出正三棱柱与圆柱的侧面积，再求比值.
【详解】设的边长为，外接圆半径为，，
由正弦定理得，则，，
设圆柱的高为，，，
正三棱柱的侧面积，圆柱的侧面积，
正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为
故答案为：2.
14. 定义在上的函数满足：①；②；③，则______，______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】利用赋值法可得，，进而根据条件③得均有，即可赋值求解.
【详解】在①中，令，得，
在②中，令，得，
在①中，令，得，所以；
在②中，令，得，
由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有．
注意到，因此，
于是
,
故答案：1，
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合三角形面积公式，余弦定理可得，结合辅助角公式正弦函数性质可求；
（2）由正弦定理及比例性质可得，结合条件化简可得，求的范围，结合正弦函数性质可求结论.
【小问1详解】
因为，
所以
所以，
所以，
故，又，
所以，
所以；
【小问2详解】
由正弦定理得，
所以，
且，，
所以，
因为为锐角三角形，，，所以，
所以，即．
可得，
即a的取值范围为．
16. 已知函数，
（1）当时，求在上的最大值；
（2）求的零点个数．
【答案】（1）1 （2）答案见解析
【解析】
分析】（1）求导，根据单调性即可求解最值，
（2）参数分离，构造函数，求导确定函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
，，
令，则单调递减，且
从而，，单调递增；，，单调递减．
故，最大值为1，
【小问2详解】
令，则由，故，
令，则
从而在上单调递减，在上单调递减．
若，当时，，若，当时，；
若，当时，，当时，．
从而当时，与有一个交点，
时，与有两个交点
故时，有一个零点；时有两个零点．
17. 如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面.

（1）求四棱锥的体积；
（2）设Q为上一点，若，求二面角的大小.
【答案】（1）6； （2）.
【解析】
【分析】（1）先由余弦定理依次求出，接着求出底面梯形的高进而求出其面积，再由已知条件结合面面垂直性质定理求出平面即可由锥体体积公式求出四棱锥的体积.
（2）由结合（1）可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，，，设，进而求出和，接着由求出，从而解出和，进而可求出平面的法向量，由平面得平面的法向量为，再由计算结合图形即可得图二面角的大小.
【小问1详解】
因为平面，平面，平面平面，
所以，同理得，所以，
因为，，，所以，
所以且，
所以且，
底面梯形的高为，
所以底面梯形的面积，
在中，，，，
所以，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
所以四棱锥的体积.
【小问2详解】
因为，，，所以即，
所以，，两两垂直，可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，A2,0,0，，C−1,3,0，，
所以，，，
设，
所以，，
因为，所以，
解得，因此，，
设m=x,y,z为平面的法向量，则，
则，
取，则，，即，
因为平面，所以平面的法向量为，
设二面角为，则，
所以由图二面角的大小为.
18. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆C上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；
（3）过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意列方程求出，，即可求得椭圆方程；
（2）利用联立方程的方法求出点为，继而证明，关于对称，即可求得答案；
（3）设，，可推出，即而推出，
设直线的方程为，即可推出轴，即可结合椭圆的几何性质得出答案.
【小问1详解】
由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，
则，
将代入中，得，
则，结合，
从而，，
椭圆C方程为；
【小问2详解】
由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，
故设，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个交点，
令，即①，
又过，则②，
联立①②可得，则，即得点为．
设原点O0,0，由，，
故，
从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，
又在椭圆上，从而，关于对称，
故直线方程为
【小问3详解】
设，，，则，
则①，
又由，
可得②，
结合①②可得，，
又，F1,0，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于，
则，故，
故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,
故线段的最大值为.
【点睛】难点点睛：本题考查了直线和椭圆位置关系的综合问题，解答的难点在于第三问中的最值问题，计算量较大，计算过程复杂，并且基本都是字母参数的运算，因此需要十分小心.
19. 黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.是这样定义的：记为复数s的实部，.当时，有，故对的研究具有重要意义.
（1）已知对任意正整数n，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求；
（2）试判断是否存在正整数k，使得，并证明你的结论；
（3）求证：.
【答案】（1）44 （2）不存在，证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题目所给信息可得答案；
（2）将化为，后利用该式分子分母奇偶性解决问题；
（3）由不等式放缩等知识可得，即可证明结论.
【小问1详解】
由，，，，，
'，，，，，
知.
【小问2详解】
不存在，证明如下：
证明：设，其中为奇数，为自然数，
设，
设，，则．
否则，当时，，与r的定义矛盾，故，
则
，其中，
则为奇数，时为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数，
则不可能为整数，故不存在这样的k，使；
【小问3详解】
证明：对任意正整数n，当时，
注意到，
故，
又，
故，
从而，
则.
【点睛】关键点点睛：本题涉及黎曼函数，第一问关键在于读懂信息，第二问背景为调和级数前n项和不可能为整数，第三问利用放缩解决问题，关键在于找到放缩的“度”X
Y
X
Y
123
456
3
4
135
246
5
2
124
356
4
3
136
245
5
2
125
346
5
3
145
236
5
2
126
345
5
3
146
235
5
2
134
256
4
2
156
234
4
2